采用模糊控制實現不確定混沌系統投影同步

趙 磊，姚 聰，劉勝榮

（1.黃山學院信息工程學院，安徽黃山245041；2.化學工業第二設計院寧波工程有限公司，浙江寧波315040）

采用模糊控制實現不確定混沌系統投影同步

趙 磊，1姚 聰，2劉勝榮1

（1.黃山學院信息工程學院，安徽黃山245041；2.化學工業第二設計院寧波工程有限公司，浙江寧波315040）

當驅動系統和響應系統參數未知和不確定時，研究不同混沌系統的投影同步，采用Takagi-Sugeno(TS)模糊動態模型和Lyapunov穩定性理論，導出了混沌系統廣義投影同步的一個充分條件。通過一些矩陣操作技巧，這個準則被轉化為一組線性矩陣不等式形式，并用Matlab工具箱方便地解決了這些線性矩陣不等式的求解。對Lorenz方程和Rossler系統的數值模擬，仿真結果表明該方法的有效性。

混沌；廣義投影同步；模糊控制

1 引言

自從Pecora和Carroll[1]的驅動-響應同步方法提出以后，這十多年來，混沌同步由于其在保密通信、生命科學和信息等領域的潛在應用價值引起了非線性科學研究者的廣泛關注，文獻中已經提出了許多有效的混沌控制與同步的方法。[2-4]同時，對混沌系統同步現象的研究也取得了一定的成果。如混沌系統完全同步、混沌系統的相位同步、廣義混沌系統同步和混沌系統延遲同步等。1999年，R.Mainieri和J.Rehacek[5]在研究部分線性混沌系統中觀察到了一種新的同步——投影同步，即在耦合某些部分線性混沌系統時，一定條件下耦合的主從系統狀態的輸出不僅相位鎖定，而且各對應狀態的振幅還按某一比因子關系演化。隨后Xu等人對混沌系統的投影同步現象進行深入研究，提出了三維混沌系統同步的穩定標準，任意維連續混沌系統出現投影同步的判斷準則以及任意維離散混沌系統出現投影同步的必要條件。[6，7]

到目前為止，國內外學者提出了許多基于精確模型的混沌系統控制策略。[8-11]然而當混沌系統模型不確定或者部分甚至所有參數未知時，這些方法就失效了。在控制系統設計中，最關鍵且又最困難的是如何針對復雜、變化而且不確定性的受控對象和環境，做出有效的控制決策。同時，由于混沌系統對初始條件的敏感性，那么，對不確定混沌系統的控制和同步將更加不易。由于模糊邏輯已證明具有對非線性系統任意逼近的特點，把模糊邏輯和混沌系統結合起來，本文提出了采用模糊控制實現不確定混沌系統投影同步的控制方法。為說明本文方法的有效性，考慮了Lorenz方程和Rossler混沌系統的廣義投影同步控制問題，仿真結果表明，本文的方法是有效的。

2 混沌系統的投影同步

考慮連續系統，其不確定TS模糊動態模型為：

式中Ri表示模糊系統的第i條規則，Mij(j=1,2…，p)是模糊集合，r是模糊推理規則數，x(t)∈Rn是狀態變量，z1(t),z2(t),…zp(t)是模糊前件變量，u(t)∈Rm是控制輸入。Ai，B是第i個子系統相應維數的矩陣，△Ai表示參數攝動，di(t)表示外擾動，它們滿足如下匹配條件：

其中Fi是未知矩陣，pi(t)為未知有界函數，滿足：

這里ωi和ξi是未知常數。

假設1：存在矩陣A0使得Ai-A0=BGi(i=1,2,…，r)，這里Gi是已知矩陣。

若采用單點模糊化，加權平均反模糊化方法，（1）式可以表示成如下全局系統方程

μij（(t)）是zj(t)關于模糊集Mij的隸屬函數，wi（z(t)）滿足：

同時參考模型也是一不確定混沌系統，其T-S模糊動態模型為：

式中Nij(j=1,2…，p)是模糊集合，r是模糊推理規則數，y(t)∈Rn是狀態變量，(t)是模糊前變量，Di是第i個子系統相應維數的已知參數矩陣，△Di表示參數攝動，ηi(t)表示外擾動，它們滿足如下匹配條件：

假設2：存在矩陣D0使得Di-D0=BRi(i=1,2,…，r)，這里Ri是已知矩陣。

采用類似上面的方法可得到參考模型（5）的全局系統方程為：

定義誤差向量為e(t)=αx(t)-y(t)，其中α為尺度因子，結合系統（4）和（7）得：

由假設1和假設2，（8）式可以寫成：

根據系統模型構造控制器u(t)為：

其中

這里P∈Rn×n是一個待求的正定矩陣，K1∈Rn×n，K2∈Rn×n，sgn表示符號函數，δ(t),p^(t),c^(t)和d^(t)滿足自適應調解律，即

則混沌系統（1）和（5）為廣義投影同步。

假設3：存在矩陣K1和K2使得

定理1：在假設1,2,3下，若存在正定矩陣P和矩陣K1使得

證明：將（10）式代入（8）式得閉環系統

在假設3下，系統（16）還可以寫成

構造一個Lyapunov函數

tere kümün ?ɡd?r(??ɡed?r)tere tuqai ü (那個人昨天就把那件事說了)

