平面三自由度欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制*

胡 毅，余躍慶

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

平面三自由度欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制*

胡 毅，余躍慶

(北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院，北京 100124)

對(duì)平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問題進(jìn)行了研究，該機(jī)器人有兩個(gè)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)和一個(gè)自由關(guān)節(jié)。利用拉格朗日方程建立了該機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。依據(jù)該動(dòng)力學(xué)模型，分析了該類機(jī)器人的特點(diǎn)，并設(shè)計(jì)了一種模糊控制方法。控制系統(tǒng)根據(jù)模糊邏輯控制器輸出量得到主動(dòng)關(guān)節(jié)的控制力矩。利用主動(dòng)關(guān)節(jié)和被動(dòng)關(guān)節(jié)之間的動(dòng)力學(xué)耦合作用，控制被動(dòng)關(guān)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)機(jī)器人末端的直線軌跡跟蹤任務(wù)。采用該控制方法，對(duì)控制過程進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明該方法具有可行性。

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人;軌跡跟蹤;模糊控制;動(dòng)力學(xué)耦合

0 引言

欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人是一類含有被動(dòng)關(guān)節(jié)，驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)數(shù)目小于關(guān)節(jié)總數(shù)，能用較少的驅(qū)動(dòng)裝置完成復(fù)雜任務(wù)的機(jī)械系統(tǒng)，驅(qū)動(dòng)的減少使系統(tǒng)總質(zhì)量減少，同時(shí)又節(jié)省了能源，特別是在太空和水下機(jī)器人系統(tǒng)以及仿生機(jī)器人等研究領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，因此此類機(jī)器人越來越成為人們研究的熱點(diǎn)［1-4］。

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)本質(zhì)是非線性系統(tǒng)，滿足Brockett條件［5］，即不存在光滑的狀態(tài)反饋控制律使系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點(diǎn)上，因此欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制問題要比一般的非線性問題更加復(fù)雜和困難，必須設(shè)計(jì)新的工具和方法。目前，還沒有通用的理論來研究欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制。Oriolo等［6］論證了含有自由的動(dòng)力學(xué)約束一般情況下是不可積的，因此為二階非完整系統(tǒng)。De Luca［7-8］等研究了第一個(gè)關(guān)節(jié)受驅(qū)動(dòng)，而第二個(gè)關(guān)節(jié)為被動(dòng)的2R、PR機(jī)械臂的穩(wěn)定性問題。Arai［9］等利用構(gòu)造軌跡方法證明了平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人是可控的，并運(yùn)用反饋控制策略實(shí)現(xiàn)對(duì)平面3R機(jī)器人的位置控制。何廣平［10］等提出了兩種欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂位置控制的諧波函數(shù)控制方法。劉慶波［11］等針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制問題，提出了一種基于遺傳算法的模糊控制新方法。以上文獻(xiàn)主要集中在被動(dòng)關(guān)節(jié)的位置控制上。在實(shí)際應(yīng)用中，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的末端軌跡控制是十分重要的，因此有必要在相關(guān)方面做更深入的研究。

本文以末端關(guān)節(jié)是欠驅(qū)動(dòng)的平面3R機(jī)器人為研究對(duì)象，對(duì)其末端軌跡跟蹤控制問題進(jìn)行研究，根據(jù)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的特征并基于模糊理論設(shè)計(jì)一種控制方法對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。在仿真層面實(shí)現(xiàn)規(guī)劃的直線軌跡以驗(yàn)證控制方法的可行性。

1 動(dòng)力學(xué)模型

平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖1所示。第1、2關(guān)節(jié)(實(shí)心圓)為主動(dòng)關(guān)節(jié)，第3關(guān)節(jié)(空心圓)為被動(dòng)關(guān)節(jié)。各桿是勻質(zhì)桿，因此視各桿質(zhì)量集中在桿的中點(diǎn)。而且由于本文研究的是平面機(jī)器人，故不用考慮重力項(xiàng)。通過Lagrange方程，可以得到動(dòng)力學(xué)方程:

