滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)的等價線性化方法研究

趙曉宇，李 軍，李張苗

(1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240;2.河北工程大學(xué)土木學(xué)院，河北邯鄲056038)

結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析的目的是計算結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)和可靠度。由于地震活動的不確定性和地震波在地殼中傳播的隨機性，地面地震動參數(shù)都是隨機的，一般由隨機過程來描述。結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析則給出隨機地震荷載下結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計參數(shù)、譜特性、邊緣或聯(lián)合概率分布等，為結(jié)構(gòu)的可靠度評估或抗震設(shè)計提供基本數(shù)據(jù)。

在地震作用下，結(jié)構(gòu)往往會進入非線性狀態(tài)，因此，在結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析中，應(yīng)該考慮結(jié)構(gòu)的非線性行為，尤其是結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變特性［1]。然而，滯變結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析在目前來說仍然是一個困擾地震工程界的技術(shù)難題，盡管人們提出和發(fā)展了一些方法，但精確并有效的方法仍然在研究和開發(fā)過程中。本文回顧了目前存在的滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析的基本方法，探討了目前應(yīng)用最為廣泛的等價線性化方法及其誤差問題，為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析方法研究提供參考。

1 隨機地震荷載和結(jié)構(gòu)滯變恢復(fù)力

精細的隨機地震荷載模型需用隨機場來描述［1]。但由于隨機場模型往往給結(jié)構(gòu)分析帶來非常大的復(fù)雜性，且隨機場模型通常由一維隨機過程和相關(guān)函數(shù)或相干函數(shù)來合成，因此在結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用的是一維隨機過程模型。目前常用的一維隨機地震動荷載模型有平穩(wěn)隨機過程模型(如白噪聲過程模型、金井清和田治見模型以及Clough－Penzien模型等)、調(diào)制非平穩(wěn)隨機過程模型(如調(diào)制金井清和田治見模型以及Clough－Penzien模型［2])和基于漸進功率譜的完全非平穩(wěn)隨機過程模型等［3－4]。一般來說，上述模型能比較好地滿足不同層次的結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析的要求。

在地震荷載的往復(fù)作用下，構(gòu)件的恢復(fù)力與變形的關(guān)系曲線在加載和卸載過程中不沿著同一個路徑變化，表現(xiàn)出顯著的滯變特性。常用的結(jié)構(gòu)恢復(fù)力的滯變模型有雙線性模型、Clough三線性模型和能量模型［1]，但由于上述模型是不光滑的，給求解隨機偏微分振動方程帶來了非常大的困難，因此，在結(jié)構(gòu)的隨機地震反應(yīng)分析中經(jīng)常采用光滑的滯變恢復(fù)力模型，其中最常用的是Bouc－Wen 模型［1]。

若將結(jié)構(gòu)恢復(fù)力表示為

式中:g(x，˙x)－滯變恢復(fù)力;x－變形;αkx－彈性力部分;(1－α)kz－滯變力部分;k－初始剛度;αk－第二剛度;α －第二剛度系數(shù)。

那么，光滑的Bouc－Wen滯變變形模型為

式中:A、B、γ－控制滯變變形初始剛度、幅值和滯變形狀參數(shù)。

2 滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析的主要方法

目前的滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析方法主要有擴散理論方法、隨機平均法、攝動法、矩截斷法、數(shù)字模擬方法和等價線性化法等［5－6]。

擴散理論方法是在相應(yīng)的邊界條件與初始條件下求解福克－普朗克－科爾莫哥洛夫方程(FPK方程)。對極少數(shù)問題，如白噪聲激勵下的Duffing振子，可以得到解析解［5－6]。但對一般的滯變結(jié)構(gòu)，尤其是常用隨機地震模型作用下的復(fù)雜滯變結(jié)構(gòu)，目前沒有解析解，只能通過近似方法(如隨機平均法［7－8])和數(shù)值方法進行近似計算，而且計算量大且精度也很難保證［6]。因此，擴散理論方法目前還未在工程中廣泛使用。

隨機攝動法是非線性確定性振動的攝動方法對隨機問題的直接推廣［9]。它可以用來確定弱非線性體系受隨機干擾的近似反應(yīng)的統(tǒng)計矩，但不適用于強非線性的滯變結(jié)構(gòu)。

