基于LMI的磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)H∞魯棒控制器的設(shè)計(jì)*

藍(lán)益鵬 楊 波

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng) 110870)

以高速度和高精度為基本特征的高速加工技術(shù)及其他技術(shù)的發(fā)展，促進(jìn)了伺服電動(dòng)機(jī)和伺服驅(qū)動(dòng)器的發(fā)展［1］。磁懸浮永磁直線同步電動(dòng)機(jī)兼有永磁電動(dòng)機(jī)和直線電動(dòng)機(jī)的雙重優(yōu)點(diǎn)，并具有非接觸、無(wú)摩擦、無(wú)磨損、環(huán)保等特點(diǎn)。總體性能上具有較大優(yōu)勢(shì)，在數(shù)控機(jī)床中具有廣闊的應(yīng)用前景。但是不同于直流旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)可以分別控制勵(lì)磁控制回路和轉(zhuǎn)矩控制回路，由于勵(lì)磁電流分量和推力電流分量的相互影響、相互作用，磁懸浮永磁直線同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)成為一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)［2－3］。

針對(duì)控制對(duì)象的不確定性，H∞控制作為較為成熟的方法，對(duì)抑制擾動(dòng)具有良好的效果。但加權(quán)函數(shù)的選取因?yàn)闊o(wú)規(guī)律可循而使H∞控制理論的應(yīng)用受到了限制。隨著求解凸優(yōu)化問(wèn)題的內(nèi)點(diǎn)法的提出，LMI受到越來(lái)越多的關(guān)注，許多控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)LMI系統(tǒng)的可行性問(wèn)題，或者是具有LMI約束的凸優(yōu)化問(wèn)題［4－6］。本文采用 LMI方法設(shè)計(jì) H∞魯棒控制器，以保證磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)在不確定性擾動(dòng)時(shí)具有良好的魯棒性。

1 磁懸浮永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)的動(dòng)子上有兩套電氣上相互獨(dú)立的繞組，一套繞組是用于產(chǎn)生電磁推力的推力繞組，另一套繞組是用于調(diào)節(jié)磁懸浮力的懸浮繞組，專(zhuān)門(mén)用于對(duì)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，從而改變磁拉力的大小，使永磁直線電動(dòng)機(jī)靠自身產(chǎn)生的磁懸浮力來(lái)運(yùn)行。使數(shù)控機(jī)床進(jìn)給平臺(tái)在直接驅(qū)動(dòng)的同時(shí)能夠從根本上消除摩擦實(shí)現(xiàn)無(wú)摩擦進(jìn)給［7］。

推力繞組中通入三相對(duì)稱(chēng)的正弦交流電流，采用id=0的控制策略，使推力繞組產(chǎn)生最大推力。在懸浮繞組中通入三相對(duì)稱(chēng)的正弦交流電流，采用iq=0的控制策略，以使懸浮繞組產(chǎn)生可控懸浮力。

假定d、q軸電感Ld=Lq=L。此時(shí)動(dòng)子的電磁推力表達(dá)式為

磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)的動(dòng)子處于懸浮狀態(tài)，與導(dǎo)軌之間無(wú)摩擦，其機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為［8］:

式中:Fl負(fù)載阻力;M為動(dòng)子質(zhì)量;Fd為端部效應(yīng)力;Kf為電磁推力系數(shù);v為動(dòng)子線速度。由分析和實(shí)驗(yàn)得到端部效應(yīng)力簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型為

式中:Fdm為端部效應(yīng)力波動(dòng)的幅值;τ為極距;x為動(dòng)子的直線位移;θ0為與直線電動(dòng)機(jī)定子電磁結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。

在此情況下，磁懸浮永磁直線同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型可描述為

其中:uq、iq分別為q軸動(dòng)子電壓和電流;ψf為永磁體基波勵(lì)磁磁鏈;Rs為動(dòng)子電阻;np為極對(duì)數(shù)。

2 H∞魯棒控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制問(wèn)題的描述

基于H∞控制理論設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，不論是魯棒穩(wěn)定還是干擾抑制問(wèn)題，都可以歸結(jié)為求解反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并且從擾動(dòng)輸入w到被調(diào)輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣的H∞范數(shù)最小或者小于某一給定值(次優(yōu)化問(wèn)題)［9］。

考慮廣義被控對(duì)象的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為:

其中:x∈Rn是狀態(tài)向量;u∈Rm是控制輸入;y∈Rp是測(cè)量輸出;z∈Rr是被調(diào)輸出;x∈Rn使外部擾動(dòng);A、B1、B2分別為系統(tǒng)矩陣、輸入矩陣和干擾矩陣;C1為狀態(tài)加權(quán)矩陣;D12為輸入加權(quán)矩陣。要求設(shè)計(jì)反饋控制器使得相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng):