圖1 平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人

式中，M為系統(tǒng)的慣性矩陣，h為哥氏力和離心力項(xiàng)，f為阻尼項(xiàng)，θ為關(guān)節(jié)角度，τ為關(guān)節(jié)力矩矩陣;其中，h、f與角速度及其乘積有關(guān)。將主動(dòng)和被動(dòng)關(guān)節(jié)分離，式(1)可以得到如下形式:

由式(2)可知，欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在模型上與全驅(qū)動(dòng)機(jī)器人相似，但因被動(dòng)關(guān)節(jié)無轉(zhuǎn)矩輸入，所以其加速度約束具有不可積特性，即運(yùn)動(dòng)受二階非完整約束，不能直接從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度控制被動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)。但是，主、被動(dòng)關(guān)節(jié)的加速度之間存在耦合關(guān)系，因此可以通過控制主動(dòng)關(guān)節(jié)來間接地控制被動(dòng)關(guān)節(jié)。此時(shí)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)與輸入轉(zhuǎn)矩有關(guān)，所以應(yīng)從動(dòng)力學(xué)角度來實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的控制任務(wù)。

2 控制方法

如圖1所示，E為機(jī)器人的末端，L為規(guī)劃的直線軌跡。d為E到直線L的距離，同時(shí)也將d視為誤差值，并規(guī)定對(duì)于L而言，原點(diǎn)O所在一側(cè)的點(diǎn)到L的距離為負(fù)，剩余的點(diǎn)到L的距離為正。α為關(guān)節(jié)2和末端E之間的連線與桿1的夾角，是機(jī)器人的位形參數(shù)。

首先，規(guī)定關(guān)節(jié)角速度、角加速度、關(guān)節(jié)控制力矩(或控制電壓)逆時(shí)針方向?yàn)檎槙r(shí)針方向?yàn)樨?fù)。軌跡跟蹤的控制思路為關(guān)節(jié)1以規(guī)劃的角速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)通過主動(dòng)關(guān)節(jié)2和被動(dòng)關(guān)節(jié)3之間的動(dòng)力學(xué)耦合作用控制關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的角度，最終實(shí)現(xiàn)末端跟蹤規(guī)劃的軌跡，整個(gè)過程被動(dòng)關(guān)節(jié)3完全自由。在這個(gè)過程中，主動(dòng)關(guān)節(jié)1的加速和減速均會(huì)對(duì)被動(dòng)關(guān)節(jié)3產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)耦合作用，此耦合作用被視作是對(duì)關(guān)節(jié)3的干擾，可以通過對(duì)關(guān)節(jié)2實(shí)時(shí)控制予以消除。因?yàn)殛P(guān)節(jié)1是按照規(guī)劃的角速度運(yùn)動(dòng)，所以只要保證d=0，就能使得末端跟蹤指定的直線軌跡。控制原理框圖如圖2所示。

圖2 直線軌跡控制原理框圖

圖2中FLC表示模糊邏輯控制器，τ表示關(guān)節(jié)2的控制力矩(或控制電壓)。其具體過程為:主動(dòng)關(guān)節(jié)1按照規(guī)劃的角速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，同時(shí)將d和α作為輸入變量反饋給FLC，通過FLC規(guī)則得到作用于關(guān)節(jié)2的輸出變量τ，再經(jīng)動(dòng)力學(xué)耦合作用控制被動(dòng)關(guān)節(jié)3的運(yùn)動(dòng)，使末端跟蹤期望軌跡。

下面分析圓弧軌跡的FLC模糊邏輯控制器規(guī)則的具體形式。

α是機(jī)器人的位形參數(shù)，可以根據(jù)其值將位形分為兩種情況;當(dāng)α≤0時(shí)，記為Flag=1;當(dāng)α≥0時(shí)，記為Flag=2。根據(jù)實(shí)際手動(dòng)控制經(jīng)驗(yàn)可以總結(jié)出模糊控制規(guī)則，如表1所示。表1中，{NB、NS、ZO、PS、PB}為隸屬度函數(shù)模糊語言變量值。