矩函數(shù)截斷法是一類求解非線性系統(tǒng)反應(yīng)矩的方法。較常用的是高斯截斷法和累積量截斷法，適用于單個或多個自由度非線性系統(tǒng)受平穩(wěn)或非平穩(wěn)隨機激勵的情況［6，10]。矩函數(shù)截斷法已被用于滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)統(tǒng)計矩的初步估計之中，但該方法的精度尚有待進一步提高。

數(shù)字模擬方法(Monte Carlo模擬方法和重要抽樣方法)與等價線性化法是目前應(yīng)用最為廣泛的滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析方法［11]。該方法利用隨機地震動的樣本和確定性滯變結(jié)構(gòu)的振動分析技術(shù)，獲得結(jié)構(gòu)反應(yīng)的樣本，然后統(tǒng)計樣本得到結(jié)構(gòu)反應(yīng)的統(tǒng)計參數(shù)、概率分布或其它概率特征。只要計算量允許，數(shù)字模擬技術(shù)適用于任何可以進行確定性分析的結(jié)構(gòu)振動問題。然而，Monte Carlo模擬方法的確定性有限元分析數(shù)量往往數(shù)以十萬計，對大型結(jié)構(gòu)問題難以在可容忍的時間內(nèi)完成模擬過程，而重要抽樣方法的穩(wěn)定性問題也一直沒有得到很好地解決［12]。

隨機等價線性化方法是利用某個等價原則將所研究非線性系統(tǒng)等價變換為一個線性系統(tǒng)，通過分析等價線性系統(tǒng)的隨機反應(yīng)來預(yù)測原系統(tǒng)的隨機反應(yīng)。等價線性化方法是被認(rèn)為是目前最有效的滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析方法［13]。

3 滯變結(jié)構(gòu)隨機地震反應(yīng)分析的等價線性化方法

上世紀(jì)50年代，從事控制論和自動化理論研究的 Kazakov［14]和 Booton［15]最早提出了隨機等價線性化方法，Caughey將其推廣到非線性隨機振動系統(tǒng)［16]。非線性隨機振動系統(tǒng)等價線性化的中心思想是將原來的非線性系統(tǒng)用一個等價的線性系統(tǒng)來代替，線性系統(tǒng)的參數(shù)通過利用原系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間的某個等價準(zhǔn)則來獲得，因此非線性隨機振動系統(tǒng)的等價線性化方法可按等價線性化準(zhǔn)則來進行分類。

最早提出并且應(yīng)用最廣泛的線性化準(zhǔn)則是原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小準(zhǔn)則。采用該準(zhǔn)則后，等價系統(tǒng)的參數(shù)可以通過計算原系統(tǒng)中非線性函數(shù)梯度的期望來確定［17]。這種隨機等價線性化方法主要是確定等價系統(tǒng)的剛度和阻尼參數(shù)，尤其是可以給出Bouc－Wen模型的等價參數(shù)［18]，使等價線性方程“最優(yōu)”的逼近原來的非線性方程的解［1]。均方差最小準(zhǔn)則下的等價線性化方法的具體過程是用帶有剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)的線性系統(tǒng)近似代替非線性系統(tǒng)，將線性系統(tǒng)的響應(yīng)帶入線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)運動方程中，得到兩方程之差，運用兩系統(tǒng)響應(yīng)的均方差最小的原則，可以得到用來確定剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)的矩陣方程，將該矩陣方程與線性系統(tǒng)動力方程聯(lián)立，可以求解出剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，對于bouc－wen模型系數(shù)可以通過迭代方法來計算［5]。剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)直接與反應(yīng)的統(tǒng)計矩有關(guān)，對于非平穩(wěn)反應(yīng)的問題，統(tǒng)計矩是時間的函數(shù)，等價參數(shù)也是隨時間變化的，宜將時間區(qū)間分成若干子區(qū)間，等價參數(shù)和體系的反應(yīng)統(tǒng)計矩需要從等于時間步長大小的離散時刻起迭代求解［1]。

上述等價線性化方法可以稱為全局等價線性化方法，該類方法能夠較為簡單地確定等價線性系統(tǒng)的參數(shù)，但等價響應(yīng)的概率分布，特別是尾部概率分布的誤差較大。為了解決這個問題，人們提出了新的線性化準(zhǔn)則，主要包括局部等價線性化原則和無參數(shù)等價線性化準(zhǔn)則。