其中:K為狀態(tài)反饋矩陣。

是漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)傳遞函數(shù)Twz(s)滿足:

2.2 基于LMI的磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)H∞魯棒控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)H∞性能指標(biāo)與線性矩陣不等式的等價(jià)性，將設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)LMI的求解，進(jìn)而得到磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。

基于線性矩陣不等式的H∞狀態(tài)反饋控制問(wèn)題的解法通過(guò)以下定理求得:

定理1［10］:對(duì)于公式(5)所描述的系統(tǒng)，存在一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣X和矩陣W，使得以下矩陣不等式成立:

相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制律，若存在可行解X*、W*，則u=Kx=W*(X*)－1x是式(5)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞控制器。

對(duì)于給定標(biāo)量γ＞0，求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋γ次優(yōu)H∞控制器，使得‖Twz(s)‖∞＜γ，相應(yīng)的矩陣不等式為

根據(jù)磁懸浮永磁直線同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式(4)及式(5)設(shè)計(jì)H∞魯棒控制器，其中狀態(tài)方程各參數(shù)為

其中:qi≥0，i=1，2，3;ρ＞0，為加權(quán)系數(shù)。

3 仿真研究

在MATLAB的Simulink環(huán)境下，搭建了采用id=0的矢量控制的系統(tǒng)狀態(tài)反饋仿真模型。如圖1所示。系統(tǒng)的額定參數(shù)如下:

M=50 kg，Rs=1.687 8 Ω，L=25.92 mH，τ=33 mm，np=3，ψf=0.175 4 Wb。

給定γ=0.8。選取相應(yīng)參數(shù)陣C1、D12為

用MATLAB的LMI工具箱求得:

其中狀態(tài)反饋陣求得為

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，在沒(méi)有擾動(dòng)信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)為階躍信號(hào)情況下分別對(duì)狀態(tài)變量:電流iq、速度v和位移S進(jìn)行跟蹤，得到研究結(jié)果如圖2～4所示。

在有擾動(dòng)信號(hào)的情況下，在t=0.4 s時(shí)加載幅值為F=40 N的負(fù)載擾動(dòng)，在t=0.6 s卸去擾動(dòng)。此時(shí)負(fù)載擾動(dòng)函數(shù)可定義為

從圖中可知系統(tǒng)對(duì)不同的擾動(dòng)信號(hào)具有良好的抑制特性。

4 結(jié)語(yǔ)

(1)針對(duì)磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中非線性和變量間存在耦合的特點(diǎn)，采用矢量控制中的id=0的方法實(shí)現(xiàn)了模型的動(dòng)態(tài)解耦，解耦成獨(dú)立的線性電流子系統(tǒng)和速度子系統(tǒng)。

(2)根據(jù)H∞性能指標(biāo)與線性矩陣不等式的等價(jià)性，將設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)LMI的求解，進(jìn)而得到磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H∞魯棒控制器。

(3)建立了磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的仿真模型，對(duì)不同性質(zhì)的擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明基于LMI設(shè)計(jì)的磁懸浮永磁直線電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)具有良好的跟蹤性能和對(duì)干擾的抑制性能。

［1］黃偉忠，宋春華.永磁交流伺服電機(jī)國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)概況［J］.微特電機(jī)，2009，37(1):59 －62.

［2］葉云岳.直線電機(jī)原理與應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

［3］田錄林，張靠社，王德意，等.永磁導(dǎo)軌懸浮和導(dǎo)向磁力研究［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(21):135 －139.

［4］徐月同，傅建中，陳子辰.永磁直線同步電機(jī)進(jìn)給系統(tǒng)H∞控制策略的研究［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2005，39(6):789 －794.

［5］石頡，王成山.基于線性矩陣不等式理論的廣域電力系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2008，32(6):36 －41.

［6］安海云，賈宏杰，余曉丹.基于LMI理論的時(shí)滯電力系統(tǒng)無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)［J］.電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2010，34(19):6 －10.

［7］唐任遠(yuǎn).現(xiàn)代永磁電機(jī)理論與設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［8］楊俊友，門(mén)博，馬航，等.基于迭代學(xué)習(xí)的永磁直線同步電動(dòng)機(jī)擾動(dòng)抑制.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào).2010，32(1):6 －10.

［9］申鐵龍.H∞控制理論及應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，1996.

［10］俞立.魯棒控制——線性矩陣不等式處理方法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002.