一類無窮時滯積分微分方程周期解的穩定性

常 嘯

(安徽財經大學統計與應用數學學院，安徽蚌埠233030)

0 引言

泛函微分方程是20世紀70年代以來研究較多的微分方程的分支內容.近年來，已有不少的專家學者對泛函微分方程［1］的定性和非定性等相關性質做了分析研究，這些研究包括了周期解的分析［2－3］、有界性的分析［4－5］等，對于無窮時滯和分布時滯等一些類型的方程都做了一定的研究工作.本文主要考慮更一般形式的泛函微分方程，對其周期解的存在性和穩定性進行定性分析，得出了更具一般性的結論，對已有的結果進行了推廣和改進.

對于下面兩個微分方程

其中：t∈R，x∈Rn，A(t)為n×n連續函數矩陣，且A(t+T)=A(t)，g(t)為連續向量函數，且g(t+T)=g(t)，關于其基解矩陣有如下的結論.

引理1［6］對于系統(1)，假設存在不全為零的T－周期連續向量函數α(t)，使得對于?t∈R，有μ1(A(t))≤α(t)≤0成立，則系統(1)的基本解矩陣X(t)一定滿足下面的不等式：

引理2［7］在引理1的條件下，方程(2)存在唯一的T－周期解x(t)，它可以用如下式子表示：

其中X(t)為方程(1)的基解矩陣.

引理3 設C(t，s)為n×n連續的函數矩陣，并且滿足假設條件(A3)、(A5)，如果f1(t)是連續的T－周期函數向量，則g(t)=t，s)f1(s)ds也是連續的T－周期函數.

1 主要結果

本文考慮如下的中立型無窮時滯泛函微分方程

其中：t∈ R，x∈ Rn，A(t，x)=(aij(t，x))n×n，B(t，s)，C(t，s) 為n × n 維的連續函數矩陣，g 是從 R × Rn到Rn的連續向量函數，f(t)是從R到Rn的連續向量函數，f(t)是從R到Rn的連續向量函數.

對于上述方程(4)中的函數，先作如下假設：

(A1) A(t，x)和f(t)關于t都是以T為周期的函數，并且有μ1(A(t，x))≤α(t)≤0，其中α(t)是連續的不恒為零的T－周期函數;

(A2) 存在常數K1，0≤K1＜1，它使得對 ?t∈R有B(t，s)‖ds ＜ K1，且對 ?t，s∈ R 有

定理1 對于方程(4)，如果條件(A1)～(A5)成立，則方程(4)存在唯一的T－周期解.

證明 設B={u(t)|u∶R→Rn是連續的T－周期函數}，則集合B在范數‖u‖ =sup{‖u(t)‖∶0≤t≤T}下是一個Banach空間.

對t求導可得x(t)滿足方程(4)，x(t)是方程(4)的唯一T－周期解.

考慮方程

則 F(t，x) 滿足(A1).

推論1 如果滿足條件(A2)～(A7)，則方程(5)存在唯一的T－周期解.

證明 由 f(t，x)∈ C1(R ×Rn，Rn)，可知

結合假設條件知，方程(5)滿足定理1中的相應條件，故由定理1得出方程(5)存在唯一的T－周期解.

考慮方程

作如下假設：

(A8) A(t)關于t是以T為周期的，且μ1(A(t))≤α(t)≤0，α(t+T)=α(t)，其中α(t)不為零.

定理2 如果方程(6)滿足條件(A2)～(A6)和(A8)，則它一定存在唯一的一致穩定的T－周期解.

證明 類似定理1的證明過程，可知方程(6)存在唯一的T－周期解.下證方程(6)的任一解都是一致穩定的.方程(6)可改寫成如下形式

否則，一定存在 t1＞ t0，使得 ‖x(t，t0，φ1) － y(t，t0，φ2)‖＜ ε，t0＜ t＜t1，而

從而得出矛盾，所以(8)式成立.即方程(6)的解是一致穩定的.

［1］鄭祖庥.泛函微分方程［M］.合肥：安徽教育出版社，1994.157 －168.

［2］張莉，黃先開，葛渭高.一類中立型泛函微分方程周期解的存在性［J］.北京理工大學學報，2011，31(12)：135－141.

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