基于增量諧波平衡法的復合行星齒輪傳動系統非線性動力學

劉振皓，巫世晶，王曉筍，潛 波

(1.武漢大學 動力與機械學院，武漢 430072;2.中國北方東西研究所，車輛傳動重點實驗室，北京 100072)

復合行星齒輪傳動系統可以承受大的載荷與傳動比，因而在機械傳動系統中得到廣泛應用，其性能的好壞對傳動系統具有重要影響。Kahraman［1］分析了Ravigneaux式復合行星輪系可能的10種運動結構形式，并對每一種結構分別建立了純扭轉線性動力學模型，分析了系統的固有特性。Dhoubib［2］建立了 Ravigneaux式復合行星輪系的平移—扭轉耦合動力學模型，研究了系統固有特性。Kiracofe、Guo和潛波［3－5］也均建立了某類復合行星輪系的純扭轉模型，研究了系統的固有特性。在利用解析法研究系統的非線性動力學特性方面，目前只有 Al-shyyab［6］應用諧波平衡法(HBMHarmonic balance method)研究了辛普森(Simpson)式復合行星齒輪傳動系統純扭轉模型的非線性動態響應，得到了各級嚙合副的動態嚙合力。

Lau［7］在1981年提出了增量諧波平衡法(IHBMIncremental jarmonic balance method)，對于一般的非線性系統利用該方法可以求取任意階近似解。此后，Lau［8］研究了具有分段線性剛度的系統動力學，得到了該問題的解的一般形式。楊紹普、申永軍［9－10］利用IHBM法研究了一類考慮時變嚙合剛度和間隙的直齒輪副的非線性動力學，建立了這類模型的解的統一形式，同時研究了系統的分岔特性以及阻尼比、外激勵幅值對系統幅頻曲線的影響。目前，還沒有學者將IHBM法應用于拉威娜(Ravigneaux)式復合行星齒輪傳動系統非線性動力學特性的研究。因此，本文利用IHBM法研究了Ravigneaux式復合行星齒輪傳動系統的非線性動力學特性，得到了系統的基頻穩態響應。同時分析了系統參數對動態特性的影響，從而為控制系統的振動與噪聲，實現復合行星齒輪傳動系統動態設計奠定了基礎。

1 系統運動微分方程

圖1為Ravigneaux式復合行星齒輪傳動系統純扭轉動力學模型。假設同類行星輪的質量與轉動慣量相同，且在行星架上均勻分布;同類別的嚙合剛度、齒側間隙與綜合嚙合誤差也均相同。

圖1 復合行星齒輪系統純扭轉模型Fig.1 Pure torsional model of compound planetary gear sets

圖 1 中，下標 s1、s2、r、an、bn分別表示小太陽輪、大太陽輪、齒圈、第n個a類行星輪、第n個b類行星輪。下標 s1an、s2bn、rbn、anbn分別為小太陽輪 s1與行星輪an、大太陽輪s2與行星輪bn、齒圈與行星輪bn、行星輪an與行星輪 bn的嚙合齒輪副。定義 i=s1、s2、r、an、bn;n=1，2，…，N;N 為行星輪組數;j=s1an、s2bn、rbn、anbn。kj表示嚙合副j的嚙合剛度，up為中心構件切向線位移(p=c，r，s1，s2)，uknc為行星輪相對行星架的切向線位移(k=a，b)，定義如下:

式中 rp為中心構件基圓半徑(p=r，s1，s2);rk、θkn分別為行星輪基圓半徑與絕對角位移(k=a，b);θp為中心構件的角位移(p=c，r，s1，s2)。

嚙合副的相對位移定義如下式所示:

式中，ej為嚙合副綜合嚙合誤差。根據拉格朗日方程，系統原始運動微分方程組如式(3)所示:

式中，kj(t)為時變嚙合剛度;Ii為轉動慣量(i=c，r，s1，s2，a，b);Ti為中心構件傳遞的扭矩(i=c，r，s1，s2);Ice=Ic+N·Ia+N·Ib;=ri/rs1(i= r，s2，a，b)。f(δj)為齒側間隙非線性函數，定義為:

其中，bj為齒側間隙的一半。

為對系統的動力學方程組進行無量綱化處理，定義時間標稱尺度ωeh，令:

式中:ks1am為太陽輪與行星輪an的平均嚙合剛度。

引入位移標稱尺度bc與無量綱的時間，定義其他無量綱物理量如下:

式中，ω為系統激勵頻率;Ω為無量綱激勵頻率。系統無量綱運動微分方程組為:

式中，pi=Ti/ri(i=c，r，s1，s2);Mi=Ii/r2i(i=r，s1，s2，a，b);Mc=Ice/r2s1;ki=kit/r2i(i=r，s1，s2);kc=kct/r2s1。無量綱齒側間隙非線性函數定義為:

2 增量諧波平衡法求解

時變嚙合剛度與無量綱綜合嚙合誤差可寫為:

式中，kjm為平均嚙合剛度;εl為剛度波動系數;為無量綱平均嚙合誤差;ρ為綜合嚙合誤差波動系數;l為展開諧波次數;L為最高諧波次數。引入新的時間變量τ=Ωt。式(7)可寫為:式中“·”表示對τ求導數。方程組的解可寫為:

齒側間隙非線性函數可用一階泰勒公式展開:

定義 u=［uc，ur，us1，us2，ua1c，ub1c，…，uaNc，ubNc］T，Δu= ［Δuc，Δur，Δus1，Δus2，Δua1c，Δub1c，…，ΔuaNc，ΔubNc］T。其中 ui= ［α0i，α1i，β1i，α2i，β2i，…，αiL，βiL］T，Δui=［Δα0i，Δα1i，Δβ1i，Δα2i，Δβ2i，…，ΔαiL，ΔβiL］T。運用Galerkin過程，將式(14)左右兩端同時乘以1、cos(lτ)、sin(lτ)(l=1，2，…，L)，并在［0，2π］內積分，得到關于Δu的(2L+1)(2N+4)元線性方程組。本文取L=1，以3組行星輪為例，得到的線性方程組未知數的個數為30。

本文應用Maple 11.0進行求解，諧波平衡過程中遇到的非線性函數積分可用軟件內部的rightsum()函數計算近似值，其原理是用一些矩形塊的面積代替積分值，矩形的個數越多，計算結果越精確，本文取矩形個數為100個。迭代求解時，首先給u一組初值，進而確定上述積分值。從線性方程組中解出Δu，判斷式(16)的終止迭代條件:

式中，Δu為向量Δu中的元素，σ為預先設定的小正數。若不滿足條件，便以u+Δu代替原來的u，從而重新計算積分值，獲得一組新的線性方程組，進而解出一組新的Δu，再次判斷條件，如此循環。直至滿足終止條件便停止迭代，并最終以u作為微分方程組的解。其中，求解線性方程組采用Gauss消去法。

3 系統非線性頻域動態特性

Ravigneaux式復合行星齒輪傳動系統的基本參數與計算參數分別如表1、表2所示。扭矩從太陽輪s1輸入，太陽輪 s2輸出，齒圈 r固定，輸入扭矩 Ts1=150 N·m，負載扭矩Ts2=275 N·m。為了簡化計算，本文僅將諧波次數展開為1次，所得到的結果是系統的基頻穩態響應。

表1 系統基本參數Tab.1 Fundmental parameters of the system

表2 計算參數Tab.2 Parameters of calculation

令表2中打“*”號的量值在各個嚙合線上均相等，省略了下標j。IHBM法計算出的頻響曲線如圖2、圖3所示。Us2b1與Uc分別表示太陽輪s2與行星輪b1之間的相對位移、行星架c的無量綱響應幅值。為了對比分析，圖中同時給出了無齒側間隙、無剛度波動的線性系統的頻響曲線。

由圖3至圖4可知:

(1)對于線性系統，在(0，2)范圍內，當無量綱激勵頻率 Ω =0.36、0.58、1.06、1.48 時會激發系統的共振。作者已驗證，此四階頻率與系統第2、3、6、9階固有頻率較為接近(無量綱頻率分別為 0.42、0.65、1.05、1.50)，而此四階固有頻率恰好為除去第1階與第10階固有頻率外的全部單根。

(2)當考慮齒側間隙與時變嚙合剛度時，復合行星齒輪傳動系統動力學特性表現出明顯的非線性特點，而這種非線性特征在低頻處表現得更為突出。在無量綱激勵頻率Ω=0.3處，頻響曲線表現出幅值不連續與多值解的特征，系統出現了無沖擊與單邊沖擊的不同振動狀態;在無量綱激勵頻率 Ω=0.5、0.9、1.27處，頻率—振幅響應曲線出現了幅值不連續的特征。

(3)由于多自由度之間的耦合，當系統中某一個(幾個)零部件的振動幅值發生跳躍時，非間隙構件(行星架)也會產生非線性振動，其頻響曲線也發生了幅值不連續的現象。

4 系統參數對動態特性的影響

4.1 時變嚙合剛度的影響

如前所述，時變嚙合剛度是以簡諧函數的形式處理的。不同參數的齒輪副的嚙合剛度的平均分量與波動分量所占的比例是不同的。在其他參數不變的情況下，將表2中的剛度波動系數ε1分別取為0、0.25與0.5，對太陽輪s2與行星輪b1的相對位移頻響特性進行了計算，結果如圖4所示。

圖4 時變嚙合剛度對Us2b1的影響Fig.4 The influence of time-varying mesh stiffness on Us2b1

由圖4可知:

(1)無論剛度是否波動，在復合行星齒輪傳動系統共振頻率附近均出現了幅值不連續與多值現象，說明嚙合剛度不能改變系統的沖擊特性。

(2)當參數改變到一定程度時，頻響曲線在某些共振頻率處的幅值會削弱甚至消失。當ε1=0.25時，在曲線中僅有3階頻率會激發系統的共振。由此說明，由于多自由度之間的耦合，構件的振動彼此之間既能相互增強，也會使之相互削弱。

(3)隨著ε1的增加，能夠激發較大振動的共振頻率向低頻方向移動，發生幅值跳躍所對應的轉變頻率逐漸降低。

圖5 輸出扭矩對Uc的影響Fig.5 Influence of load torque on Uc

圖6 (a) 齒側間隙對Us2b1的影響(Ts2=370 N·m)Fig.6(a)Influence of backlash on Us2b1(Ts2=370 N·m)

圖6 (b) 齒側間隙對Us2b1的影響(Ts2=1 700 N·m)Fig.6(b)Influence of backlash on Us2b1(Ts2=1 700 N·m)

4.2 負載扭矩的影響

取剛度波動系數ε1=0.25，扭矩仍從太陽輪s1輸入，太陽輪s2輸出，輸入扭矩Ts1=750 N·m輸出扭矩Ts2分別取為370 N·m、1700 N·m與3200 N·m，對行星架c的頻響特性進行了計算，結果如圖5所示。

從圖中可以看出，當負載扭矩由370 N·m增加到1 700 N·m時，系統的頻響曲線幅值不連續的現象已經消失，曲線呈現線性系統的特征，系統不存在沖擊現象;而扭矩繼續增加到3 200 N·m時，系統的頻響曲線的性質與扭矩為1 700 N·m的頻響曲線無明顯差異?？梢姰斬撦d扭矩增加到一定程度時，系統的沖擊特性將不再發生明顯變化。另一方面，當負載扭矩增加時，系統低頻響應幅值有所增加，而高頻響應幅值有所減少。

4.3 齒側間隙的影響

取剛度波動系數 ε1=0.25，輸入扭矩 Ts1=750 N·m。在輸出扭矩Ts2分別為370 N·m、1 700 N·m的情況下分別計算齒側間隙=3.1 時 Us2b1的頻響特性，并與=1.5的曲線做了比較，結果如圖6所示。