局部等價線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Casciati和Faravelli提出的原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等準(zhǔn)則方法［19]。對滯變結(jié)構(gòu)研究時雖然無法明確得到原系統(tǒng)位移和速度的概率密度分布，但在能量損耗很小的情況下，可以運用隨機平均方法得到能量包線的Fokker－Planck方程，運用標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)獲得位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合概率分布近似值，從而可以得到滯變結(jié)構(gòu)的穿越概率。利用等價線性化方法，將原來的滯變結(jié)構(gòu)用等價的線性結(jié)構(gòu)來替代，可以得到等價的線性結(jié)構(gòu)的穿越概率，這個穿越概率是有關(guān)等價線性參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式。利用原系統(tǒng)響應(yīng)與等價系統(tǒng)響應(yīng)的平均穿越率相等的準(zhǔn)則，最終可得到等價參數(shù)。平均穿越率相等方法能針對特定的反應(yīng)水平值給出不同的等價線性系統(tǒng)參數(shù)，局限性在于需要知道原系統(tǒng)位移和速度反應(yīng)的聯(lián)合邊緣概率密度函數(shù)以便計算原系統(tǒng)反應(yīng)的平均穿越率，這對于非線性結(jié)構(gòu)特別是多自由度的非線性結(jié)構(gòu)而言比較困難，這限制了該方法的廣泛應(yīng)用。

無參數(shù)等價線性化準(zhǔn)則的一種典型方法是Kiureghian提出的尾部等價線性化方法［20]。其等價原則是等價線性系統(tǒng)的尾部概率與非線性系統(tǒng)的尾部概率相等。具體過程是先把隨機激勵離散成有限個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量，然后考察一般線性系統(tǒng)在這個離散化的隨機激勵作用下的響應(yīng)情況，從而定義出一個與非線性系統(tǒng)響應(yīng)的尾部概率相等的尾部等價線性系統(tǒng)。獲得等價的線性系統(tǒng)后，非線性系統(tǒng)的隨機響應(yīng)統(tǒng)計值可以由對等價的線性系統(tǒng)響應(yīng)的分析得到，包括在某一時刻下的概率密度函數(shù)和累計概率分布函數(shù)、平均穿越率、在一定時間間隔內(nèi)的最大響應(yīng)分布等。尾部等價線性化方法無需計算等價系統(tǒng)的阻尼和剛度參數(shù)，也不需要解決最優(yōu)化的問題，只需要保證在相同的時間設(shè)計點，非線性系統(tǒng)響應(yīng)的切平面與等價的線性系統(tǒng)響應(yīng)的超平面重合。

尾部等價線性化方法適用于各類具有有理譜密度的隨機地震荷載和各類滯變恢復(fù)力模型，且在時域分析和頻域分析中都可使用。例如在海洋結(jié)構(gòu)問題中［21]，波浪激勵通常用頻域形式表示，為了便于進行頻域隨機振動分析，用頻率響應(yīng)函數(shù)來定義尾部等價線性系統(tǒng)，在計算過程中需要對激勵進行頻域離散化，頻率響應(yīng)函數(shù)可以直接由非線性響應(yīng)的設(shè)計點運算得到。采用尾部等價線性化方法進行頻域分析的一大優(yōu)點就是尾部等價線性系統(tǒng)不受激勵大小的影響，即不同的浪高有相同的等價線性系統(tǒng)，這大大簡化了對海洋結(jié)構(gòu)的運算分析。尾部等價線性化方法在工程方面可以運用在地震分析中［22]，進行非線性結(jié)構(gòu)地震易損性計算。因為對尾部等價線性系統(tǒng)進行線性隨機振動分析即可產(chǎn)生非線性結(jié)構(gòu)的易損性曲線，所以避免了反復(fù)的時程分析，簡化了運算。

隨機等價線性化方法的應(yīng)用主要有兩個方面。一方面，有些學(xué)者將等價線性化方法與其它方法進行結(jié)合，來提高分析的效率和精度。Spanos、Sofi和Paola綜合利用等價線性化方法和Fokker－Planck方程進行非線性振子的非平穩(wěn)響應(yīng)包絡(luò)概率密度分析，在范德波振子和杜芬振子的應(yīng)用中，取得了良好效果［23]。Pradlwarter、Schueller和Schenk將等價線性化方法嵌入有限元方法中，對有上千個自由度的大型有限元模型進行了非線性隨機振動分析［24]。另一方面，等價線性方法已廣泛應(yīng)用于建筑、橋梁、離岸平臺和車輛的非線性隨機振動分析以及隨機荷載建模、結(jié)構(gòu)可靠度和自動化控制等領(lǐng)域，特別是對于大型混凝土結(jié)構(gòu)的地震可靠度問題，等價線性化是目前唯一有效的分析方法。Schueller運用這種方法來研究八層辦公樓在雙向地震激勵作用下的反應(yīng)［25]，Emam將這種方法運用在了六層建筑一維滯回以及三層建筑二維滯回情況下的反應(yīng)分析之中［26]。朱東生將等價線性化方法運用到鉛芯橡膠支座(LRB)隔震橋梁的設(shè)計中［27]，孔德怡針對系統(tǒng)阻尼對橋梁設(shè)計反應(yīng)譜的影響，以一座實橋為例，通過與非線性時程分析比較，對各個等價線性化方法進行了評價［28]。Qian計算波浪力對結(jié)構(gòu)的作用，考慮了一個三維的離岸平臺模型，利用等價線性化方法獲得響應(yīng)特性［29]。Zhang研究了車輛的隨機概率響應(yīng)曲線，提出了一種用來獲得線性化系數(shù)和響應(yīng)特性的逐步線性化方法［30]。

