反常積分?jǐn)可⑿缘男聦?duì)數(shù)判別法

趙建華

(上海海事大學(xué)，上海200135)

函數(shù)的定積分，有兩個(gè)重要的約束條件，即積分區(qū)間的有限性和被積函數(shù)的有界性。將這兩個(gè)約束條件取消，便得到了定積分兩種形式的推廣:(1)將函數(shù)的積分區(qū)間由有限擴(kuò)展到無限就得到了無窮限的反常積分;(2)將被積函數(shù)由有界擴(kuò)展到無界就得到無界函數(shù)的反常積分［1－3]。但是，反常積分涉及到一個(gè)所謂的收斂性問題。因?yàn)榉e分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性在很多實(shí)際問題中往往需要突破這些限制，因而對(duì)反常積分?jǐn)可⑿缘呐卸ň惋@得格外重要［4－15]。本文討論的重點(diǎn)就是關(guān)于反常積分?jǐn)可⑿缘男碌膶?duì)數(shù)判定方法以及新的對(duì)數(shù)判別法和舊的對(duì)數(shù)判別法的優(yōu)劣。

1 研究內(nèi)容

考察無窮限積分的對(duì)數(shù)審斂法［4]的證明知道，它是以反常積分1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行判定的。在本文的研究中，我們可以以反常積分(p＞1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為比較標(biāo)準(zhǔn)來探討相應(yīng)的判別法。類似地，對(duì)于瑕積分(a是唯一的瑕點(diǎn))，我們擬用(p＞1時(shí)收斂，p≤1時(shí)發(fā)散)作為比較標(biāo)準(zhǔn)來探討相應(yīng)的判別法。

2 反常積分?jǐn)可⑿孕碌膶?duì)數(shù)判別法

2.1 相關(guān)定理及其證明

定理1設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間［3，+∞)上的正值函數(shù)。

(i)如果存在常數(shù)λ＞1及G＞3，使得對(duì)任意的 x＞G，有，則無窮限反常積分收斂。

即有

由于λ＞1，故無窮限反常積分

證畢。

定理1有如下極限形式:

推論1設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間［3，+∞)上的正值函數(shù)，且

由此可推出 1n［xf(x)] ≤1n(1nx)－(λ－ε)，即有 xf(x)≤(1nx)－(λ－ε)。

當(dāng)λ=+∞時(shí)，對(duì)M=2，存在G＞3，使得對(duì)任意的 x＞G有，即有

2.2 新舊對(duì)數(shù)判別法的比較

定理2設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間［3，+∞)上的正值函數(shù)。

(i)如果存在常數(shù)λ＞1及G＞3，使得對(duì)任意的x＞G時(shí)有，則存在常數(shù) λ'＞1及G'＞3，使得對(duì)任意的 x ＞ G'時(shí)有≥λ'。

證明 (i)由于G＞3，故當(dāng)時(shí)x＞G，有1n1nx＞1nx＞0。于是當(dāng) x＞G時(shí)，假設(shè)，由于從而，對(duì) λ ＞1，?G'＞3，當(dāng) x＞G'時(shí)，有取λ'=λ，即得(i)的證明。

(ii)由于G＞3，故當(dāng)x＞G時(shí)有1n1nx＞1nx＞

證畢。

證明 由定理2的證明過程知本推論成立，證畢。

3 瑕積分?jǐn)可⑿孕碌膶?duì)數(shù)判別法

3.1 相關(guān)定理及其證明

定理3設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間(a，b] 上的正值函數(shù)，在點(diǎn)a的任一右鄰域上無界，且在任何區(qū)間［μ，b] ?(a，b)上可積。

(i)如果存在 δ∈(0，e－1)及常數(shù) λ ＞1，使得對(duì)于任意的 x∈(a，a+δ)有

(ii)若存在 δ∈(0，e－1)，使得對(duì)于任意的 x∈(a，a+ δ)有

證明(i)因?yàn)? ＜ δ＜ e－1，故對(duì)于任意 x∈(a，a+δ)有0＜x－a＜e－1，于是 1n(x－a)＜ －1，故|1n(x－a)|＞1，從而1n|1n(x－a)|＞0。于是由式(6)可得

1n［(x－a)f(x)] ≤ －λ1n|1n(x－a)|=1n|1n(x－a)|－λ，即有(x－a)f(x)＜ |1n(x－a)|－λ，于是

(ii)因?yàn)? ＜ δ＜ e－1，故對(duì)于任意的 x∈(a，a+δ)，由于0＜x－a＜e－1，于是1n(x－a)＜ －1，故|1n(x－a)|＞1，從而 1n|1n(x－a)|＞0。由式(7)得1n［(x－a)f(x)] ≥ －1n|1n(x－a)|=1n|1n(x － a)|－1，即有

證畢。

定理3有如下極限形式:

推論3設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間(a，b)上的正值函數(shù)，在點(diǎn)a的任一右鄰域(a，a+δ)上無界，且在任何區(qū)間［μ，b] ?(a，b)上可積。若，則

當(dāng) λ =+∞時(shí)，存在0 ＜ δ＜e－1，使得當(dāng) x∈(a，a+δ)時(shí)有從而1n［(xa)f(x)] ＜21n|1n(x－a)|。

3.2 新舊對(duì)數(shù)判別法的比較

定理4設(shè)函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間(a，b)上的正值函數(shù)，在點(diǎn)a的任一右鄰域上無界，且在任何區(qū)間［μ，b] ?(a，b)上可積。

(i)如果存在 δ∈(0，e－1)及常數(shù) λ∈(0，1)，使得對(duì)于任意的 x∈(a，a+δ)時(shí)有，則存在 δ'∈(0，e－1)及常數(shù) λ'＞ 1，使得對(duì)任意的 x∈(a，a+δ)有

(ii)如果存在 δ∈(0，e－1)，使得對(duì)任意的 x∈(a，a+δ)時(shí)有，則存在 δ'∈(0，e－1)，使得對(duì)任意的 x∈(a，a+δ')，有

即得(ii)的證明。

證畢。

推論4設(shè)f(x)是定義在(a，b] 上的正值函數(shù)，在點(diǎn)a的任一右鄰域(a，a+δ)上無界，且在任何區(qū)間［μ，b] ?(a，b)上可積，若則

考察定理3的證明過程知，本推論成立，證畢。

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