形狀記憶合金超彈性分段線性模型及其阻尼特性

鄭繼周，張 艷

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，山東 泰安 271018;2.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息學(xué)院，山東 泰安 271018)

作為一種重要的功能材料，形狀記憶合金(Shape memory alloy，SMA)最基本的宏觀響應(yīng)特性之一是在不同溫度和應(yīng)力條件下的相變超彈性。相變超彈性是指處于奧氏體狀態(tài)的SMA，當(dāng)加載應(yīng)力超過(guò)彈性極限后，繼續(xù)加載將發(fā)生由應(yīng)力誘發(fā)的馬氏體相變;當(dāng)應(yīng)力去除后，馬氏體部分先彈性恢復(fù)，然后向奧氏體逆相變，應(yīng)變可完全恢復(fù)。在加卸載過(guò)程中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系出現(xiàn)遲滯效應(yīng)，使其具有較高的能量耗散能力。利用該特性，可以制作SMA耗能阻尼器，用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)的被動(dòng)控制。

在SMA超彈性遲滯環(huán)形成過(guò)程中，材料內(nèi)部存在正/逆相變，應(yīng)力、應(yīng)變、溫度、馬氏體含量之間存在較強(qiáng)的非線性關(guān)系，使分析計(jì)算與工程應(yīng)用極為困難。為解決這一困難，學(xué)者們提出了若干簡(jiǎn)化計(jì)算模型。Lagoudas［1－2］對(duì)已有的多項(xiàng)式模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，假設(shè) SMA應(yīng)力應(yīng)變之間呈線性關(guān)系，提出多線性模型，并運(yùn)用簡(jiǎn)化模型對(duì)裝有SMA阻尼器的隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)分析。任文杰［3］在Lagoudas多線性一維本構(gòu)模型基礎(chǔ)上，建立了基于頻率效應(yīng)的 SMA線性本構(gòu)模型。Thomson［4］構(gòu)造了具有彈塑性行為的超彈性分段線性化模型;秦惠增［5］從Tanaka本構(gòu)模型出發(fā)，提出SMA超彈性應(yīng)力應(yīng)變線性化模型。Du［6］在Brinson模型基礎(chǔ)上建立了分段線性超彈性本構(gòu)模型。

以現(xiàn)有線性化模型為基礎(chǔ)，考慮溫度、馬氏體含量等參量的影響，首先建立無(wú)相變、完全相變和不完全相變情況下SMA超彈性分段線性本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式，進(jìn)而探討影響SMA耗能能力、損耗因子、等效剛度等特性的因素，并將SMA作為阻尼材料應(yīng)用到經(jīng)典的質(zhì)量－彈簧－阻尼單自由度振動(dòng)模型中，研究振幅、彈簧剛度等對(duì)系統(tǒng)隔振效果的影響。

1 SMA超彈性的分段線性化模型

如圖1所示，SMA超彈性的相變過(guò)程基本由6個(gè)階段構(gòu)成:① 奧氏體彈性拉伸階段oda;② 奧氏體向馬氏體相變階段ab;③ 馬氏體彈性拉伸階段bb″;④馬氏體彈性卸載階段b″bc;⑤馬氏體向奧氏體逆相變階段cd;⑥奧氏體彈性卸載階段do。完全卸載后變形可以完全恢復(fù)。

圖1 SMA超彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系分段線性模型Fig.1 Piecewise linear constitutive relation for super-elasticity of SMA

設(shè) εa、εb、εc、εd分別為 a、b、c、d 各點(diǎn)的應(yīng)變，根據(jù)不同的相變情況，可把SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表述為如下分段線性化形式。

(1)無(wú)相變發(fā)生的情況(σ≤σAsS)。所加載荷不至于引起相變時(shí)，SMA處于完全奧氏體狀態(tài)，馬氏體含量為零。應(yīng)力應(yīng)變之間為線性關(guān)系，對(duì)應(yīng)于oda直線段，其表達(dá)式為σ=EAε。其中，EA為奧氏體的彈性模量。

(2)完全相變的情況(σ＞σAfS)。完全加/卸載時(shí)，正/逆相變均完全進(jìn)行，SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系沿odabb″cdo路線變化，可分段表示為:

a、b、c、d 各點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變分別為:

