基于色噪聲背景下的自適應(yīng)波束形成研究

朱永建， 徐鵬飛

0 引言

在陣列信號(hào)處理的各種方法中，一般假設(shè)信號(hào)的背景噪聲為白噪聲，但在實(shí)際應(yīng)用中，往往不是嚴(yán)格的白噪聲。此外，由于實(shí)際信號(hào)的協(xié)方差矩陣均是通過(guò)有限次的快拍數(shù)據(jù)得到的，因此假設(shè)在信號(hào)中的噪聲為純粹的白噪聲的情況也并不一定成立。雖然相關(guān)文獻(xiàn)[1-3]對(duì)色噪聲情況下的波達(dá)方向（DOA）估計(jì)進(jìn)行了探討，但不夠深入，特別是自適應(yīng)波束形成方面的研究。

在色噪聲環(huán)境下會(huì)引起主瓣偏離和副瓣升高—波束畸變。對(duì)角線加載技術(shù)[4-6]是比較傳統(tǒng)的波束保形方法，它在色噪聲情況下情況不是很理想，容易造成自適應(yīng)零點(diǎn)變淺，甚至可能使自適應(yīng)零點(diǎn)消失，并且在實(shí)際應(yīng)用中加載量也不易控制。

1 色噪聲環(huán)境下自適應(yīng)波束形成

假設(shè)窄帶天線陣存在N個(gè)，P個(gè)不相關(guān)的干擾組成了遠(yuǎn)場(chǎng)平面波信號(hào)，可將由陣列天線進(jìn)行接收的信號(hào)由下式表示：

陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣為：

式 中 ， Rs= E [ S ( t) ? S ( t )H]干 擾 相 關(guān) 矩 陣 ，= R [n ( t) ? n ( t )H]為噪聲協(xié)方差矩陣。在通常白噪聲環(huán)境下， Rn=σ2I（σ2為噪聲功率）。

將白噪聲作為背景噪聲時(shí)，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得最小誤差準(zhǔn)則、最大信噪比準(zhǔn)則以及最小方差準(zhǔn)則下，背景噪聲與自適應(yīng)權(quán)值無(wú)關(guān)。已知期望信號(hào)的導(dǎo)向向量為0()θa，3個(gè)準(zhǔn)則是一致的，推導(dǎo)出自適應(yīng)權(quán)值為：

首先假定沒(méi)有干擾，這時(shí)陣列協(xié)方差矩陣自適應(yīng)權(quán)值為：

式中，0()θa為含加權(quán)的靜態(tài)表示導(dǎo)向矢量。當(dāng)噪聲為白噪聲時(shí)：

此時(shí)自適應(yīng)權(quán)向量與靜態(tài)導(dǎo)向矢量相同，其方向圖就是靜態(tài)方向圖。在色噪聲情況下，從式（4）可以看出，由于 Rn-1的不同，自適應(yīng)權(quán)和靜態(tài)導(dǎo)向矢量不一致，這會(huì)導(dǎo)致波束畸變。其次，當(dāng)空間存在單個(gè)干擾時(shí)，設(shè)干擾導(dǎo)向矢量為v，干擾功率為πv，空間色噪聲協(xié)方差矩陣為 Rn，它與干擾是不相關(guān)的，可得干擾與噪聲的協(xié)方差矩陣為：

則自適應(yīng)權(quán)值為：

當(dāng)干擾功率πv→∞時(shí)，式（7）變?yōu)椋?/p>

在白噪聲環(huán)境下，式（8）可簡(jiǎn)化為：

令

給定的式中，P為投影矩陣，由式（10）得出：自適應(yīng)權(quán)值與干擾矢量正交，因而在干擾方向?qū)⑿纬闪泓c(diǎn)。

當(dāng)存在色噪聲時(shí)，令 ：?

P亦為投影矩陣，同時(shí)為冪等矩陣。在色噪聲環(huán)境下，經(jīng)式（9）可推出自適應(yīng)權(quán)值與干擾方向正交，將在干擾方向形成零點(diǎn)。

經(jīng)過(guò)以下?lián)Q算，推得自適應(yīng)方向圖：

有以上可知，在信號(hào)中的干擾方向上，自適應(yīng)處理將形成零點(diǎn)。而在其它方向，靜態(tài)方向圖和波束形成的形狀是基本相同的。

當(dāng)存在色噪聲環(huán)境時(shí)，將式(8)代入式(12)得：

從上式可得，在干擾方向上自適應(yīng)波束形成將形成零點(diǎn)，至于其它方向，因?yàn)?Rn-1存在加權(quán)，白噪聲情況下，波束形狀的方向圖將不一樣，波束產(chǎn)生畸變。

