基于拓撲優化的高精機床直線進給系統減振設計*

寧建榮，夏加寬，沈 麗，王成元

(1.沈陽化工大學機械工程學院，沈陽 110142;2.沈陽工業大學電氣工程學院，沈陽 110178)

基于拓撲優化的高精機床直線進給系統減振設計*

寧建榮1，2，夏加寬2，沈 麗2，王成元2

(1.沈陽化工大學機械工程學院，沈陽 110142;2.沈陽工業大學電氣工程學院，沈陽 110178)

為減小由直線電機周期波動法向磁場力引起的機械結構振動，對進給系統的工作臺和底座分別進行靜力學和動力學拓撲優化。綜合靜力學和動力學的拓撲優化結果，對工作臺和床身分別進行重構。對比重構前、后結構靜、動力學性能表明:重構后工作臺和底座在法向磁場力作用下變形減小，靜剛度提高;重構結構的低階模態固有頻率有所提高，承受沖擊載荷的能力增強。利用拓撲優化結果對結構重構，可以有效提高結構的靜、動剛度，拓撲優化可為系統結構設計提供參考。

高速高精數控機床;拓撲優化;永磁直線同步電動機

0 引言

高速高精數控機床直線進給系統由永磁直線同步電動機直接驅動，在磁場力直接作用下，工作臺實現高速往復直線運動。永磁直線同步電動機存在比推力大一個數量級的法向磁場力［1］，法向磁場力會引起工作臺的變形，永磁直線同步電動機動子和定子之間的氣隙較小，工作臺的變形會使氣隙減小，影響永磁直線同步電動機的工作性能。由于超精密加工機床的定位精度己達10nm以下，形位公差達到0.1nm［2］，因此工作臺的變形也嚴重影響到機床的精度。

直線電機的缺點是推力波動、發熱和法向吸力較大等。法向吸力會使推力產生波動，增加了電機裝配的難度，并對機床剛度和隔磁防護提出了更高的要求［3］。在法向力的作用下，引起了機床部件的變形［4］，嚴重影響機床精度。要保證機床在高速下的加工精度以及永磁直線同步電動機的安全運行，應盡量提高工作臺和底座的剛度和動態特性。

連續體結構拓撲優化，通常是在給定的連續設計域內有無孔洞、邊界條件和工藝設計等要求下，確定結構構件的孔洞的數量、位置、形狀等拓撲形式，使結構的某種形態指標達到最優［5］。結構拓撲優化通常包括兩種算法:一是在靜力加載條件下，結構的應力和應變分布狀況的拓撲結構優化算法;二是在動力加載條件下，固有頻率的拓撲優化。拓撲優化設計方法在機床等超精密工件結構優化設計廣泛應用［6-9］。

本文在對永磁直線同步電動機法向力分析的基礎上，采用拓撲優化方法對永磁直線同步電動機安裝結構進行優化，根據優化結果對安裝結構進行重構，并對重構結構進行力學性能分析。

1 永磁直線同步電動機法向磁場力

永磁直線同步電動機直接驅動系統簡圖如圖1所示。

圖1 永磁直線同步電動機直接驅動系統模型

有限元法多用于分析電機磁場力［10-11］，本文采用有限元法對樣機的法向磁場力計算。本文選用的永磁直線同步電動機樣機尺寸，如表1所示。

表1 永磁直線同步電動機計算樣機尺寸

磁場力是在磁場定位的控制策略下通過有限元分析得到。首先，令id=0，給永磁直線同步電動機動子移動距離x賦值，并且改變iq的大小，可以計算出永磁直線同步電動機的推力和法向力在不同位置、不同iq下的大小。在電流iq=7A時，采用表1所示的尺寸計算永磁直線同步電動機一個極距下的法向力，如圖2所示。

圖2 iq=7A法向力波形

由圖2可見，電動機在運行過程中，法向力隨電流和位置變化，呈周期性波動。周期波動的磁場力可使直線電動機產生振動，影響高精密機床的加工精度。

2 安裝結構拓撲優化

2.1 靜力學優化

在靜載荷的條件下，為了使結構變形最小，通常以結構的剛度最大化為目標進行優化。通常把剛度最大問題等效為柔度最小作為優化的目標函數，約束條件采用結構設計區域的體積約束。

