單噴泵無(wú)人滑行艇航向的反步自適應(yīng)滑模控制

廖煜雷，莊佳園，龐永杰，杜鑫

(1.哈爾濱工程大學(xué)水下智能機(jī)器人技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江哈爾濱 150001;2.總參陸航研究所，北京 100020)

無(wú)人水面艇(unmanned surface vehicle，USV)，是一種自主式的無(wú)人水面小型船舶.文中USV是裝備單泵噴水推進(jìn)器的剛性充氣滑行艇.在不同航速下，艇體的浸濕面積和吃水等會(huì)發(fā)生很大變化，其艇體各種水動(dòng)力系數(shù)也將隨航速的變化而改變，故該USV具有強(qiáng)非線性、不確定性和時(shí)變性的特點(diǎn)，同時(shí)受風(fēng)浪流等海洋環(huán)境干擾力的影響較大，要建立其精確的USV動(dòng)力學(xué)模型非常困難，因此，控制算法必須能夠適應(yīng)被控制系統(tǒng)模型參數(shù)的變化.作為自主航行的水面智能體，航向控制問題尤為突出，設(shè)計(jì)具有自適應(yīng)性的自動(dòng)駕駛操舵系統(tǒng)顯得非常重要.

當(dāng)前船舶航向的非線性控制方法主要有自適應(yīng)控制［1］、現(xiàn)代魯棒控制［2］、滑模變結(jié)構(gòu)控制［3］、Backstepping 法［4］、基于人工智能［5］和以上方法的混合控制策略等［6-7］.在USV控制方面，YU等將魯棒控制方法應(yīng)用到 USV的艏向控制中［8-9］，文獻(xiàn)［10］基于Lyapunov直接法設(shè)計(jì)了三體型USV的速度控制器，Bao等針對(duì)USV的艏向和橫向控制問題，基于滑模觀測(cè)器和滑模控制器設(shè)計(jì)了艏向和橫向聯(lián)合控制器［11］，文獻(xiàn)［12］利用 Lyapunov直接法和Backstepping方法設(shè)計(jì)了USV的速度和艏向聯(lián)合控制器.

本文討論了USV在未知不確定性影響下的航向跟蹤控制問題.首先分析了USV的自動(dòng)穩(wěn)定性，然后基于Backstepping法和滑模控制理論，提出了一種自適應(yīng)滑模反饋控制律，該控制律能保證航向跟蹤系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，其優(yōu)點(diǎn)在于具有較短的收斂時(shí)間、良好的動(dòng)態(tài)性能和自適應(yīng)能力.理論分析和仿真對(duì)比試驗(yàn)皆表明了文中控制律的正確性和有效性.

1 系統(tǒng)描述和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析

1.1 滑行艇操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

考慮到在大舵角下運(yùn)動(dòng)和不穩(wěn)定船舶的操縱特性，Bech等在二階線性K-T方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了非線性響應(yīng)方程，形成二階非線性艏搖響應(yīng)方程［13］:

式中:r是艏搖角速度(順時(shí)針為正)，δ為控制舵角(左舵為正)，T1、T2、T3為時(shí)間常數(shù)，K為回轉(zhuǎn)性指數(shù)，α為模型非線性項(xiàng)系數(shù)(Norbbin系數(shù)).

在操舵不是很頻繁的情況下，考慮建模誤差和外界干擾力等非匹配不確定性的影響，船舶航向非線性操縱系統(tǒng)可以采用以下的一階非線性艏搖響應(yīng)方程(2):

式中:T為時(shí)間常數(shù);F為建模誤差Δ和未知外界干擾力ω的不確定性總和，即F=Δ(ψ，)+ω，假設(shè)不確定性的上界為|F|≤，且為慢變過程=0.

USV艏向角ψ與艏搖角速度r的關(guān)系為

1.2 航向穩(wěn)定性分析

2010年5 月，該USV在山東省蓬萊海域進(jìn)行了大量的直航、回轉(zhuǎn)和Z型機(jī)動(dòng)等操縱性試驗(yàn)，如圖1所示.對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)得到了艇體的水動(dòng)力系數(shù)，文中的 USV操縱性參數(shù)分別為K=-2.364、T=5.489、T1=6.255、T2=0.331.

船舶在水平面內(nèi)的航向穩(wěn)定性包括自動(dòng)穩(wěn)定性和控制穩(wěn)定性［13］.