表1 FLC模糊控制規(guī)則表

從表1中可以看出，輸出量τ與輸入量d在各自論域上均分成5個(gè)模糊集合。當(dāng)Flag=1時(shí)，τ值的正負(fù)與d的相反;當(dāng)Flag=2時(shí)，τ值的正負(fù)與d的相同。

依據(jù)表1，并考慮到實(shí)時(shí)計(jì)算量，可以將輸入量、輸出量的模糊化與解模糊化進(jìn)行簡化，得到的輸出控制量τ的簡化形式為:

式中k為模糊控制量系數(shù)。

依據(jù)該控制策略，在直線軌跡跟蹤控制仿真中，需要根據(jù)結(jié)果，不斷調(diào)整k值，已達(dá)到最好的控制效果。

3 數(shù)值仿真

仿真對(duì)象為圖1所示的平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，并考慮關(guān)節(jié)摩擦力對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，該摩擦力采用粘性摩擦模型，模型如式(4)所示:

其中f為摩擦力矩，μ為粘性摩擦系數(shù)為關(guān)節(jié)角速度。仿真的參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)

表中質(zhì)量單位為 kg，長度單位為 mm，mc1、mc2和mc3分別為各桿的質(zhì)量，m1、m2和m3分別為各關(guān)節(jié)的集中質(zhì)量，l1、l2與l3分別為各桿的長度;μ1與 μ2分別為主動(dòng)關(guān)節(jié)1與主動(dòng)關(guān)節(jié)2的摩擦系數(shù);μ31與μ32分別為被動(dòng)關(guān)節(jié)3順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)與逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)。

機(jī)器人的操作任務(wù)是跟蹤直線y=x-650，起始點(diǎn)為 P0(0，-650)，終點(diǎn)為 Pd(442，-208)，軌跡長度為625，坐標(biāo)單位與長度單位均為mm;在起始位置時(shí)，θ1=-90°，θ2=0°。設(shè)定關(guān)節(jié) 1 以變速運(yùn)動(dòng)到30°，關(guān)節(jié)1的角加速度如式(5)所示:

式中時(shí)間t的單位為秒(s)。

在仿真過程中，依據(jù)上述控制策略，經(jīng)過不斷摸索及反復(fù)調(diào)節(jié)，最終設(shè)定控制量系數(shù)k=14.5，以0.01s為一個(gè)周期讀取各個(gè)關(guān)節(jié)角度值，以及機(jī)器人末端坐標(biāo)和誤差等其他數(shù)據(jù)，依據(jù)這些結(jié)果可以繪制如下數(shù)據(jù)曲線。

圖3顯示了末端實(shí)際軌跡與末端期望軌跡的對(duì)比，圖4為誤差值曲線，圖5表示了三關(guān)節(jié)角度變化。圖3顯示的末端實(shí)際軌跡說明在經(jīng)過開始的小幅振蕩后，末端逐漸收斂至期望的軌跡，比較精確地完成了操作任務(wù)。

圖3 末端軌跡

由關(guān)節(jié)1的角加速度可知，關(guān)節(jié)1在3.9s時(shí)角速度和角加速度變化最大，由此造成的對(duì)被動(dòng)關(guān)節(jié)3的干擾最大;因此可從圖4、圖5看出，誤差在3.9s達(dá)到最大，此時(shí)關(guān)節(jié)2、關(guān)節(jié)3由于耦合作用，角度變化比較劇烈;系統(tǒng)在經(jīng)過短暫調(diào)整后逐步收斂進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段，并使誤差值收斂到期望值，說明通過對(duì)主動(dòng)關(guān)節(jié)2的控制，較好地解決了主動(dòng)關(guān)節(jié)1對(duì)被動(dòng)關(guān)節(jié)3產(chǎn)生的干擾。

圖4 誤差

圖5 三關(guān)節(jié)角度

表3為仿真結(jié)果的誤差分析，從表中可知在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，誤差都在可接受范圍之內(nèi)。

