The Boussinesq方程新的精確解

張亞敏

（寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 寶雞 721013）

隨著科技的迅速發(fā)展，非線性方程已被廣泛的應(yīng)用到眾多領(lǐng)域中，如光學(xué)、流體力學(xué)、電磁波等，從而出現(xiàn)了許多求解非線性微分方程的方法，主要有逆散射法[1]、Hirota雙線性法[2]、齊次平衡法[3]、Backlund 變換法[4]等。 近些年，由于計(jì)算機(jī)代數(shù)與符號(hào)計(jì)算的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)求解非線性方程許多新的方法[5]，如齊次平衡法[6-7]、雙曲函數(shù)法、幾何方法等。

本文采用F—展開(kāi)法，借助一種改進(jìn)的輔助函數(shù)的解，并結(jié)合符號(hào)計(jì)算，運(yùn)用Maple環(huán)境中的Epsilon軟件包，求解the Boussinesq方程[8]得到了若干其他方法不曾給出的，形式更為豐富的新的顯示行波解，其中包括雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解。

1 The Bouqssinesq方程新的解

求解the Boussinesq方程

為求方程（1）新的行波解，令

將（2）式代入（1）式，并積分兩次得

由平衡法得u=2，則

將（5）式代入（3）式，并根據(jù)（4）式得到關(guān)于 F（ξ）的函數(shù)，令F（ξ）各次冪的系數(shù)為0，得如下方程組：

利用Maple求解上面方程組，得

1）在 A＞0，C 為任意數(shù)時(shí)，則方程（1）的解為

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 時(shí)，即 C＜0，方程（1）的解為

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 時(shí)，即 C＞0，方程（1）的解為

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＞0 時(shí)，即 C＞0，方程（1）的解為

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時(shí)，即 C＜0，方程（1）的解為

1）在 A＞0，方程（1）的解為

2）在 A＜0，方程（1）的解為

1）在 A＞0，C 為任意數(shù)，方程（1）的解為

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 時(shí)，即 C＜0，方程（1）的解為

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 時(shí)，即 C＞0，方程（1）的解為

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時(shí)，即 C＞0，方程（1）的解為

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時(shí)，即 C＜0，方程（1）的解為

1）A＞0，方程（1）的解為

2）A＜0，方程（1）的解為

2 結(jié)束語(yǔ)

本文利用一種改進(jìn)的輔助函數(shù)法，并運(yùn)用Maple環(huán)境中的Epsilon軟件包，求解the Boussinesq方程，獲得了若干其它方法不曾給出的新的精確解，運(yùn)用此方法可以求出許多方程新的精確解。

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