首先研究自動(dòng)穩(wěn)定性，忽略式(1)的非線性項(xiàng)，其特征方程式為

式(4)的2個(gè)特征根λ1、λ2可按韋達(dá)定理求得

為了判斷水平面的自動(dòng)穩(wěn)定性，只需判斷特征方程(4)的根的符號(hào)，而并不需要解方程式的根.采用古爾維茨判別法，式(4)的兩根都具有負(fù)實(shí)部的充要條件是方程式的系數(shù)全部大于零，即

也即要求 T1＞0，T2＞0.因?yàn)?T1=6.255＞0，T2=0.331＞0，由古爾維茨判別法可知，該USV具有水平面內(nèi)的直線自動(dòng)穩(wěn)定性，習(xí)慣上也常稱為航向穩(wěn)定性.

與常規(guī)水面船舶相比，如“育龍”號(hào)實(shí)習(xí)船［7］中，K=-0.48、T=216.8，文中 USV 的 T 值較小，因此具有較好的穩(wěn)定性;而K較大，因此回轉(zhuǎn)性能也更好.可見該艇具有良好的機(jī)動(dòng)性能，這是由艇型和操舵方式?jīng)Q定的，即USV動(dòng)力裝置為噴水推進(jìn)器，它通過改變噴嘴轉(zhuǎn)角來進(jìn)行艏向控制(對(duì)噴嘴轉(zhuǎn)角的操縱，按習(xí)慣稱為舵角操縱).

顯然，USV航向跟蹤控制系統(tǒng)(2)、(3)是單輸入單輸出的不確定性非線性系統(tǒng)，控制問題可描述為設(shè)計(jì)反饋控制律，保證USV的艏向跟蹤誤差有界且收斂到零.

圖1 試驗(yàn)中的USV Fig.1 Unmanned surface vessel operating in the sea

2 反步自適應(yīng)滑模控制器

2.1 反步自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計(jì)

首先，定義如下狀態(tài)變換:

式中:ψd為期望艏向角，滿足二階可導(dǎo)的光滑函數(shù);χ為穩(wěn)定項(xiàng)輔助方程;c1為正常數(shù).

定義Lyapunov預(yù)選函數(shù)為

對(duì)V1求導(dǎo)，則

定義Lyapunov預(yù)選函數(shù)為

式中:σ為滑模切換函數(shù).定義切換函數(shù)為

式中:k1為正常數(shù).對(duì)V2求導(dǎo)，則

式中:f=-r/T-αr3/T，b=K/T.

取反饋控制律為

式中:h、β皆為正常數(shù).將式(6)代入式(5)可得

取矩陣

由于

式中:Z=［z1z2］T.則當(dāng)|Q|=h(c1+k1)-1/4 ＞0時(shí)，式(7)有

那么只要選取適當(dāng)?shù)?h、c1、k1使得|Q|＞0，從而保證Q為正定矩陣，則必有2≤0成立.也就保證了USV航向跟蹤系統(tǒng)是Lyapunov意義下全局漸近穩(wěn)定的.

在實(shí)際控制中，USV航態(tài)復(fù)雜多變，因此具有強(qiáng)非線性，這導(dǎo)致航向非線性系統(tǒng)的模型參數(shù)很難精確獲得且具有較大不確定性;同時(shí)，USV航行于復(fù)雜海洋環(huán)境中，經(jīng)常受到未知外加干擾力的影響.因此，總不確定性F的上界很難確定.為了避免F上界帶來的抖振等問題，采用自適應(yīng)算法對(duì)F進(jìn)行估計(jì)［14］.

式中:γ為正常數(shù).對(duì)式(9)求導(dǎo)可得

設(shè)計(jì)自適應(yīng)反饋控制律為

定義不確定性F的自適應(yīng)律為

將式(11)和(12)代入式(10)，且由式(8)可得

2.2 Backstepping控制器設(shè)計(jì)

為了與文中自適應(yīng)反步(Backstepping)滑模控制器的控制效果進(jìn)行對(duì)比，下面利用Backstepping法設(shè)計(jì)USV航向跟蹤控制器，其中假設(shè)不確定性F=0.

引入如下2個(gè)誤差變量:

式中:η=-n1x1為虛擬控制輸入，n1為正常數(shù).

定義Lyapunov預(yù)選函數(shù)為

對(duì)式(16)求導(dǎo)可得

式中:n2為正常數(shù)，將控制律(14)代入式(13)可得

由設(shè)計(jì)過程可知，系統(tǒng)滿足Lyapunov穩(wěn)定性理論條件，因此誤差變量x1、x2是漸近穩(wěn)定的，這保證了USV航向跟蹤系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.