2 波束保形方法

經(jīng)過(guò)以上分析，當(dāng)存在色噪聲時(shí)，自適應(yīng)波束形成方法如果不變，自適應(yīng)方向圖上就會(huì)發(fā)生畸變，將導(dǎo)致主瓣偏離和副瓣變高。實(shí)際情況下，容易出現(xiàn)虛警。

將協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征分解：

式中，iλ表示特征值，iu表示特征值相對(duì)應(yīng)的特征矢量。存在色噪聲時(shí)，特征值偏離了白噪聲環(huán)境下的特征值分布，升高降低均存在。傳統(tǒng)的克服波束畸變的對(duì)角線加載技術(shù)表現(xiàn)的效果不好，會(huì)產(chǎn)生零點(diǎn)消失，同時(shí)加載量也不好控制。

首先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行白化處理，即

白化處理后協(xié)方差矩陣為：

波束畸變的產(chǎn)生是由于噪聲的相關(guān)矩陣，而不是應(yīng)為單位陣，若令：

則能消除小特征值的擾動(dòng)，1R的所有小特征值都是1。通過(guò)1R計(jì)算自適應(yīng)權(quán)值可以抵消式(15)中噪聲協(xié)方差矩陣的干擾。通過(guò)1R得自適應(yīng)權(quán)值，表達(dá)式為：

當(dāng)存在功率趨于無(wú)窮大的單個(gè)干擾時(shí)，類似前面的推導(dǎo)，可得自適應(yīng)權(quán)值為：

由式（19）可以看出，1W 正交于干擾矢量，因而由式（18）得到的自適應(yīng)權(quán)值能在干擾位置形成自適應(yīng)零點(diǎn)。

此時(shí)，自適應(yīng)方向圖為：

從式（20）可以看出，利用1w自適應(yīng)權(quán)值進(jìn)行自適應(yīng)處理，進(jìn)而得到，方向圖將在干擾方向上產(chǎn)生零點(diǎn)，至于其他方向，靜態(tài)方向圖和波束形狀基本相同，即具有較好的波束保形能力。

應(yīng)當(dāng)指出，處理會(huì)使輸出信號(hào)干擾噪聲比會(huì)有損失。在無(wú)干擾時(shí)，利用自適應(yīng)權(quán)值得到的輸出SINR為：

而最佳自適應(yīng)處理得到的SINR為：

所以，SINR性能會(huì)有損失。

3 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

（1）在色噪聲情況下波束方向圖

仿真中線陣間隔為半波長(zhǎng)，陣元數(shù)為16。法線方向?yàn)槠谕盘?hào)的方向，干擾來(lái)自-400和300，干擾功率為40 dB。色噪聲空間協(xié)方差矩陣為 Rn=[σlm]，其第l行m列的元素為：

如圖 1所示，快拍數(shù)為 3*16-2,靜態(tài)的、白噪聲和干擾與色噪聲和干擾的方向圖。但快拍數(shù)為 1024時(shí)，其他條件不變，這時(shí)的方向圖如圖2所示，可以看出當(dāng)快拍數(shù)增加時(shí)，也就是說(shuō)快拍數(shù)增加相對(duì)于色噪聲趨于成為白噪聲，這時(shí)副瓣有所下降，白噪聲加干擾時(shí)，零陷變深。

圖1 靜態(tài)、白噪聲和干擾與色噪聲和干擾的方向

圖2 靜態(tài)、白噪聲和干擾與色噪聲和干擾的方向

（2）色噪聲下角度變化與SINR的關(guān)系

存在單個(gè)干擾信號(hào)時(shí)（干擾功率為40 dB）,干擾方向在-900～900進(jìn)行變化，陣列輸出信號(hào)的干擾信噪比（SINR）的變化情況如圖3和圖4所示，最佳自適應(yīng)權(quán)值得到的結(jié)果在圖中用SmiSINR所注釋實(shí)線表示，SeIaoShengSINR所注釋的虛線表示色噪聲情況下的SINR關(guān)系，星線表示修正后的輸出SINR關(guān)系。此時(shí)輸出的SINR損失約為20 dB。

圖3 SMI、色噪聲和干擾及修正后的輸入與輸出關(guān)系

圖4 SMI、色噪聲和干擾及修正后的隨著干擾角度變化與輸出（SINR）的關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

分析在色噪聲情況下的自適應(yīng)波束形成方法，以及有限次快拍下自適應(yīng)波束畸變的原因。在此基礎(chǔ)上，提出了一種已知噪聲協(xié)方差時(shí)可以從根本上解決波束畸變的波束保形方法[6-10]。雖然實(shí)際更多情況是噪聲協(xié)方差矩陣未知，這時(shí)可利用叁數(shù)化陣列處理方法根據(jù)模型叁數(shù)，進(jìn)而得到噪聲協(xié)方差矩陣。

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