由于F=KU，所以對于離散的有限元結構有:

式中，U為位移向量，F為所受載荷;C為結構柔度，N為單元數，ue為第e個單元位移，ke為第e個單元剛度。

在體積約束下，以結構柔度為優化目標的優化模型為:

設計變量為:

目標函數為:

式中，γmin是單元相對密度的最小極限值，ve為優化后的單元體積，N為單元數目。

結構中的約束、加載的部位、螺栓連接部位等不能改變實體部分或者必須保留，所以預先定義為非設計區域，不參與優化。將計算得到永磁直線電動機在某一位置的法向力做為載荷加載到工作臺和底座上，進行拓撲優化。靜力優化后底座的拓撲結構如圖3所示。

圖3 工作臺靜態優化后結構圖與底座靜態優化后結構圖

2.2 動力學拓撲優化

對于受到持續外力作用下的結構，動力學特性受結構本身的影響越來越重要。固有頻率在結構動力學特性分析中是一個重要的衡量指標［12］。結構的動力學響應主要是低階固有頻率和模態振型。改變系統固有頻率就是改變振動和噪聲對系統的影響，增加低階固有頻率，相應地在頻譜中就是增加遠離自由響應域的可能，同時固有頻率也會隨之向更高的頻率轉移。

對于高速、高精數控機床希望系統在高速運動過程中，外界的激勵引起的系統諧振越小越好。在滿足條件的情況下，系統自身的質量越小，有效剛度越大，則系統的動態響應特性可能越好。相對來說，靜力學特性已經不是直線進給工作臺優化分析的主要目標。考慮系統自身的特點，對永磁直線同步電動機安裝結構進行基于低階固有頻率的拓撲優化研究，將會進一步減小系統的質量，改善系統的響應速度，提高系統的動態性能。

對于一個多自由度的復雜系統，可以用多個單自由度的系統線性的疊加來等效。一個多自由度系統運動微分方程為:

式中，［M］為系統質量矩陣;［C］為系統阻尼矩陣;［K］為系統剛度矩陣;F(t)為激振力向量;X、、分別為系統的位移響應、速度響應、加速度響應向量。當忽略系統阻尼的影響，則振動模型的特征值為:

針對頻率的動力特性拓撲優化的目標函數是在滿足結構約束的情況下改善結構的頻率特性，即改善結構的模態特性，使結構剛度、質量和阻尼特性得到優化配置，達到結構減振降噪的目的。

結構在振動時，高階模態對結構的影響較小，低階模態能反映結構的動態性能，以結構前幾階頻率最大作為目標函數，在體積約束下，則結構優化的數學模型為:

將底座和工作臺分別進行動力學拓撲優化，選擇前六階固有頻率作為優化目標，優化的結構如圖4所示。

圖4 底座動力學優化結構

3 結構重構及其力學性能

拓撲優化后的結果僅表示一種概念性的模型，拓撲優化的結果是不規則的空間結構，需要對其進行抽象和簡化以得到實際中有用的模型。對機床床身、工作臺這樣較重要的、大型構件，需要根據拓撲優化的結果、加工及裝配工藝等其它要求，在拓撲優化的模型基礎上對構件進行合理的重構，既要改善結構的靜、動態性能，同時還應該滿足加工工藝要求，節約加工成本。

實際的工程應用中，要同時考慮將靜態柔度最小化和固有頻率最大化同時作為優化的目標函數。這兩個目標函數同時作為優化目標時，兩者之間常常難以同時達到最優化，因為柔度最小化會導致結構頻率的降低，而固有頻率最大化會導致結構柔度的升高，所以結構重構時要綜合考慮。