2.3 穩(wěn)定性分析

由上面的設(shè)計(jì)過程可知，Backstepping法是一種由前向后遞推的設(shè)計(jì)方法，通過逐步迭代設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)使系統(tǒng)的誤差漸近穩(wěn)定，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的全局漸近鎮(zhèn)定.

定理1 考慮存在不確定性影響的航向非線性系統(tǒng)(2)、(3)，在自適應(yīng)反饋控制律(11)和不確定性自適應(yīng)控制律(12)的作用下，誤差變量z1、z2、σ是全局漸近穩(wěn)定的，保證了USV航向跟蹤系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，實(shí)現(xiàn)了航向的自適應(yīng)控制.

證明 由2.1節(jié)的設(shè)計(jì)過程得證.

證明 由2.2節(jié)的設(shè)計(jì)過程得證.

3 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)海試操縱性試驗(yàn)結(jié)果，文中USV操舵系統(tǒng)的參數(shù)為 K=-2.364、T=5.489、α =0.000 094.為了方便闡述，反步自適應(yīng)滑模控制器稱為控制律1，Backstepping控制器稱為控制律2.控制律1的設(shè)計(jì)參數(shù)為c1=0.9、k1=0.15、h=0.26、β =0.002、γ =0.000 1.控制律 2的設(shè)計(jì)參數(shù)為 n1=0.03、n2=7.

在下面的仿真對(duì)比試驗(yàn)中，初始值均取為:ψ0=30°，r0=0，同時(shí)文中考慮舵角飽和限制條件為-30°≤δ≤30°，不確定性設(shè)為建模誤差 Δ=sin 2πt(°·s-2)和干擾力 ω = ±1(°·s-2)的正態(tài)白噪聲.設(shè)置期望航向?yàn)橹C波航向ψd=sin(t/40)和直航ψd=0 2種情形，使用Matlab Simulink軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖2～9所示.

圖2 艏向角ψ響應(yīng)曲線(直航)Fig.2 The response graph of yaw ψ(straight)

圖3 艏向角ψ響應(yīng)曲線(起始到35 s)Fig.3 The response graph of yaw ψ (start to 35 s)

圖4 角速度r響應(yīng)曲線(直航)Fig.4 The response graph of angular velocity r(straight)

圖5 控制舵角δ響應(yīng)曲線(直航)Fig.5 The response graph of control rudder δ (straight)

圖6 滑模面σ響應(yīng)曲線Fig.6 The response graph of sliding mode surface σ

圖7 艏向角ψ響應(yīng)曲線(諧波)Fig.7 The response graph of yaw ψ(harmonic)

圖8 角速度r響應(yīng)曲線(諧波)Fig.8The response graph of angular velocity r(harmonic)

圖9 控制舵角δ響應(yīng)曲線(諧波)Fig.9 The response graph of control rudder δ (harmonic)

諧波航向跟蹤的試驗(yàn)結(jié)果如圖2～6所示.由圖3、5可知，對(duì)比控制律2，控制律1有更短的收斂時(shí)間和更小的控制舵角(意味著更小的能量消耗);同時(shí)，在不確定性的影響下，舵角振蕩較小、輸出平緩，這意味著控制律1有較好的動(dòng)態(tài)性能和自適應(yīng)能力.直航控制的試驗(yàn)結(jié)果如圖7～9所示，與控制律2相比，控制律1有較好的控制性能和自適應(yīng)能力.從圖2、7可看出，2種控制律皆能完成航向跟蹤，這驗(yàn)證了定理1和定理2.圖6也說明了跟蹤系統(tǒng)的滑模切換面σ是漸近穩(wěn)定的.

表1 控制效果對(duì)比Table 1 Comparison of control results

4 結(jié)束語(yǔ)

文中討論了在模型不確定性和外界干擾下，USV航向非線性系統(tǒng)的控制問題.對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析表明，該USV在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)是靜不穩(wěn)定的，但具有運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，基于滑模控制理論和Backstepping法，提出了一種反步自適應(yīng)滑模控制器.通過理論證明，在該控制律作用下USV的航向跟蹤控制系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的.數(shù)值仿真對(duì)比試驗(yàn)表明所提控制律具有良好的自適應(yīng)性和跟蹤性能，該方法也可推廣到其他海洋運(yùn)載系統(tǒng).探討更復(fù)雜環(huán)境下的航向控制問題，將是未來的研究重點(diǎn).

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