非模型化相機標定方法及測角誤差研究*

李華晉，鄒 劍，王 偉，林嘉睿，邾繼貴，葉聲華

(天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

在產品存在復雜曲面的工程與工業生產行業，如汽車、飛機、船舶等，基于圖像的視覺測量技術以其非接觸式、操作簡單、適應性強、工作環境要求低等特點，越來越多地被應用于裝配和質量控制中。［1－3］相機標定是視覺測量的關鍵技術和步驟，目前已產生了很多種標定方法，如傳統標定方法、自標定方法、主動視覺標定方法等。［4］這些方法均建立了畸變模型或補償畸變的成像模型，解算相機主距(f)、主點(Cx，Cy)等模型參數，例如傳統方法的經典代 表:DLT 方 法［5、6］、Tsai 方 法［7、8］、Weng 迭 代法［9］等。此類方法中，由于模型各參數間的相關性、非線性求解的不確定性、非模型化參數等因素的影響使模型補償存在局限性，難以進一步提高精度以滿足工業現場越來越高的要求。

非模型化相機標定拋棄了模型求解方式，對相機成像進行光學模擬標定，逐像元精密標定CCD全像面，建立視場角度－像面坐標映射表，實現高精度的畸變細化修正。此方法具有可補償非模型化參數，無模型求解的不確定性問題等優點;但一維靶標的加工精度、圖像處理精度、分度機構的精度等關鍵誤差項會影響標定精度，故研究其誤差分布特性，對此標定技術的發展具有重要意義。

1 標定原理

非模型化相機標定是獲得分度映射表的過程，每對一個方向標定可以得到一個分度映射表，一般選擇水平、豎直兩個正交方向對相機進行兩次標定，由于標定過程相同，本文僅研究水平方向。

根據垂線法，空間直線在一個視場方位成像為像面上的一條曲線。在某一方向上，直線以固定視場角間隔連續旋轉，則在像面上的對應為一系列曲線，并將像面細分成連續的角度分度區域。使用多齒分度臺帶動相機轉動，以相對運動的方式實現一維靶標在不同視場角下拍攝。如圖1所示，多齒分度臺帶動相機，以固定分度角間隔精密旋轉，每個視場拍攝一次靶標，處理圖像提取靶標像點，即分度點坐標，與視場角一起存入分度映射表，經過對全像面的拍攝提取，從而實現對整個像面的標定。

圖1 相機標定裝置原理圖

像面的細分過程如圖2所示，分度點隨視場角沿u方向增加，逐漸覆蓋整個像面。每列分度點對應一個標定角度，像面被劃分成多個分度塊(分度塊:在u、v方向上均相鄰的4個分度點圍成的像面區域)，分度角度間隔和一維靶標點間隔分別決定了分度塊u、v方向邊長。在理想針孔成像模型下，u坐標值與視場角度值一一對應，像點u坐標直接代表視場角度。實際上，成像畸變及其他因素的影響，使在同一視場方位成像的一列分度點以曲線，甚至鋸齒線形排列，因此需要同時使用u、v坐標，按與像點臨近的多個分度點插值解算角度值。

圖2 像面細分過程

被測像點處于某個分度塊之中，當分度角度間隔足夠小時，便可使用線性插值算法，其僅會引入極微小的分度插值誤差(0.000 1 pixel量級)。一般情況下，分度塊是不規則的四邊形，如圖3所示，被測A點在1，2，3，4為頂點的分度塊內，按照線性加權插值法，以u坐標為主要權重、v坐標為輔助權重插值，則A點的空間角度θA(uA，vA)見式(1):

式中:UA1為被測點A與分度點1間的u坐標間距，其他類同;VA1為被測點A與分度點1間的v坐標間距，其他類同;θ1為分度點1處的角度值;θE為分度角度間隔。

圖3 角度插值算法

2 測角誤差分析

分析標定過程，影響標定精度的關鍵因素有:一維靶標自身精度、分度機構性能、圖像處理精度。他們共同作用于分度點坐標、分度間隔、被測點坐標，影響測角精度。各參數項如表1，其中分度點和被測像點坐標均是使用質心法［10－13］進行圖像處理獲得的，但前者作用于標定過程，而后者作用于測量過程。前者經過一次提取，存入分度映射表，在測量時每次讀取固定不變，屬于系統誤差;后者直接影響測量結果，每次測量引入的誤差值不同，屬隨機誤差。

表1 影響測角結果的誤差項

2.1 系統誤差

設一維靶標上有N個靶點，空間標定角度值與像面上的分度列/線一一對應，分度列包含N個分度點，故標定角度值與分度點存在一對多的關系。一維靶標的理想情況是:N→∞，且靶標點沿嚴格的直線排列，那么此時的分度線一般是連續且光滑的曲線(因受成像畸變影響)，定義為理想分度線。實際系統中，由于靶點直線度、圖像處理精度等影響，分度線與理想分度線間存在偏差，影響著分度線左右以N個分度點為頂點的2N個分度塊，在分度塊內插值提取角度時引入測角誤差。