對于工作臺，由于結構相對簡單，根據拓撲優化的結果，將結果中的材料高密度區域作為結構，再經過局部的細節設計得到的工作臺的設計結果如圖5b所示。

圖5 動子安裝部件的結構設計圖

對重構前、后的工作臺進行靜應力分析，得到的結果如表2所示。

表2 工作臺靜態分析

由表2可見最大變形減小，特別是在對加工精度影響較大的豎直方向，變形從11.47μm，減小到8.94μm，減小了25.9%，同時工作臺的質量也有所減輕，從表中可以看到工作臺的剛度結構效能有較大程度的上升。這說明工作臺的靜剛度得到了較大的提高。

為驗證重構后動力學特性的變化，對工作臺進行模態分析，重構前后固有頻率變化如表3所示。

表3 工作臺優化前后模型固有頻率

由表3可見，前六階固有頻率，優化工作臺較原型都有較大程度的增加，第一階固有頻率提高了24.51%，這說明經過優化設計后，工作臺的動力學性能得到了大幅度的提高。

根據靜、動力學分析和拓撲優化結果以及相關工藝要求，在不改變導軌、立柱和永磁體安裝部分以及考慮底座功能的前提下，底座重構的模型如圖6b所示。根據拓撲優化的結果，將支撐導軌的主筋板和工作臺底座支撐筋板由原來的豎直布置改為傾斜布置;根據靜力學分析，調整筋板的厚度，并增加橫梁。

圖6 永磁直線同步電動機底座結構圖

對重構前、后的工作臺進行靜應力分析，得到的結果如表4所示。

表4 底座靜態分析

重構后的床身模型最大變形為1.76×106m，減小1650%，從靜力學分析來看，優化效果較好。

對重構后的底座模型進行模態分析，提取重構后底座的前六階模態見表5所示。

表5 底座優化前后模型固有頻率對比

從表5中可以看出，重構后的底座前六階模態頻率均有提高，最高達25.9%。說明底座的抗振能力得到提高。

將重構后的工作臺和底座裝配后，對直線進給系統進行瞬態動力學分析。令永磁直線同步電動機在0.2秒時突加沖擊載荷，對工作臺上指定點的加速度響應進行分析，原系統與重構系統的加速度響應對比如圖7所示。

圖7 工作臺加速度響應

由工作臺上節點的加速度響應(圖7)對比可見可以看出:水平軸方向由于受瞬態載荷的沖擊，該處有明顯的變形突變，而優化工作臺的變形更小;豎直方向兩種工作臺響應曲線趨勢一致，而重構后系統的變形值比原型有較大幅度的減小，說明系統抵抗沖擊載荷的能力增強。

4 結束語

為提高高精數控機床直線進給系統剛度，對工作臺和底座進行拓撲優化后重構，重構前、后結構的動靜剛度對比表明，重構后工作臺和底座的動靜剛度均有提高。瞬態動力學仿真表明:系統承受沖擊載荷的能力也有所增強。拓撲優化結果可為結構設計提供參考。

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Design of Reduce Vibration for Linear Feed System of High Precision Machine Tool Based on Topology Optimization

NING Jian-rong1，2，XIA Jia-kuan2，SHEN Li2，WANG Cheng-yuan2
(1.School of Mechanical Engineering，Shenyang University of Chemical Technology，Shenyang 110142，China;2.School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110178，China)

In order to reduce vibration of high speed high precision machine tool caused by periodic fluctuant normal force of permanent magnet linear synchronous motor(PMLSM)，table and bed of linear feed system were optimized by using topology optimization techniques.The topology results were used to restructure the table and bed.Comparing with the original design，deformation of table and bed decrease under the normal force，and low order natural frequency increase.The results show that machine’s static and dynamic stiffness of restructure are improved significant after restructure.The useful information for the optimal design of precision machine tool is obtained.

high speed high precision machine tool;topology optimization;permanent magnet linear synchronous motor

TH16;TM351

A

1001-2265(2012)12-0045-04

2012-04-10

高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20102102110001)

寧建榮(1975—)，女，遼寧鐵嶺人，沈陽化工大學機械工程學院講師，研究方向為直線電動機動力學，(E-mail)ningjr@126.com。

(編輯 李秀敏)