對V(t)關于時間t求導得

采用自適應律（13）式，進一步化為：

假設(14)式可以轉化為求解

這里X和Y是兩個正定矩陣，且STS＜I。

令P=X-1和Yi=KiX，i=1,2,則定理1中控制u(t)的設計問題轉化為如下不等式求解問題：

3 數值仿真

考慮如下的Lorenz方程

當a=10,b=8/3,c=28時系統呈混沌態，由于混沌系統的有界性，我們假設系統的狀態x1(t)∈[-θ,θ]，其中θ＞0都呈混沌態。根據系統（1）,Lorenz的TS模糊模型可表示為

R1：如果z(t)是M1；則

R2：如果z(t)是M2；則

其中x(t)=[x1(t),x2(t),x3(t),]T,

參考模型為Rossler混沌系統，假設系統的狀態y1(t)∈[4.5-θ,4.5+θ]，根據系統（5）,Rossler的TS模糊模型可表示為：

R1：如果z^(t)是M1；則

R2：如果是M2；則

選取A0=A1和D0=D1，根據定理1，應用Matlab軟件的LMI工具箱可求得滿足條件（20）的矩陣為

設初始條件x(0)=[0.1,0.1,0.5]T，y(0)=[0.2,0.1,0.6]T，選取，仿真結果分別如圖1所示：

圖1 Lorenz方程和Rossler混沌系統在的廣義投影同步

4 結論

本文研究了由TS模糊模型表示不確定混沌系統的廣義投影同步，給出了一種簡單有效的控制方法，該方法利用線性矩陣不等式技術，把系統的穩定性條件轉化成對一組線性矩陣不等式的求解問題。本方法構造簡單，同步速度快，精度高，且仿真結果表明該方法是有效的。

[1]Pcora L M,Carroll T L.Synchronization in chaotic systems[J].Phys.Rev.Lett,1990,64(8):821-823.

[2]趙磊,趙雪峰,鄭永愛.采用模糊控制實現混沌系統的廣義投影同步[J].電機與控制學報,2007,11(6):644-647.

[3]孟娟，王興元.基于模糊觀測器的Chua混沌系統投影同步[J].物理學報,2009,52(2):413-416.

[4]Kazuo T,Takayuki I and Wang.H O.A unified Approach to Controlling Chaos via an LMI Based Fuzzy Control System Design[J].IEEE Trans.Circ.Syst,1998,45(10):1021-1040.

[5]Mainieri R and Rehacek J.Projective synchronization in Three-Dimensional chaotic system[J].Phys Rev Lett,1999,82(15):3042-3045.

[6]Xu D L.Control of projective synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,2001,63(2):027201(1-4).

[7]Wen G L,Xu D L.Nonlinear observer control for fullstate projective synchronization in chaotic continuos-time systems[J].Chaos Solitons and Fractals.2005,26(1):71-77.

[8]Yan J P,Li C P.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system[J].Chaos Solitons and Fractals,2005,26(4):1119-1124.

[9]L i G H.Generalized projective synchronization of two chaotic systems by using active control[J].Chaos Solitons and Fractals,2006,30(1):77-82.

[11]趙磊,鄭永愛.基于模糊觀測器混沌系統的廣義投影同步[J].控制工程,2007,14(6):622-624.

責任編輯：胡德明

Abstact:This paper presents projective synchronization between two different chaotic systems when the parameters of the drive and response systems are unknown and uncertain.Based on Takagi-Sugeno(TS)fuzzy dynamical models and the Lyapunov Stability Theory,a sufficient condition is derived for the generalized projective synchronization of chaotic systems.By using some matrix operation techniques,this criterion is then transformed into linear matrix inequalities(LMI)form,which can be solved numerically using readily available Matlab software packages.The effectiveness of the proposed generalized projective synchronization method is illustrated through numerical simulations of the Lorenz equation and Rossler system.

Key words:chaos;generalized projective synchronization;fuzzy control

Realizing Projective Synchronization of Uncertain Chaotic Systems by Fuzzy Control

Zhao Lei1,Yao Cong2,Liu Shengrong1
(1.College of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan245021,China;2.SEDIN,Ningbo Engineering Co,Ltd;Ningbo315040,China)

TP273

A

1672-447X（2012）03-0018-004

2011-11-06

黃山學院自然科學研究項目（2008xkjq016）；黃山學院自然科學重點項目（2011xkjq002）

趙磊（1981－），山西長治人，黃山學院信息工程學院教師，碩士，研究方向為非線性控制。