二維介質粗糙面下方三維金屬目標復合電磁散射的快速正演算法

李 超，何思遠＊，朱國強，鄧方順，陶 華，肖柏勛

1 武漢大學電子信息學院，武漢 430079

2 中國船舶重工集團第722研究所，武漢 430079

3 中國人民解放軍92474部隊

4 長江大學工程地球物理研究中心，湖北荊州 434023

1 引 言

目標與粗糙面復合電磁散射研究在雷達目標探測、目標識別以及微波遙感等領域有著廣泛的應用[1-20］.求解粗糙面上方或下方目標的電磁散射問題必須充分考慮目標與粗糙面之間的相互作用.Li等[1］提出用廣義前后向迭代算法與譜加速算法結合（GFBM／SAA）計算海洋粗糙面上方目標的電磁散射場.Deng等[2］借助傳統UV算法，結合分層思想，發展得到適用于三維矢量波散射問題的MLUV算法，并成功將其應用到目標位于粗糙面上方和目標位于粗糙面上時的復合散射問題.對于埋地問題，相關文獻[3-4］用分層媒質并矢格林函數分析了平面分層大地中埋入目標的散射特性.在此基礎上，Zhang等[5］引入離散復鏡像技術（DCIM），加快了分層媒質并矢格林函數的計算，提高了計算效率.徐利明等[6］則利用積分方程以及半空間并矢格林函數的快速算法對埋地目標矢量電磁散射進行了計算.在一些埋入體散射問題中，需要計及大地表面起伏特性對散射場的影響.對于呈復雜曲面的地表面，埋入體的散射問題將變得更為復雜.為求解該類問題，一些文獻采用基于矩量法的快速算法計算粗糙地面埋入體的電磁散射問題，如El-Shenawee等[7-8］采用最陡下降的快速多級子方法（SDFMM），Zhang等[9］則采用了稀疏矩陣正則網格（SMCG）算法.

本文基于矩量法，在粗糙面和埋地目標分別建立電場積分方程和PMCHW方程，結合MLUV算法，求解粗糙地面下方具有任意表面金屬目標的電磁散射問題.三維多層UV方法[2］適用于三維矢量波散射問題的精確數值算法，其基于電磁相互作用的排序抽樣算法有效解決了因積分核震蕩導致傳統UV分解失效的問題，可實現任意形狀三維導電和介質體目標散射問題的求解.且通過矩陣快速填充技術[10］，在內存和計算時間上的復雜度均可達到O（NlogN），其中N為未知量個數.

2 耦合積分方程

假設三維金屬目標埋于二維粗糙面下方，如圖1（截面圖）所示.上半空間為空氣，標記為區域1，下半空間為大地，標記為區域2.地表面為隨機粗糙面.E1，H1為區域1中的電磁場，E2，H2為區域2中的電磁場，Ei，Hi表示入射場.區域1、2的電磁參數分別為ε1，μ1，ε2，μ2，粗糙面和目標表面法向向量分別為ns，no.下文中，時諧因子e-jωt省略.

圖1 三維目標淺埋于二維粗糙面下方截面圖Fig.1 Cross section of 3-D object buried under the rough surface ground

區域1中任意場點r處的總電磁場為

區域2中任意場點r處的總電磁場為

算子L和K形式如下：

在PEC目標表面利用電場邊界條件：

可得表面積分方程如下：

在粗糙面表面：

在PEC目標表面：

使用 RWG 基函數f（r）[21］將表面等效電流、磁流離散，假定粗糙面和目標表面離散后的未知量個數分別為N和P，其展開式如下：

將式（9）分別帶入積分方程（6～8），并使用伽略金（Galerkin）方法，可得到離散后的矩陣方程組：

其中I1，I2為分別存在于粗糙面和目標上的未知量，兩者對應的維數為2 N×1，P×1.

方程（10）將采用Bicgstable（ell）[22］迭代算法進行求解.

3 MLUV算法

對未知量為N的矩陣方程，傳統矩量法對內存的需求為O（N2），其中N為未知量個數，求解矩陣方程的計算復雜度為O（N3）.多層UV方法基于低秩矩陣分解技術，通過將原有矩陣分解為具有強相互作用的強子塊矩陣和弱相互作用的弱子塊矩陣，并根據矩陣元素的Green函數的性質，將每個弱子塊矩陣分解為兩個小矩陣相乘的形式.這里以一個大小為m×n的遠區弱子塊矩陣A為例說明UV方法的具體實施過程：

（1）使用文獻[10］提出的矩陣快速填充方法計算遠區弱子塊矩陣A，并計算其行和列對應的二階范數向量Rl2和Cl2；

（4）根據列索引SC，從中抽取相應的s列構成列矩陣使用揭示秩的矩陣正交三角分解（QR分解）對ACm×s作 QR 分 解，即其中為矩陣的秩；

（5）根據行索引Sr，從和中抽取相應的s行構成行矩陣，求解矩陣方程，

通過以上的步驟，矩陣A可以分解成A=Um×r·Vr×n.從這里可以看出，通過UV分解處理后，實際需要存儲的矩陣元素為r×（m+n），此外，在迭代過程，通過先將矩陣Vr×n與迭代中間值相乘后再與Um×r矩陣相乘實現矩陣向量積（Matrix Vector Multiplication），這樣即可減小計算復雜度.

