基于DSP+Builder線性相位濾波器組格型設計與實現

林桂鵬，熊慶國

（武漢科技大學 湖北 武漢 430081）

隨著多速率濾波器組的發展，隨機信號的自回歸模型、語音信號處理和圖像壓縮等領域中，對濾波器的要求也越來越高，我們不僅僅要求濾波器組是完全重構的，尤其對線性相位特性也有著嚴格要求。完全重構是一個非常有用的屬性，因為它提供了一種無損信號代表并且它顯著簡化了誤差分析[4]。濾波器組的線性相位特性，以使信號經過處理之后不產生相位失真，尤其是在圖像處理等對相位變化敏感的場合。所以線性相位完全重構濾波器組（LPPRFB）在空中預警，電子對抗，超寬帶雷達，軟件無線電等軍用領域也具有廣闊的應用前景。因此，線性相位完全重構濾波器組的設計非常有意義。

格型濾波器組提供了一種結構化的設計方法，可以很方便的將線性相位條件加入到這一結構中，設計出具有線性相位的完全重構濾波器組。Lattice結構和離散系統的直接實現形式相比，其最大的優點就是對濾波器系數的量化不敏感。濾波器組的完全重構性可由格形結構保證，即使格形結構中的系數量化也能保證濾波器組的完全重構性[1-4]。

1 格型濾波器組

將具有一個共同輸入信號或一個具有共同輸出信號的一組濾波器稱為濾波器組。格型濾波器的理論基礎是多速率。具有線性相位和完全重構特性的多速率濾波器組，稱之為線性相位完全重構濾波器組 （Linear Phase Perfect Reconstruction Filter Banks）。數字濾波器是將輸入的數字信號通過一定的運算關系變為所需要的輸出數字信號，根據數字濾波器沖激響應函數的時域特性，可將數字濾波器分為無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。FIR濾波器的突出特點：1）系統總是穩定的；2）易于實現線形相位；3）可以具有任意的幅度特性性[5-6]。

一個標準的Lattice結構的基本單元如圖1所示。將圖1的基本單元級聯起來，得到一種實現任意長有限沖激響應傳輸函數的級聯Lattice濾波器結構，如圖2所示。

圖1 FIR系統Lattice結構的基本單元Fig.1 Lattice basic unit of the FIR system

全零點格型結構由M個基本格型組成，每個基本格型有上、下兩個輸入端和輸出端。輸入x（n）同時加到第一級的上、下兩個輸入端，輸出y（n）取自最后一級的上輸出端。由于該電路只有延時，沒有反饋，所以是FIR濾波器。其中，α1，α2，…αN-1，為反射系數。

圖2 FIR系統的Lattice結構Fig.2 Lattice structure of the FIR system

濾波器組是多個數字濾波器的集合，有共同的輸入或者共同的輸出，如果濾波器組的輸出x＾[n]是輸入x[n]的一個純粹的時間延遲效果，如，x＾[n]=x[n-L]，L∈Z，那么該濾波器就具有完全重構特性。這也是完全重構最直觀最普遍的的定義[4]。如果濾波器組系統的抽樣響應滿足 h（n）=±h（N-1-n），則濾波器具有線性相位特性[1]。

圖3所示為最大限度銳減的通道濾波器組的分析濾波器組 Hi（z），綜合濾波器組 Fi（z）以及上采樣和下采樣操作。 輸入信號 x[n]是通過 M 個濾波器 Hi（z）過濾，每一個 Hi（z）只處理自己的頻率波段。圖4所示為M通道濾波器組的多相結構，其中E（z）和R（z）是Ⅱ型多相位分解矩陣，表示如下：

其中，e（z）=[1 z-1… z-（M-1）]，如果 E（z）是可逆的，綜合濾波器多相矩陣R（z）就可以由分析濾波器多相矩陣E（z）的逆得到，則濾波器就可以達到完全重建，得到的濾波器組被稱為完全重建濾波器組（PRFB）。 如果滿足，E（z-1）TE（z）=I，R（z）=ET（z-1）那么這種濾波器組屬于一種特殊的線性相位完全重構濾波器組，稱之為仿酉濾波器組（PUFB）。

