The Boussinesq方程新的精確解

張亞敏

（寶雞文理學院 數學系，陜西 寶雞 721013）

隨著科技的迅速發展，非線性方程已被廣泛的應用到眾多領域中，如光學、流體力學、電磁波等，從而出現了許多求解非線性微分方程的方法，主要有逆散射法[1]、Hirota雙線性法[2]、齊次平衡法[3]、Backlund 變換法[4]等。 近些年，由于計算機代數與符號計算的發展，人們發現求解非線性方程許多新的方法[5]，如齊次平衡法[6-7]、雙曲函數法、幾何方法等。

本文采用F—展開法，借助一種改進的輔助函數的解，并結合符號計算，運用Maple環境中的Epsilon軟件包，求解the Boussinesq方程[8]得到了若干其他方法不曾給出的，形式更為豐富的新的顯示行波解，其中包括雙曲函數解和三角函數解。

1 The Bouqssinesq方程新的解

求解the Boussinesq方程

為求方程（1）新的行波解，令

將（2）式代入（1）式，并積分兩次得

由平衡法得u=2，則

將（5）式代入（3）式，并根據（4）式得到關于 F（ξ）的函數，令F（ξ）各次冪的系數為0，得如下方程組：

利用Maple求解上面方程組，得

1）在 A＞0，C 為任意數時，則方程（1）的解為

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 時，即 C＜0，方程（1）的解為

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 時，即 C＞0，方程（1）的解為

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＞0 時，即 C＞0，方程（1）的解為

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時，即 C＜0，方程（1）的解為

1）在 A＞0，方程（1）的解為

2）在 A＜0，方程（1）的解為

1）在 A＞0，C 為任意數，方程（1）的解為

2）在 A＞0，Δ=B2-4AC＞0 時，即 C＜0，方程（1）的解為

3）在 A＞0，Δ=B2-4AC＜0 時，即 C＞0，方程（1）的解為

4）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時，即 C＞0，方程（1）的解為

5）在 A＜0，Δ=B2-4AC＜0 時，即 C＜0，方程（1）的解為

1）A＞0，方程（1）的解為

2）A＜0，方程（1）的解為

2 結束語

本文利用一種改進的輔助函數法，并運用Maple環境中的Epsilon軟件包，求解the Boussinesq方程，獲得了若干其它方法不曾給出的新的精確解，運用此方法可以求出許多方程新的精確解。

[1]Gardner C S，Greene J M，Kruskal M D，et al.Method for solving the Kortewege-de Vries equation[J].Physical Review Letters，1967（19）:1095-1907.

[2]Hirota R.Exact solution of the Korteweg-de vries equation formultiple collisions ofsolitions[J].PhysicalReview Letters，1971（27）:1192-1194.

[3]Senthilvelan M.On the extented applications of homogeneous balance method[J].Applied Mathematics and Computation，2001（123）:381-388.

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[6]李志斌，張善卿.非線性波方程準確孤立波解的符號計算[J].數學物理學報，1997，17（1）：81-89.

LI Zhi-bing，ZHANG Shan-qing.Nonlinear wave equation accurately solitary wave solutions of symbolic computation[J].Journal of Mathematical Physics，1997，17（1）：81-89.

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