表3 仿真結(jié)果誤差分析

4 結(jié)束語

本文研究了平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的軌跡控制問題。運(yùn)用模糊控制理論，設(shè)計(jì)了適用于二階非完整系統(tǒng)的控制方法，該方法具有規(guī)則簡單、實(shí)時(shí)計(jì)算量小及參數(shù)容易調(diào)節(jié)等優(yōu)點(diǎn)。仿真結(jié)果表明，平面3R欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人能完成直線軌跡跟蹤，驗(yàn)證了控制方法的有效性及智能控制的優(yōu)越性，為今后所要研究的復(fù)雜曲線跟蹤等問題提供有效的控制策略及方法。

［1］Mahhndraker A D，Rao S，Banavar R N.Point-to-point control of a 2R planar horizontal underactuated manipulator［J］.Mechanism and Machine Theory，2006，41(7):838-844.

［2］Mahhndraker A D，Banavar R N.Reyhanoglu M.Controllability and point-to-point control of 3-DOF planar horizontal underactuated manipulators［J］.International Journal of Control，2005，78(1):1-13.

［3］Udawatta L，Banavar R N，Reyhanoglu M.Control of underactuated robot manipulators using switching computed torque method:GA based approach［J］.Soft Computing-A Fusion of Foundations，Methodologies and Applications，2003，8(1):51-60.

［4］Arai H，Kazuo T，Naoji S.Time-scaling control of an underactuated manipulator［C］//Proceeding of the 1998 IEEE International Conference on Robotics＆Automation.Leuven，Belgium:IEEE，1998:2619-2626.

［5］Brockett R W.Asymptotic stability and feedback stabilization，differential geometric control theory［M］.New York，USA:Birkaeuser，1983:181-191.

［6］Oriolo G，Nakamura Y.Control of Mechanical Systems with Second-order Nonholonomic Constrains:Underactuated Manipulator［C］//IEEE Conf.on Decision and Control.Brighton:IEEE，1991:2398-2403.

［7］Luca A D，Mattone R，Oriolo G.Stabilization of an underactuated planar 2R manipulator［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2000，24:181-198.

［8］Luca A D，Iannitti S，Oriolo G.Stabilization of a PR planar underactuated robot［C］//Proceeding of the 2001 IEEE International Conference on Robotics＆Automation.Seoul:IEEE Press，2001:2090-2095.

［9］Arai H，Tanie K，Shiroma N.Nonholonomic control of a three-dof planar underactuated manipulator［J］.IEEE Trans on Robotics and Automation，1998，14(5):681-695.

［10］何廣平，陸震，王鳳翔.平面三連桿欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂諧波控制方法［J］. 航空學(xué)報(bào)，2005，25(5):520-524.

［11］劉慶波，余躍慶，蘇麗穎，等.基于遺傳算法的平面欠驅(qū)動(dòng)機(jī)器人模糊控制［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2008，24(5):42-46.

Trajectory Tracking Control of a 3-DOF Horizontal Underactuated Robot

HU Yi，YU Yue-qing
(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China)

A study of controlling the trajectory tracking of a 3R horizontal underactuated robot is investigated;the robot has two actuated joints and a free joint.The dynamic model of the robot is established with Lagrange equitation.Based on the dynamic model，the property of this kind of robot is analyzed;a fuzzy control method is designed.The control torque of the active joints is determined by the output parameters of fuzzy logic controller.Applying the dynamic coupling of the active joints and passive joint，the passive joint is controlled;the linear trajectory tracking of the robot is achieved.Using this control method，the course of controlling is simulated;the results show that the proposed method is effective.

underactuated robot;trajectory tracking;fuzzy control;dynamic coupling

TH121;TP24

A

1001-2265(2012)12-0082-03

2012-02-03

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50875002)

胡毅(1987—)，男，北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與應(yīng)用電子技術(shù)學(xué)院碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制等，(E-mail)emails_huyi@126.com。

(編輯 李秀敏)