樁身應變曲線的多項式擬合方法

顏鐘 ，李端有

(1.長江科學院工程安全與災害防治研究所，湖北武漢 430010;2.水利部水工程安全與病害防治工程技術研究中心，湖北武漢 430010)

1 引言

在單樁靜載試驗中，通常需要弄清楚在荷載作用下樁的位移及變形規律，在樁基設計中也要明白樁的側阻力和端阻力有多大，給樁的沉降計算提供依據。我們能普遍接受的認識就是樁在荷載的作用下，樁和樁周土發生相對位移，從而樁和樁周土之間有摩阻力的存在。通常我們可以通過埋設點法監測儀器(比如沿樁長方向埋設一系列的鋼筋計等方法)測得樁的應力或應變來計算出樁側摩阻力，也可以通過埋設線法監測儀器(如滑動測微計，三向位移計等)測得相應的應力、應變來計算。

然而通過監測儀器所得到的數據只是沿樁的一系列點的應力或應變值(線法儀器也不例外，如三向位移計也只是測出每米處的應變)，在測試數據誤差較大的情況下，計算樁側摩力時不能直接把各點相連的折線用于后續的計算處理，這樣可能會將誤差惡性放大，甚至出現負摩阻力等不合理現象，所以在計算之前需要對實測的應力或應變曲線進行趨勢擬合處理使之更加凸顯應變的變化規律。

關于試驗曲線的趨勢擬合，1994年朱國甫和李光煜先生就提出了約束樣條的擬合方法，從理論上作出了完整的推導。在實際的工作中，此方法會受到很大的約束，因為約束樣條法在計算過程中需要兩端有導數值，但在實測數據中很難得到(因為我們事先可能并不知道曲線的方程是什么，也就沒辦法求導)，基于解決實際問題的需要，本文探討使用多項式擬合法來解決應變曲線的趨勢擬合問題。

2 約束樣條法

約束樣條法的思想是通過樣條插值來進行擬合計算，本處以三次樣條為例。設給定一組節點，x0＜x1＜x2＜…xn，設 S(x)∈C2［x0，xn］滿足在每個小區間［xi，xi+1］上都是三次多項式，則稱 S(x)是節點 x0，x1，x2，…xn上的三次樣條函數，若給定節點xj上的函數值為yj=f(xj)(j=0，1，…n)，同時有 S(xj)=yj(j=0，1，…n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數。若邊界的一階及二階導數值均已知，根據這些條件可以很方便求得三次樣條插值函數S(x)。三次樣條插值方法為一種十分成熟的方法，本文也不再做出詳細的推導。

使用樣條約束法擬合應力或應變曲線時，為了使數據看起來更加直觀，可以規定樁頂坐標為0，向下沿樁長坐標依次增大。計算中，節點便為監測儀器測值處的樁長值，節點上的函數值便為測得的應力或應變值，按三次樣條插值方法便可以得到應力或應變擬合曲線。

3 簡化擬合方法

由于用約束樣條的方法在實際的操作過程中使用不是很簡便，我們需要嘗試使用簡單函數來代替約束樣條的方法。通過多次嘗試，選用了幾種不需要導數值來擬合的簡單函數，分別是三次多項式擬合，四次多項式擬合，五次多項式擬合及指數函數擬合。因為在特殊情況下應力或應變實測值有可能為零或負值，對數函數及冪函數不能在此種情況下使用，故不對這兩種方法進行比較。

對于多項式插值，設給定節點 x0，x1，x2，…xn上的函數值yi=f(xi)(i=0，1，…n)，關于n次多項式要使得S(xi)=yi(i=0，1，…n)，由此可得到關于系數 a0，a1，a2，…an的 n+1 元線性方程組

解此方程組我們可以得到唯一的插值多項式S(x)。多項式插值并不是次數越高越好，我們都知道高次的插值多項式容易出現病態，在后面的工程實例中我們可以通過對比來選用適當次數的多項式。對指數函數的插值過程不作過多的推導，讀者可參閱相關數值分析教材即可。

4 工程實例對比

某試樁工程位于武漢地區，為檢測試樁在各級荷載下各地層單位摩阻力及單位端阻力，對其中1根樁進行單樁豎向抗壓靜載試驗。儀器采用瑞士Solexperts AG公司生產的三向位移計，加壓方式為堆載法，通過千斤頂進行分級施加反力，共分9級加壓，第一次施加荷載1 000 kN，最大值為5 000 kN，每級加壓后荷載持續2 h。實測應變曲線如圖1所示。

