二維正方晶格光子晶體的光子帶隙分析

張曉娟

(渭南師范學院a.物理與電氣工程學院;b.x射線基礎研究中心，陜西渭南714000)

起初，制作光子晶體光纖(photonic crystal fiber，PCF)材料的折射率不能隨意改變，設計大光子帶隙(photonic bandgap，PBG)PBG光子晶體的方法主要是針對某個特定的晶格結構，通過調控其結構參數來實現大PBG優化［1－3］，這就限制了優化和設計大PBG研究工作的進一步開展.目前，可以通過在空氣孔中注入一定介質［4－5］(如EIT原子氣體或不同固體介質)實現填充材料折射率的改變，進而得到不同頻率范圍內的PBG.因此，研究PBG與晶格結構、原子占有率及材料折射率之間的關系對制作大帶隙PCF至關重要.

結構參數定義如下：原子介電常數εa，背景材料介電常數εb，晶格常數a，原子半徑R.經多次模擬發現，在計算中，當平面波支數大于100時，可以獲得穩定的能帶圖.因此，在沒有特殊說明的情況下，計算中選取平面波支數均為121.

1 周期性正方晶格的PBG

對于在正方結構晶格［6－9］中的圓形原子，單位元為正方形，可以直接利用倒格矢構造介電常數的傅里葉變換，計算介電常數在倒格子空間的分布.正方晶格是最簡單的二維光子晶體結構，如圖1所示，其中(a)為晶格結構圖，(b)為對應的正方晶格的單位元，(c)為第一布里淵區.

圖1 二維正方晶格 (a)晶格結構圖;(b)單位元;(c)第一布里淵區

對于正方晶格光子晶體，晶格常數為a，基矢如圖1(b)中所示，為

Γ、X、M定義了第一布里淵區的基矢量，在PWM的計算中，波矢量k取如圖1(c)所示的黑色區域邊界就可以計算得到對應能帶.選擇εa=11.56(磷化銦)，εb=1(背景材料為空氣)，R=0.20a，計算得到完全周期性正方光子晶體的PBG，如圖2所示.圖中有正方形標記的曲線為TM波所形成的PBG，三角形標記的曲線為TE波對應的PBG，橫軸代表波矢量k，縱軸為歸一化頻率ωa/2πc(a/λ).

圖2 正方晶格的PBG

可以看出，TM波在第一和第二個能帶之間有一個較大的PBG，歸一化頻率范圍為0.3～0.44，而TE波不存在PBG.因此，即使相同結構參數的光子晶體，對于同一入射方向不同偏振態的入射光波的調制也有所不同，結果使得該結構參數下的光子晶體不存在完全PBG.

2 原子半徑R對PBG的影響

仍然選擇εa=11.56，εb=1.0，討論周期性正方晶格原子半徑對PBG的影響.計算過程中發現，TE波始終沒有形成PBG，因此這里僅討論TM波所形成的PBG，如圖3(a)所示.可以看出，TM波傳輸時可以形成較大的不完全PBG，且隨著原子半徑R的增加，PBG數量隨之增加，但PBG寬度卻越來越小，最后消失.因此實際中需要選擇合適的R，得到所需波長范圍的PBG.

如果選擇原子的介電常數εa為1(即空氣孔)，背景材料的介電常數εb為11.56，即在高折射率的材料上挖周期性的空氣孔，則其PBG隨原子半徑的變化曲線如圖3(b)所示，圖中豎線區域為TE波形成的PBG，點區域為TM波對應的PBG，斜線圍起來的區域是TM波和TE波重合的區域，即為完全PBG.可以看出，相比較于圖3(a)，該結構參數下的光子晶體在原子半徑較大的情況下才可以形成不完全PBG，且PBG寬度隨原子半徑的增加而增加.TE波先出現PBG，隨后TM波出現，而且在R≥0.45a時出現完全PBG.

圖3 正方晶格PBG隨原子半徑R的變化 (a)a=11.56，b=1;(b)a=1，b=11.56

3 原子介電常數εa對PBG的影響

選擇εb=1，R=0.20a，改變εa，得到如圖4所示的PBG圖.計算中發現，TE波仍然不存在PBG，因此這里僅討論TM波所形成的PBG.圖中豎線和點線分別表示所形成的第一個和第二個PBG.可以看出，εa增加，兩個PBG對應的歸一化頻率都下移(即波長紅移)，但PBG寬度幾乎不變，第一個PBG寬度稍稍增加，第二個PBG先增加后減小.可以證明：當εa=1.452，εb=1，R=0.20a時，不存在PBG.說明在二維入射的情況下，選擇制作PCF的硅材料時，上述同等結構參數下的PCF并不存在PBG.

