Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤幾何性質(zhì)的研究

韓雙明，白秀英

(渭南師范學(xué)院a.北校區(qū)教學(xué)部;b.物理與電氣工程學(xué)院，陜西渭南714000)

2011年9月22日，意大利Gran Sasso Laboratory的“OPERA”項(xiàng)目研究人員公布了關(guān)于中微子超光速傳播的最新結(jié)果［1］，該實(shí)驗(yàn)結(jié)果與Einstein相對論發(fā)生沖突，從而與上個(gè)世紀(jì)初建立起來的現(xiàn)代物理學(xué)的根基發(fā)生矛盾，引起物理學(xué)家以及科學(xué)界的普遍關(guān)注.大多數(shù)科學(xué)家之所以堅(jiān)持光速是自然界的極限速度，是基于1905年Einstein在德國《物理年鑒》發(fā)表的Elektrodynamik bewegter K o¨rper［2］論文以及“光速不變”、“相對性原理”［3］的認(rèn)可.簡言之，如果有超光速運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)存在，則Lorentz變換、長度收縮、時(shí)間延緩、質(zhì)能關(guān)系等公式中的β?0;更為重要的是，假如質(zhì)點(diǎn)在慣性系中運(yùn)動(dòng)的速度大于光速，將會(huì)出現(xiàn)時(shí)間倒流，最終導(dǎo)致物理學(xué)因果律的破壞.從Einstein創(chuàng)立相對論以來，4維相對時(shí)空觀已普遍為物理學(xué)家所接受，一切自然界質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度不可能超過真空中光速已經(jīng)成為不爭的事實(shí).本文試圖以Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何性質(zhì)為研究，在狹義相對論時(shí)空結(jié)構(gòu)中得到超光速“設(shè)想”的否定結(jié)論，研究旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何性質(zhì)，并給出非慣性系下“時(shí)空彎曲”的直觀圖景.

1 GR中Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤的周長

以等效原理和廣義協(xié)變原理為基礎(chǔ)，1916年，Einstein建立起廣義相對論(以下簡稱GR)的理論大廈.Einstein選擇黎曼幾何作為數(shù)學(xué)工具，借助于一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)——Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤，進(jìn)一步揭示時(shí)間、空間的根本屬性及其與物質(zhì)分布、物質(zhì)運(yùn)動(dòng)之間內(nèi)在的深刻聯(lián)系.在GR中，靜止的實(shí)驗(yàn)室(K系)中安放的一個(gè)繞固定軸以角速度ω高速旋轉(zhuǎn)的圓盤即Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤.若選取相對于這個(gè)圓盤靜止的參考系為K'系，除原點(diǎn)外，在圓盤上距原點(diǎn)距離為r的每一點(diǎn)向心加速度都為ω2r，因此，對于K系中的觀察者來說，K'系是非慣性系，而對于K'系中的觀察者來說，他相對于圓盤靜止，無論在哪里，都會(huì)受到一個(gè)向外的力即慣性離心力，即處在強(qiáng)度為ω2r的引力場中.在GR中，不同的參考系是通過物理度規(guī)來體現(xiàn)的，因此，只要給出時(shí)空度規(guī)張量 gμν(μ =0，1，2，3)，旋轉(zhuǎn)圓盤問題即可解決［4］.對以 ω 勻速旋轉(zhuǎn)的圓盤，若選取柱坐標(biāo)表示空間的位置，并使z軸和z'軸與旋轉(zhuǎn)軸重合，設(shè)靜止系統(tǒng)的空間坐標(biāo)為r'，φ'，z'，旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的空間坐標(biāo)為r，φ，z.則靜止系統(tǒng)中的距離間隔為