其中，Ms為正相變開(kāi)始溫度，As、Af分別為逆相變開(kāi)始和結(jié)束溫度，CM、CA分別為正相變和逆相變時(shí)應(yīng)力和溫度的等效轉(zhuǎn)換系數(shù)，σcsr、σcfr分別為相變開(kāi)始和結(jié)束應(yīng)力極限，εL為最大可恢復(fù)應(yīng)變，σSfA為逆相變終了臨界應(yīng)力，T為溫度。

(3)不完全相變的情況(σAsS＜σ＜σAfS)。不完全加載/完全卸載時(shí)，SMA的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系沿odab'c'do變化;若卸載尚未完成即重新加載，則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系沿odab'c'd'a'變化。可以綜合起來(lái)表示為:

正相變:

逆相變:

各段的彈性模量可根據(jù)兩端點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變得出。另外，εb'為SMA發(fā)生不完全正相變時(shí)卸載開(kāi)始點(diǎn)的應(yīng)變，而εd'為SMA發(fā)生不完全逆相變時(shí)加載開(kāi)始點(diǎn)的應(yīng)變，一般為已知值，故各量可求。

2 SMA的阻尼特性

圖2 SMA超彈性應(yīng)力應(yīng)變曲線示意圖Fig.2 Sketch of super-elasticity of SMA

不同循環(huán)條件下SMA材料整體剛度的變化可用其等效割線剛度來(lái)表示:其中，F(xiàn)max、Fmin、Δmax、Δmin分別為每個(gè)振動(dòng)循環(huán)中的最大輸出力、最小輸出力、最大位移和最小位移。

3 數(shù)值仿真

為便于比較，采用文獻(xiàn)［9］中所列數(shù)據(jù)(表1)計(jì)算SMA(NiTi合金)的各個(gè)特性參數(shù)，并設(shè)SMA絲橫截面直徑為1.0 mm，有效長(zhǎng)度為100 mm。

表1 SMA材料屬性Tab.1 Material properties of SMA

3.1 應(yīng)變幅值對(duì)SMA特性參數(shù)的影響

考慮不完全加載/完全卸載與完全加/卸載的情況。SMA應(yīng)力應(yīng)變曲線以及特性參數(shù)隨應(yīng)變幅值的變化如圖3所示(最大遲滯環(huán)對(duì)應(yīng)于完全加/卸載)。

可見(jiàn)，隨著應(yīng)變幅值的增加，應(yīng)力應(yīng)變曲線的加載屈服平臺(tái)幾乎不變(由于考慮了馬氏體體積分?jǐn)?shù)的影響，不同應(yīng)變幅值下平臺(tái)的斜率略有不同)，而卸載屈服平臺(tái)斜率減小，平臺(tái)略有下沉。另一方面，應(yīng)變幅值增加使遲滯環(huán)寬度增大，因此遲滯環(huán)包圍的面積近似線性增大，這意味著每個(gè)振動(dòng)循環(huán)所耗散的能量隨應(yīng)變幅值的增加幾乎線性增加。需要注意的是，盡管耗能基本上線性增加，但損耗因子的變化并不是線性的:在應(yīng)變幅值較小時(shí)損耗因子增加很快，當(dāng)應(yīng)變?yōu)?%時(shí)，損耗因子即可達(dá)到0.1;然而，應(yīng)變達(dá)到一定值后損耗因子幾乎不再增加，這與加載過(guò)程中出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象密切相關(guān)［10］。等效剛度有類(lèi)似的變化規(guī)律:先迅速減小而后緩慢變化。

3.2 溫度對(duì)SMA特性參數(shù)的影響

根據(jù)前面給出的表達(dá)式可知，各點(diǎn)的應(yīng)力與溫度密切相關(guān)，因此溫度對(duì)SMA力學(xué)性能應(yīng)該也有影響。圖4給出了完全加/卸載條件下，SMA應(yīng)力應(yīng)變曲線以及特性參數(shù)隨溫度的變化情況。

可見(jiàn)，溫度對(duì)加/卸載屈服平臺(tái)的斜率沒(méi)有影響，其影響主要體現(xiàn)在屈服平臺(tái)的高度上。隨著溫度的升高，四個(gè)相變臨界應(yīng)力都增加，屈服平臺(tái)上移，只是程度有所差異——加載屈服平臺(tái)抬高幅度較小，而卸載屈服平臺(tái)抬高幅度較大。這樣，隨著溫度的升高，遲滯環(huán)所包圍的面積逐漸減小，即每個(gè)振動(dòng)循環(huán)所耗散的能量隨溫度升高而降低。另一方面，曲線上移意味著最大應(yīng)變能增大，因此損耗因子隨溫度升高而減小。溫度對(duì)等效剛度的影響不大——盡管隨溫度升高等效剛度幾乎線性增加，但幅度變化較小，遠(yuǎn)不如等效剛度隨應(yīng)變幅值的變化那么劇烈。