4 點缺陷對PBG的影響

PWM主要處理的是周期性的光子晶體，若要用于計算帶有缺陷的二維光子晶體，則需要引入超原胞［10］.選取包括缺陷及其周圍的幾個周期作為超原胞，按照平面波理論，以超原胞為周期進行延拓計算，這樣處理雖然有可能造成缺陷與缺陷之間的模式耦合，但只要選擇的超原胞足夠大，模式耦合的影響相對較小，因而可以忽略.缺陷的形式有多種，如單點、多點及線缺陷等.點缺陷可以形成性能良好、具有很高的品質因數的微腔，有希望在激光諧振腔、窄帶濾波等領域得到廣泛應用.

取 εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，比較圖5所示三種點缺陷的情況.圖5(a)為中心去掉一個介質柱的情況，這里稱其為實心光子晶體;(b)為在中心填充一個半徑(R1=0.7a)較大的介質柱，稱為空芯缺陷光子晶體;(c)為中心去掉三個介質柱，因為中心分布呈矩形，因此稱為類矩形光子晶體.

這里仍討論TM波所形成的PBG.得到不同點缺陷分布光子晶體的PBG如圖6所示.為了進行比較，也列出了無缺陷周期性光子晶體的PBG，如圖6(a)、(b)、(c)、(d)分別對應圖5(a)(b)(c)結構的PBG.

由圖6(a)可以看出，對于在理想周期性結構的光子晶體中傳輸的TM波，在歸一化頻率為0.3055～0.4448的范圍內形成PBG，即該頻率范圍內的光被禁止傳輸;當去掉一中心介質柱，形成實心光子晶體結構時，如圖6(b)所示，歸一化頻率在0.3024～0.3902和0.394～0.4461范圍內的光被禁止，說明當去掉中心一個原子，PBG的寬度變寬了，同時在PBG的中心增加了一個通帶(或者稱作為導帶)，該通帶覆蓋的頻率范圍很窄，近似為單一的歸一化頻率;圖6(c)表明，當中心添加一個半徑R1=0.7a的原子時，則該結構形成四個 PBG(0.3037 ～ 0.334，0.3345 ～ 0.3716，0.3749 ～ 0.38649，及0.39045 ～ 0.44999)，其能帶的低頻邊緣下移，高頻邊緣上移，但不太明顯，相比較周期性光子晶體增加了三個通帶，同樣的，其通帶的頻率范圍都很窄，近似為三個特定頻率的光波;圖6(d)顯示去掉中心三個原子而形成類矩形的光子晶體結構，其能帶的總體寬度幾乎不變，但PBG中間增加了兩個通帶.以上這些結果充分表明設置不同的點缺陷，可以在禁帶中形成不同頻率的通帶.因此，為了使不同波長的光波通過，可以在光子晶體中引入不同類型的點缺陷.

圖6 不同點缺陷的PBG分布 (a)周期性;(b)實心;(c)空心;(d)類矩形

5 線缺陷對PBG的影響

線缺陷指的是將周期性光子晶體中的一排或者一列原子去掉的一種光子晶體結構.圖7(a)所示為移去中心一排原子而形成的線缺陷結構.仍取εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，得到其能帶分布如圖7(b)所示.計算中采用9×9的超原胞.圖7(b)中的橫軸代表x方向波矢量大小，縱軸代表歸一化頻率，其中上下兩個區域為通帶，中間區域為禁帶，實心點連接的曲線為禁帶中的導帶.相比圖6(a)所示完全周期性光子晶體PBG，其PBG中間增加了如圖7(b)所示三個導帶，其導帶的頻率范圍很窄，可以看作單一的頻率.

圖7 二維正方晶格線缺陷及其PBG分布 (a)線缺陷結構;(b)PBG分布

6 結論

采用平面波法對不同二維正方晶格光子晶體的PBG進行了分析.結果表明，要想獲得不同波長范圍的PBG，可以通過設置不同的原子半徑和介電常數來實現.同時，引入不同的缺陷結構，可以在禁帶中形成不同頻率的通帶.因此，為了使不同波長的光波通過，可以在光子晶體中引入不同類型的缺陷.

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