從圖6(a)中可以看出，當負載扭矩較小時，增大齒側間隙可以使系統表現出更為明顯的非線性振動的特征，系統出現了更為復雜的沖擊現象。在圖6(b)中，負載扭矩足夠大，除了引發共振的第3階頻率外，等于1.5與3.1的兩條頻響曲線的性質基本相同。這說明系統在重載環境時，齒側間隙對系統的動態響應影響很小。

結合4.2節可以看出，在系統處于輕載環境時，齒側間隙是影響系統動力學特性的主要因素;而當系統處于重載環境時，載荷對系統的動力學特性的影響則成為了主要因素。

5 結論

本文應用增量諧波平衡法研究了Ravigneaux式復合行星齒輪傳動系統非線性動力學特性，求解了系統的基頻穩態響應得出以下結論:

(1)齒輪間隙的存在使得復合行星齒輪傳動系統的頻響曲線，出現了幅值跳躍與多值解等典型非線性特征。

(2)多自由度之間的耦合使得系統非間隙構件(行星架)也會產生非線性振動。耦合作用也能使得構件的振動彼此之間既能相互增強，也能相互削弱。

(3)剛度波動不能改變系統的沖擊特性。隨著剛度波動程度的提高，共振頻率向低頻方向移動，發生幅值跳躍所對應的轉變頻率逐漸降低。

(4)當負載扭矩增加到一定程度時，系統的沖擊特性將不再發生明顯變化。當系統處于輕載環境時，齒側間隙是影響系統動力學特性的主要因素;而當系統處于重載環境時，載荷對系統的動力學特性的影響則成為了主要因素。

(5)IHBM法可得到系統任意精度的近似解，但對于復合行星齒輪傳動系統，若要進一步提高精度，則需求解的未知數個數將會成倍增加，求解會變得更加困難［12］。而工程上往往更關心基頻穩態響應，因此，利用IHBM法求解復合行星齒輪傳動系統的基頻穩態響應可以滿足工程需要，為深入研究系統的動力學特性，實現系統動態設計奠定了基礎。

［1］ Kahraman A. Free torsionalvbration characteristicsof compound planetary gear sets［J］.Mechanism and Machine Theory，2001，36(8):953－971.

［2］ Kiracofe D R，Parker R G.Structured vibration modes of general compound planetary gear systems［J］.ASME Journal of Vibration and Acoustics，2007，129(1):1－16.

［3］ DhouibS，HbaiebR，ChaariF，etal. Freevibration characteristics of compound planetary gear train sets［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part CJournal of Mechanical Engineering Science，2008，222(8):1389－1401.

［4］ Guo Y C，Parker R G.Purely rotational model and vibration modes of compound planetary gears［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45(3):365－377.

［5］ 潛 波，巫世晶，周廣明，等.行星齒輪傳動系統動力學特性研究［J］.系統仿真學報，2009，21(20):6608－6625.

［6］ Al-Shyyab A，Kahraman A.Non-linear dynamic behaviour of compound planetary gear trains:model formulation and semianalytical solution［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part K-Journal of Multi-body Dynamics，2009，223(3):199－210.

［7］ Lau S L，Cheung Y K.Amplitude incremental variational principle for nonlinear vibration of elastic systems［J］.Journal of Applied Mechanics，Transactions ASME，1981，48(4):959－964.

［8］ Lau S L，Zhang W S.Nonlinear vibrations of piecewise-linear systems by incremental harmonic balance method［J］.Journal of Applied Mechanics，Transactions ASME，1992，59(1):153－160.

［9］ 楊紹普，申永軍，劉獻棟.基于增量諧波平衡法的齒輪系統非線性動力學［J］.振動與沖擊，2005，24(3):40－42，95.

［10］ Shen Y J，Yang S P，Liu X D.Nonlinear dynamics of a spur gear pair with time-varying stiffness and backlash based on incremental harmonic balance method［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2006，48(11):1256－1263.

［11］ 孫 濤.行星齒輪系統非線性動力學研究［D］.西安:西北工業大學，2000.

［12］ 陳樹輝.強非線性振動系統的定量分析方法［M］.北京:科學出版社，2006.