4 應(yīng)用

將SMA絲作為阻尼元件，與彈簧并聯(lián)，組成如圖5所示的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，研究SMA對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響規(guī)律。

圖5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的彈簧－SMA－質(zhì)量系統(tǒng)Fig.5 Spring-SMA-mass system under harmonic excitation

考慮簡(jiǎn)諧激勵(lì)情況，并假設(shè)位移響應(yīng)是與激勵(lì)具有相同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即:

由于SMA本構(gòu)關(guān)系的非線性，SMA絲的恢復(fù)力也是非線性的。如果精確表示，則圖示振動(dòng)系統(tǒng)為一非線性動(dòng)力學(xué)模型，求解將非常困難。利用上述分段線性模型，把SMA的非線性恢復(fù)力進(jìn)行線性化處理，寫(xiě)成復(fù)剛度的形式，則有:

把式(1)代入式(2)，可得穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng):

其中，K=k+Ke為系統(tǒng)的總剛度。

考慮到相位差，則位移響應(yīng)的幅值為:

由于η、Ke都是的函數(shù)(當(dāng)振幅不同時(shí)，應(yīng)變不同，η、Ke也不同)，因此用式(4)直接求解比較困難，此處只給出ω的解與的大致關(guān)系，如圖6所示。具有最大值，且此值與SMA的損耗因子和等效割線剛度均有關(guān)。此時(shí)

圖6 方程解的分布示意圖Fig.6 Solution of Eq.(4)

當(dāng)恰好為系統(tǒng)的固有頻率，故系統(tǒng)處于共振狀態(tài)。

對(duì)于穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，隔振效果可用傳遞率T－隔振前后同一物理量(力、位移、速度、加速度等)之比來(lái)表示，傳遞率越小，隔振效果越好。考慮彈性力與阻尼力之間的相位差，可得傳遞到基礎(chǔ)的最大力幅值與激勵(lì)力幅值的比值，即共振時(shí)的力傳遞率:

對(duì)于給定的振幅(應(yīng)變)，利用前面的分析，可以得到相應(yīng)的等效剛度和損耗因子，代入(5)式即得此時(shí)的傳遞率。圖7給出了不同振幅時(shí)的力傳遞率。

圖7 不同振幅下的傳遞率Fig.7 Transmissibility of different strain amplitude

盡管振幅增大使損耗因子變大，但等效割線剛度降低得更多，從而使系統(tǒng)的傳遞率減小，隔振效果較好。另一方面，與SMA并聯(lián)的彈簧剛度(圖7所注)對(duì)傳遞率也有影響——系統(tǒng)的傳遞率隨彈簧剛度的增大而增大，該結(jié)論與文獻(xiàn)［11］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。

5 結(jié)論

考慮相變過(guò)程中馬氏體體積分?jǐn)?shù)的影響，對(duì)SMA本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立了SMA超彈性分段線性本構(gòu)模型。以此為基礎(chǔ)，定義了單位循環(huán)耗能、等效剛度、損耗因子等特性參數(shù)。通過(guò)數(shù)值計(jì)算研究了特性參數(shù)隨應(yīng)變幅值、溫度等的變化規(guī)律。最后把SMA應(yīng)用于常見(jiàn)的單自由度隔振模型，分析了影響其隔振性能的因素，結(jié)論如下:

(1)應(yīng)變幅值和溫度都會(huì)影響SMA的耗能能力，進(jìn)而影響其阻尼特性，但總體看來(lái)，應(yīng)變幅值的影響要大于溫度的影響，應(yīng)變幅值是影響SMA耗能能力的主要因素。為更好地發(fā)揮SMA的阻尼特性，實(shí)際應(yīng)用時(shí)也要注意選擇其使用溫度。

(2)當(dāng)SMA與彈簧并聯(lián)用于系統(tǒng)隔振時(shí)，彈簧剛度會(huì)對(duì)SMA的作用效果產(chǎn)生影響，彈簧剛度越小，隔振效果越好。具體原因以及是否存在最佳組合尚需作進(jìn)一步分析。

(3)振幅對(duì)傳遞率有較大影響，振幅越大，傳遞率越小，即隔振效果越好。因此，SMA比較適用于低頻大振幅情況下的隔振設(shè)計(jì)。

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