圖3 M通道濾波器組的一般結構Fig.3 Regular structure of M-channel FB

圖4 M通道濾波器組的多相結構Fig.4 Polyphase structure of M-channel FB

文中以仿酉濾波器組為例，設計其格型結構。有線性相位的且滿足PUFB性能的高階濾波器組，其Lattice結構如圖5所示。

圖5中，矩陣：

圖5 線性相位完全重構FB分析濾波器組Lattice結構一般形式Fig.5 General form of linear phase perfect reconstruction FB analysis filter Lattice structure

由（5）式可以看出，Lattice 系數 αi+1就是 Hi+1（z）最高項的系數，即

因為 HN-1（z）就是濾波器組中的低通濾波器 H0（z），若 H0（z）已知，那么由（8）式和（9）式可求出所有的 Lattice 系數，即α1，α2，…αN-1。

2 格型濾波器組算法實現

（4）式說明，H0（z）和 H1（z）都具有線性相位，其中 H0（z）的系數偶對稱，H1（z）的系數奇對稱。

假設圖5中的第i-1級是功率互補的，那么對第i+1級，有

由此又可以推導出：

從上面的推導也可以看出，系數αi的改變并不影響每一級的功率互補性質，也不影響系統的功率互補性質，因此αi的量化不會改變系統的功率互補性質，這是Lattice結構的一個突出有點。

由（5）（6）式，有

兩通道仿酉系統分析濾波器組的Lattice設計，如給出一組滿足要求的 h0（n），h0（n）=｛0.267 8 ，0.471 9，0.375 2，0.021 0，-0.177 9，-0.051 3，0.106 9， 0.047 2，-0.072 3，-0.038 9，0.052 4，0.031 1，-0.039 8，-0.024 3，0.031 1，0.018 7，-0.024 7，-0.015 4，0.021 5，0.016 3，-0.037 0，0.021 0｝， 令長度 N=22，ωp=0.45π，現在利用式子（8）和（9）求出其 Lattice 系數 αi，i=1，2，…，11如表 1 所示。

表1 計算得到lattice系數Tab.1 The lattice coefficient

得到lattice系數，即可得到lattice結構，所求格型結構如圖6所示。

圖6 兩通道仿酉系統分析濾波器組（N=22）的格型結構Fig.6 The lattice structure of the two-channel paraunitary systems analysis filter banks （N=22）

3 格型濾波器組電路仿真實現

DSP Builder是Altera公司推出的一個數字信號處理的系統級開發工具，是DSP系統體系解決方案的一項開創性解決方案。

它在QuaItusⅡFPGA設計環境中集成了MathWork的Matlab和Simulink及DSP開發軟件，利用DSP Builder設計軟件產生設計文件（.mdl），通過SignalCompile將之轉換為相應的硬件描述語言（.vhd），以及用來控制綜合和編譯的tcl腳本。然后利用QuartusⅡ 工具進行了分析、綜合、編譯適配，最后下載到FPGA器件中。

圖7 仿真模塊圖Fig.7 Block diagram of simulation

圖8 仿真結果圖Fig.8 Simulation results

4 實驗結果分析

圖9 濾波器組的頻譜分析Fig.9 Spectrum analysis of the filter banks

5 結束語

Lattice結構其最大的優點就是對濾波器系數的量化不敏感。濾波器組的精確重構性可由格形結構保證，即使格形結構中的系數量化也能保證濾波器組完全重構性。由于這種濾波器組滿足功率互補的關系，因而只需極小化各分析濾波器的阻帶，就可獲得具有良好特性的濾波器組。這一設計方法簡化了濾波器組的優化設計，而且極大地推動了多速率濾波器組理論和應用的發展。

DSP Builder作為設計工具能加快進度。當然，在實際應用中，受精度、速度和器件選擇方面的影響，可以對其進一步的優化。DSP Builder設計將系統描述和硬件實現有機地融為一體。充分顯示了現代電子設計自動化開發的特點與優勢。

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