圖1 實測應變曲線

從圖1可以看出實測數據趨勢性不十分明顯，整體看起來顯得比較雜亂，不能滿足對數據進行后續分析的需要，故需對試驗曲線進行趨勢擬合，下面我們分別用不同的擬合方法來對實測數據進行擬合處理。

按插值函數的方法對每級荷載下的應變曲線分別按三次擬合多項式，四次擬合多項式，五次擬合多項式及指數函數方法進行擬合，擬合結果如圖2～5所示。

圖2 三次多項式擬合法

圖3 四次多項式擬合法

圖4 五次多項式擬合法

圖5 指數函數擬合法

從圖2和圖3可以看出，通過三次多項式擬合法和四次多項式擬合法所得到的曲線是比較光滑的，而且從圖上可以看出插值函數是收斂的。通過經驗知道擬合后的應變曲線的總體趨勢符合單樁在豎向荷載作用下的應變規律，但擬合后的曲線和原應變曲線的差別能否讓我們接受，可以通過求相關系數的方法來進行查驗。如果相關系數越接近1則擬合效果就越好，反之相關系數過小，則認為擬合效果差，插值函數方程是不可信的，得到回歸應變曲線也就應該舍棄。

從圖4可以看到，使用五次多項式擬合回歸應變時，回歸應變曲線變化趨勢變得復雜化，不再符合實際情況。我們都知道，當多項式次數過高時，插值函數可能產生病態，在本例中五次多項式插值函數已經產生病態，我們也不再追求更高階的多項式插值函數，更高階的多項式插值函數可能產生更嚴重的病態。

對于指數函數擬合從圖5可以看到，總體上來說曲線保留了一定的規律，但也可以看出應變曲線略有發散的趨勢，雖然有發散的趨勢，但對于我們來說我們不需要對數據進行前推或后推，只要擬合后的數據相對于擬合前數據來說是可靠的，我們也是可以將其作為一個對比的方法，擇優選擇。

對于已經是產生病態的五次多項式我們不再對其進行考慮，對剩下的幾種方法進行對比來擇優選擇。擬合后的回歸應變能否使用，必須要看其相關系數是否夠高，對三種方法的相關系數進行對比分析，看哪一種方法更能滿足我們對精度的要求，使擬合后的應變曲線和實際情況的吻合度最好。三種擬合方法相關系數對比情況如表1所示。

相關系數對比表 表1

從表中我們可以看出，三次多項式擬合和四次多項式擬合的相關差別不大，四次多項式擬合方法的相關系數比三次多項式擬合稍高，指數函數擬合方法的相關系數相對來說比較低，從統計學的角度看就認為指數函數擬合曲線不如前兩種方法好，精度相對較低。本例中，四次多項式擬合時相關系數最小也為0.899 611，最高達0.966 644，可以認為擬合后的回歸應變和實測應變相關性很強，可以使用回歸應變來代替實測應變進行后續計算。通過本工程實例的驗證及幾種方法的比選，認為選取四次多項式擬合應變曲線是可行的，從相關系數也可以看到在精度上完全可以達到工程要求的精度。

5 結語

通過工程實例證實，采用四次多項式擬合的方法來對實測應變曲線進行趨勢擬合處理是可行的，這種處理實測應變曲線的方法無樣條差值擬合時的限制條件，故在實際的工程應用中有較強的適用性。當然在應用中我們也還是應該要考慮到地層分層多、地質情況復雜時，應變曲線起伏變化比較大，很難用簡單函數一次實現對這種變化趨勢的逼近。對于這個問題，我們可以采用分段的思想來解決，即我們可以把應變曲線適當的分段，采用分段函數的方法進行四次多項式插值即可。

［1］朱國甫，李光煜.確定樁側摩阻力曲線的約束樣條擬合方法［J］.巖土力學，1994，15(3):1～8

［2］王心順.單樁側摩阻力曲線的推求及相關問題探討［J］.甘肅科技縱橫，2006，35(1):125

［3］蒲訶夫，鄭俊杰，章榮軍.樁土界面荷載傳遞模型的改進及其數值實現［J］.華中科技大學學報，2010，27(1):84～88

［4］李慶揚，王能超，易大義.數值分析(第五版)［M］.北京:清華大學出版社，2008

［5］梁勝增.淺析實測曲線擬合法的誤差來源與改進應用［J］.硅谷.2010(9):129