滾珠絲杠副靜力學特性分析*

翁健光 袁軍堂 汪振華 夏亮亮

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094）

滾珠絲杠的軸向接觸變形和剛度對數控機床的定位精度有較大影響。隨著加工精度的要求越來越高，對滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的進一步研究有著深刻的意義。國內外對滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度做了較多研究，Jen Fin Lin［1］采用赫茲接觸理論和滾動軸承中分析接觸角變化的方法對滾珠絲杠副的靜力學特性進行了研究;趙訓貴，平舜娣［2］對滾珠絲杠副產生接觸變形時的實際接觸角進行了分析。以上學者多是借鑒對滾動軸承的研究方法，但是由于滾珠絲杠副的結構特征，比如螺旋角、回珠裝置等，使滾珠的運動和變形比滾動軸承更為復雜，目前關于滾珠絲杠的研究方法還沒有形成系統理論。本文應用經典赫茲接觸理論建立滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的數學模型，并采用遍歷法求解量綱為1的接觸位移，提高滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度的求解精度。

1 滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度數學模型

1．1 赫茲接觸理論

根據赫茲接觸理論，并在其假設的條件下，兩彈性體的彈性趨近量是:

式中:δn為法向位移;Q為法向載荷;E1、E2為兩個接觸體的彈性模量;μ1、μ2為兩個接觸體的泊松比;Σρ=ρ11+ ρ12+ρ21+ρ22為接觸點處的主曲率之和;δ*為量綱為1的接觸位移;k為接觸橢圓的短軸與長軸之比;K（e）為第一類橢圓積分;L（e）為第二類橢圓積分。

1．2 單螺母滾珠絲杠的接觸變形與剛度

滾珠與絲杠接觸點處的4個主曲率分別是［3］:

滾珠接觸點處的主曲率:

絲杠接觸點處的主曲率:

滾珠與螺母接觸點處的4個主曲率中，滾珠接觸點處的主曲率與式（5）相同，螺母接觸點處的主曲率為:

式中:db為滾珠直徑;dm為滾珠絲杠公稱直徑;λ為螺旋升角;β為接觸角。

忽略工作載荷分布不均勻的影響，假設每個滾珠所受的載荷是相同的，則軸向工作載荷F與單個滾珠所承受的法向載荷P的關系為:

由圖1可知法向位移δn:

δn引起螺母的軸向位移的值是［4］:

根據式（1）、（9）、（10）:

令

則單螺母滾珠絲杠接觸變形:

滾珠絲杠副的軸向接觸剛度可由F對接觸變形的求導得到，即:

結合式（8）、（13）、（14）可得單螺母接觸剛度:

1．3 雙螺母滾珠絲杠的接觸變形與剛度

對于有預緊力的滾珠絲杠，在載荷作用下的變形及其受力分析示意圖如圖2和圖3所示。

在軸向載荷F的作用下，不考慮螺母和墊片自身的彈性變形，假設工作載荷均勻分布，工作螺母A會產生軸向接觸壓縮變形量，預緊螺母B會產生相應的回復變形量。依據變形協調原理，壓縮變形量與彈性恢復變形量相等，則:

根據滾珠絲杠副的靜力平衡和變形協調關系可得:

式中:F為軸向工作載荷;F預為預緊力;FP為滾珠的預緊法向載荷;PA為A側滾珠的法向載荷;PB為B側滾珠的法向載荷。

求解方程組（17），得PA和FP的值，將其反代入方程組（17）中，則雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形為:

表1 滾珠絲杠副的幾何和物理參數

根據剛度的定義式（14）和式（18）得雙螺母的接觸剛度:

1．4 δ*的計算

δ*是量綱為1的接觸位移［5］，作為滾珠絲杠軸向接觸變形和剛度計算中的一個重要參數，其數值解影響軸向接觸變形和剛度的精度。對于δ*的求解，多數學者是通過數值迭代和積分法或者查表的方法得到，數值迭代和積分方法公式復雜且計算量很大，對專業知識要求較高，查表時涉及到取值和插值問題，精度較低。

本文提出一種新的δ*計算方法，采用遍歷法求解δ*，該解法計算量小，計算精度和效率高。利用MATLAB的數值計算和處理能力，編寫相應的通用計算程序，能夠快速準確地得到δ*的數值解。

為了描述兩個對應的回轉面在無載荷作用情況下發生的接觸狀態，定義曲率差:

也可表示為［5］:

δ*的數值解法的思想是:k以間隔0.000 1從0增加到1，根據式（3）、（4），對于每一個k，求出K（e）和L（e），將其代入式（21）計算出F（ρ），然后與給定的F（ρ）做比較，差值最小時的k即為所求，將所求的k、K（e）和L（e）帶入式（2），求出δ*。這種方法計算量小，精度高。

2 計算結果分析

以FF4005的滾珠絲杠副為研究對象，用本文建立的滾珠絲杠副軸向接觸變形和剛度數學模型，應用于該滾珠絲杠靜力學特性分析。表1是滾珠絲杠副的幾何和物理參數。

2．1 載荷與滾珠絲杠副靜力學特性的關系

2．1．1 載荷與軸向接觸變形的關系

根據建立的單、雙螺母滾珠絲杠副軸向接觸變形數學模型，可得到不同工作載荷下單、雙螺母的軸向接觸變形的變化曲線，如圖4所示。

由圖4可以看出，單、雙螺母的軸向接觸變形都隨著載荷的增大而增大，但是雙螺母的軸向接觸變形小，且變化幅度較小。

2．1．2 載荷與軸向接觸剛度的關系

根據式（16）和（20）得出單、雙螺母與的軸向接觸剛度K與載荷的關系如圖5所示。

分析圖5可知:Ks隨載荷的增大而提高，且變化幅度較大，呈現不穩定性，進而影響機床進給系統的定位精度。Kd隨載荷的增大而降低，明顯大于Ks。Ks在載荷較小時變化較大，隨著載荷的增加其逐漸趨于穩定，Kd在載荷較小時比較穩定，當載荷較大時其變化比較明顯。

2．2 螺旋升角與滾珠絲杠副軸向靜力學特性的關系

2．2．1 螺旋升角與軸向接觸變形的關系

目前，大導程的滾珠絲杠副的螺旋角在9°～17°，所以設螺旋角在0°～25°的范圍內變化。圖6是載荷是4 000 N，預緊力2 500 N，接觸角為45°時，根據式（14）和（19）得出螺旋升角與軸向接觸變形的關系。

由圖6可以看出，軸向接觸變形隨著螺旋角的增大而減小，螺旋升角在0°～25°時，軸向接觸變形變化較小，變化率在3.5%左右。

2．2．2 螺旋升角與軸向接觸剛度的關系

圖7是載荷是4 000 N，預緊力2 500 N，接觸角為45°時，根據式（16）和（20）得出螺旋升角與軸向接觸剛度的關系圖。

由圖7可知，軸向接觸剛度隨著螺旋升角的增大而提高，變化幅度較小。

綜合圖6和7，螺旋升角對滾珠絲杠副的靜力學特性影響較小，隨著螺旋升角的增大，單、雙螺母滾珠絲杠的軸向接觸變形減小，軸向接觸剛度提高。因此，適當增大螺旋升角，既可以提高進給速度，又有利于提高滾珠絲杠副的靜力學性能。

3 結語

本文應用赫茲理論，考慮螺旋角的影響，建立了單、雙螺母滾珠絲杠副的軸向接觸變形和剛度的數學模型，分析工作載荷對單、雙螺母的接觸變形和剛度的影響規律得出如下結論:

（1）雙螺母預緊滾珠絲杠副的軸向接觸變形量明顯小于單螺母滾珠絲杠的軸向接觸變形量，減小60%左右。

（2）雙螺母預緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度明顯高于單螺母滾珠絲杠的軸向接觸剛度，提高80%。

（3）適當增大滾珠絲杠副的螺旋升角，有利于提高進給系統的定位精度。

（4）雙螺母預緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度變化幅度在15%左右，而單螺母滾珠絲杠的軸向接觸剛度變化幅度在50%左右，說明雙螺母預緊滾珠絲杠副的軸向接觸剛度更穩定，有利于提高機床進給系統的定位精度。

［1］Chin Chung Wei，Jen Fin Lin．Kinematic analysis of the ball screw mechanism considering variable contact deformations［J］．Journal of Mechanical Design，2003（125）:717－733．

［2］趙訓貴，平舜娣．滾珠絲杠副產生彈性接觸變形時實際接觸角的計算［J］．機床，1989（10）:22－26．

［3］蔣書運，祝書龍．帶滾珠絲杠副的直線導軌結合部動態剛度特性［J］．機械工程學報，2008，19（9）:1079－1083．

［4］許向榮，宋現春，姜洪奎，等．單螺母滾珠絲杠副軸向剛度的分析研究［J］．武漢理工大學學報，2009，31（24）:54－57．

［5］Harris T A，Kotzalas M N．Essential concepts of bearing technoiogy［M］．北京:機械工業出版社，2009．