4 等價線性化的誤差及修正

目前只有很少的文獻研究了近似誤差的問題。大多數(shù)學(xué)者選用特殊系統(tǒng)進行研究而后采用與確定解或數(shù)值模擬結(jié)果相比較的方法獲得近似誤差，尚不存在等價線性化誤差修正的理論方法。

一般而言，等價線性化方法的數(shù)值誤差存在于用線性系統(tǒng)代替非線性系統(tǒng)的等價近似過程中，主要分為平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差兩個部分。平穩(wěn)誤差通常是由對位移、速度、滯回位移等各種響應(yīng)變量的高斯假定產(chǎn)生的，非平穩(wěn)誤差主要體現(xiàn)在永久塑性變形的積聚方面。Young J.Park通過誤差分析量化了數(shù)值誤差，并在大量的Monte Carlo數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上提出了一個實用的誤差修正方法［31]。

在平穩(wěn)誤差方面，誤差大小和后屈服剛度比有著重要關(guān)系。后屈服剛度比如果較大，平穩(wěn)誤差則較小，同時表明在這種情況下高斯假定對結(jié)果的影響較小;但當(dāng)后屈服剛度比非常小時，平穩(wěn)誤差受后屈服剛度比影響的敏感性也會非常小。Young J.Park的平穩(wěn)誤差修正方法是，當(dāng)?shù)葍r線性化方法計算出的位移與屈服位移的比值小于0.5時，平穩(wěn)誤差很小可以視為零;比值在0.5到1之間時，誤差是關(guān)于位移和后屈服剛度比的函數(shù);當(dāng)比值大于1后，誤差基本呈現(xiàn)出的是有關(guān)后屈服剛度比的一個常數(shù)。

在非平穩(wěn)誤差方面，后屈服剛度比對非平穩(wěn)誤差的影響要遠遠大于對平穩(wěn)誤差的影響，其他參數(shù)如粘性阻尼系數(shù)等對誤差的影響十分微小;當(dāng)后屈服剛度比大于0.05時，非平穩(wěn)誤差十分微小。Young J.Park得到的非平穩(wěn)誤差修正方法是當(dāng)位移與屈服位移的比值小于0.5時，非平穩(wěn)誤差可以忽略不計;比值大于0.5時，由數(shù)值模擬得到的非平穩(wěn)誤差是有關(guān)后屈服剛度比、位移和標(biāo)準(zhǔn)化時間的關(guān)系式。

通過分別對平穩(wěn)誤差部分和非平穩(wěn)誤差部分進行修正，最終歸結(jié)為總的數(shù)值誤差修正，總的誤差修正值可以綜合平穩(wěn)誤差和非平穩(wěn)誤差來得到。

5 結(jié)語

與常用的滯變結(jié)構(gòu)隨機振動分析方法，如擴散理論方法、隨機平均法、攝動法、矩截斷方法和數(shù)字模擬方法等相比，等價線性化方法因概念簡單，計算量較少，具有良好的實用性。尤其是近年來發(fā)展出來的局部等價線性化方法和無參數(shù)等價線性化方法，既提高了預(yù)測原系統(tǒng)反應(yīng)尾概率的精確性和計算效率，又適用于分段和光滑的滯變恢復(fù)力模型。面對未來可能發(fā)生的地震，陳舊混凝土結(jié)構(gòu)具有潛在的巨大災(zāi)害，將等價線性化方法運用到結(jié)構(gòu)的地震安全性評估之中，對城市的抗震減災(zāi)工作具有重要意義。

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