如圖4，分度角 θ1、θ2、θ3對應的分度點列的一種局部分布情況，O、P、Q、R是 θ2的鋸齒形分度線的分度點拐點，虛線段l是理想分度線的一部分，陰影部分是實際分度線與理想分度線的偏差，PQ段兩者重合。當被測點沿理想分度線軌跡l移動，則引入的誤差項沿V方向分布曲線與分度線形狀吻合，若被測點的v坐標保持不變，則引入的θd為定值。θd見式(2)。

圖4 平滑度誤差項的影響過程示意圖

式中:x為分度線與理想分度線的偏差;f為相機的有效焦距。

為分析平滑度對測角誤差的綜合影響特性，以誤差項極值θD作為引入誤差項的評價標準，將平滑度a代入式(2)，則θD:

系統的測角范圍為±10°，若分度角間隔固定，則像面分度間隔f(tanθ3－tanθ2)變化不大，設為 2 pixel，θE為40″時，a－θD關系曲線如圖 5。可見降低分度線平滑度可以線性降低引入的誤差項極值，當直線度保持在0.2 pixel時，系統誤差可降低到4″以下。由表1知，分度線平滑度的降低，可以通過提高靶點空間直線度、采用更精密的坐標提取方法實現。

圖5 a－θD關系曲線

2.2 隨機誤差

測角的隨機誤差項有像點坐標提取誤差和分度角間隔。像點坐標的提取是實現測量的基礎及關鍵步驟，系統選用紅外LED作為特征點，使用質心法提取像點中心坐標，提取誤差服從正態分布，σuA=0.05 pixel、σvA=0.05 pixel，σθE=0.6″。

式(1)中參與計算的5個像點坐標中，只有被測像點坐標(uA，vA)引入的是隨機誤差項。按式(4)合成隨機誤差標準差，當 θE=40″時 σθ=1.60″［14－15］。

3 實驗

為驗證標定方法的可行性和關鍵誤差研究的正確性，設計實驗:按照標定裝置布置實現，但僅打開一個紅外LED代替整個一維靶標作為被測點，如圖6，驗證測角結果。實驗設備有:FL2G－50S5M－C工業相機配合Schneider 23 mm鏡頭;一維靶標是29個紅外LED靶點構成，標定距離3 m，以40″為分度間隔。在水平角－10°～10°內標定，u方向分布1 876個分度列，每一列有29個分度點。見圖7，分度列間的分度角度間隔相同，但像素間距不同;分度列內各分度點像素間距不同。

圖6 實驗現場圖

在－10°～10°范圍內，以 0.5°間隔測角 3 個測回，獲得240個共40個角度處的測量數據，使用往、返測回的平均值作為測角數據，每個測回的測角結果偏差體現了測角隨機誤差。

圖7 像面分度點分布

但實驗存在調整誤差，如圖8所示由于光心與轉軸存在重合度偏差，即標定坐標系與驗證坐標系不重合，偏心距R導致驗證誤差(θ'－θ0)隨θ0呈三角函數分布，可通過將誤差數據進行三角函數擬合去除。

圖8 校準偏心模型

剔除校準誤差后的水平角測角誤差分布如圖9。整體誤差分布趨勢如圖10，出現的拐點對應圖(4)中分度線的拐點，說明驗證機構在與水平面成一定角度的平面內旋轉，被測像點穿越了分度線的不同區間段，引入了平滑度系統誤差項。將實驗參數代入式(3)有:

圖9 測角誤差分布

圖10是測角誤差項中的θd分布，在±6″以內。測回間的數據偏差體現了隨機誤差項，如圖11所示，隨機誤差分布在±4″以內，測角誤差標準差為1.68″與2.2 節的理論值 σθ=1.60″基本吻合，測角不確定度為5.04″(99.73%的置信概率)。

圖10 θd的分布

圖11 隨機誤差分布

4 結論

本文首先介紹了非模型化相機標定方法的原理、標定過程、測角模型。其次，分析了關鍵系統誤差－分度線平滑度的作用過程和分布特性;對隨機誤差項進行合成。最后，設計實驗驗證了測角結果及誤差分析的正確性，得到了系統目前條件下，系統誤差－平滑度誤差項的分布特性(20″/pixel)及測角不確定度5.04″(99.73%的置信概率)。標定方法的誤差分析，對標定參數的選取有重要的指導意義，系統誤差在目前配置下是在±6″內分段線性分布，由于直接受一維靶標的靶點直線度影響，故可通過提高一維靶標的制造精度進一步提高標定精度，有很好的應用前景。

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