如若將 ct，r，φ，z用 xμ表示(μ =0，1，2，3)，并將其與通式比較可得到度規(guī)張量 gμν所有不等于0的度規(guī)為

在非慣性系中，空間距離元的計(jì)算公式為

其中：i，k=1，2，3 時(shí)，xi和 xk分別對應(yīng) r，φ，z.現(xiàn)將(3) 中 gμν代入(4) 式得

如果僅考慮垂直于z軸的圓弧，則dr=0，dz=0可得

2 SR中旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何性質(zhì)

若圓盤靜止時(shí)半徑為R，周長為L0=2πR.當(dāng)圓盤繞過盤面垂直的對稱軸以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于旋轉(zhuǎn)盤上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與半徑垂直，因此，圓盤的半徑仍然為R.但是，由于Lorentz收縮，實(shí)驗(yàn)參考系中觀察者測量的旋轉(zhuǎn)圓盤周長必將小于2πR.因此，嚴(yán)格地說，圓盤上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都作變速運(yùn)動(dòng)，從而使圓盤的形狀發(fā)生了變化.若想得到實(shí)驗(yàn)室參考系與圓盤靜止參考系間的變換規(guī)律，就已經(jīng)超出了SR的研究范疇.但是，如若僅僅討論旋轉(zhuǎn)圓盤的周長L，則可以采用特殊方法繞開非慣性系問題(例如通過坐標(biāo)系的選擇)即可處理［5］.具體方法是：將圓盤進(jìn)行無限細(xì)分，得到無數(shù)無限小的線段.然后以線段為研究對象分別建立實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系，并使坐標(biāo)原點(diǎn)位于圓心，坐標(biāo)系的x軸與小線段平行，應(yīng)用Lorentz變換得到各線段長度與其固有長度的關(guān)系，最后積分即可.

假設(shè)其中某一線段圓心角為dθ，固有長度為Rdθ，由Lorentz變換可得實(shí)驗(yàn)參考系中長度為：

(9)式中c為真空中的光速，ν為相對于實(shí)驗(yàn)坐標(biāo)系下線段的速率.由于圓盤上各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率ν相同，因此，將(9)式沿圓周積分可得

由(15)式可知，無論Einstein圓盤半徑多大，當(dāng)它以ω旋轉(zhuǎn)時(shí)，周長不可能超過2πc/ω.將(15)式除以旋轉(zhuǎn)周期T，可得

(16)式表明，無論Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤半徑多大，旋轉(zhuǎn)圓盤上各點(diǎn)的速度都不可能超過光速c.從而在SR中證明，一切質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度均不可能超過光在真空的運(yùn)動(dòng)速度.

3 SR中旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何形狀

在非慣性系中，由于時(shí)空是彎曲的，對于圓盤來說，當(dāng)它繞垂直于圓面的對稱軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓盤周長與半徑R不是正比關(guān)系，慣性系中的平面在非慣性系中將變成曲面，該曲面彎曲程度由非慣性參考系決定.

對于以勻角速ω隨著圓盤旋轉(zhuǎn)的非慣性系來說，其空間曲率半徑為ρ=c/ω，從而在慣性系下，無限大平面變?yōu)榘霃絉等于c/ω的半球面(如圖1所示).同樣地，靜止半徑為R的圓盤面將變?yōu)橐磺蚬冢淇臻g曲率半徑為c/ω，球冠的邊緣周長與半徑為L=2πr.也就是說，以角速度ω旋轉(zhuǎn)的靜止半徑為R的盤面為一球冠，其邊緣半徑為

圖1中，如果從z軸中心向球冠邊緣一點(diǎn)任意作射線，射線與平面交點(diǎn)對應(yīng)的半徑即為靜止半徑R，如圖2所示，由幾何關(guān)系知

(18)式是由SR時(shí)空觀得到的旋轉(zhuǎn)圓盤半徑，該結(jié)果與GR中得到的圓盤半徑(8)式完全吻合.

圖1 無限大平面成為無限大的半球面

圖2 半徑為R的球冠

4 結(jié)論

通過以上SR時(shí)空觀中旋轉(zhuǎn)圓盤幾何性質(zhì)的研究，可以得到：

(1)Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤周長的上限為2πc/ω，盤上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率的上限為c，在狹義相對論效應(yīng)內(nèi)，旋轉(zhuǎn)圓盤上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的超光速不會(huì)出現(xiàn).

(2)旋轉(zhuǎn)圓盤由于時(shí)空彎曲，其幾何形狀為球冠，球冠半徑為R/

(3)Einstein旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何形狀及空間距離，在GR與SR下所得結(jié)論一致，表明旋轉(zhuǎn)圓盤問題在SR范圍亦可解決.

［1］Adam T，Agafonova N，Alekssandrov A，et al.Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGSbeam［DB/OL］.(2011 －09 －22)［2012 －09 －26］.http：//fr.arxiv.org/abs/1109.4897.

［2］Einstein A.論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)［M］//范岱年，趙中立，許良英，譯.愛因斯坦文集：第2卷.北京：商務(wù)印書館，1983.83－115.

［3］Einstein A.關(guān)于相對性原理和由此得出的結(jié)論［M］//.范岱年，趙中立，許良英，譯.愛因斯坦文集：第2卷.北京：商務(wù)印書館，1983.150 －210.

［4］［俄］朗道，EM 栗弗席茲.場論［M］.任朗，袁炳南，譯.北京：人民教育出版社，1959.311.

［5］姜孟瑞，張磊.相對論中旋轉(zhuǎn)圓盤的幾何性質(zhì)［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，20(4)：109－111.