4 數值計算與討論

取粗糙面為高斯譜粗糙面，相關長度lx，ly，均方根高度h，長度為Lx×Ly，金屬球位于粗糙面下方，半徑為R，埋地深度為dp，球體在xy面內投影坐標為 （xt，yt）.

為了消除數值計算中截取有限大小粗糙面產生的邊緣效應，選用錐形平面波作為入射波.

其中，

算法的驗證：取 Lx=Ly=8λ0，lx=ly=0.5λ0，h=0.02λ0，粗糙面相對介電常數εr=2-0.2j，其中λ0為真空中電磁波波長.金屬球半徑0.3λ0，埋地深度為0.6λ0，xt=yt=0.入射波采用水平極化，入射俯仰角θi=20°，錐型波因子g=Lx／4.方位角取為0°，36°，…，324°共10個，分為10次實現，并采用算數平均值統計.圖2為3DMLUV算法和SDFMM算法及MOM計算結果比較，驗證了3DMLUV的精度.

圖2 埋地金屬球雙站RCS結果Fig.2 Bistatic RCS of PEC sphere buried under rough surface

在表1中，記錄了在一次實現情況下，程序耗用的計算時間和內存.由表可知，在3DMLUV框架下，不僅計算時間得到縮減，程序所需內存也大幅度降低.計算平臺CPU為I7，主頻為2.8GHz，內存2G.

表1 一次實現時內存和計算時間的比較Table 1 Memory and time requirements for one realization

埋入球體目標電尺寸參數變化對雙站RCS的影響.取粗糙面參數為Lx=Ly=10λ0，h=0.02λ0，lx=ly=0.5λ0，粗糙面相對介電常數εr=2-0.2j，其中λ0為真空中電磁波波長.入射波采用水平極化，入射俯仰角θi=20°.所有計算結果均是對50個樣本取算數平均值得到的.金屬球半徑分別為0.8λ0，1.2λ0，1.8λ0，埋地深度均為2λ0，xt=yt=0.相應的E面內雙站RCS如圖3所示.由圖可知，隨著圓柱半徑的增大，目標與粗糙面的相互作用增強，雙站RCS增大，尤其在鏡面反射方向附近以外的很大范圍內這一結論表現的尤為明顯.

圖3 粗糙面下不同半徑球體對應的雙站RCSFig.3 Bistatic RCS of PEC Sphere with different radius buried under rough surface

粗糙面參數對雙站RCS的影響.其它計算參數保持不變，取粗糙面均方根高度分別為0.02λ0，0.03λ0，0.04λ0，此時，埋入球體半徑固定為1.2λ0.圖4為對應的雙站RCS結果，其中圖4a為E面內全角度雙站RCS，圖4b為鏡向附近角度內雙站RCS.由圖可知，隨著均方根高度的增大，除鏡面反射方向附近一個小范圍內RCS減小以外，其它散射角處RCS均增大.這是因為，隨著粗糙度的增加，粗糙面漫反射現象越來越明顯.

埋地深度變化對雙站RCS的影響.其它參數保持不變，令球體埋藏深度取1.5λ0，2λ0，4λ0.對應的雙站RCS如圖5所示，由圖可知，隨著目標埋藏深度的增加，目標與粗糙面的距離增大，相互作用減弱，鏡向反射方向外的RCS明顯變小.

最后，圖6為埋地目標為立方體時的雙站RCS，立方體邊長為2λ0，圖7為埋地目標為圓柱時的雙站RCS，立方體底面直徑為2λ0，高度為3λ0，其它參數設置均保持不變.計算結果表明了算法的通用性.

5 結 語

圖4 粗糙面下方埋有球體時不同粗糙面粗糙度的雙站RCS（a）E面內雙站RCS；（b）鏡面附近角度內雙站RCS.Fig.4 Bistatic RCS of rough surface with different surface height while buried object is a sphere（a）Bistatic RCS in E-plane；（b）Bistatic RCS in specular angle.

本文基于MLUV算法計算了二維粗糙面下方任意形狀金屬目標的雙站RCS.并通過分析金屬球埋于粗糙面下方時，埋地目標電尺寸，粗糙面粗糙度以及埋地深度對雙站RCS的影響.結果表明，隨著目標尺寸增大和埋地深度的減小，目標與粗糙面的相互作用增強，RCS明顯增大，反之則RCS減小.同時，粗糙面的粗糙度對RCS也有明顯影響.最后，通過立方體和圓柱的算例表明了算法的通用性.

圖6 埋地目標為立方體時的雙站RCSFig.6 Bistatic RCS with cube buried

（References）

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