直流伺服系統模型及其辨識

劉 瓊

（太原理工大學 陽泉學院，山西陽泉045000）

1 直流伺服系統概述

1.1 直流伺服系統介紹

伺服系統又稱為隨動系統，是構成自動化體系的基本環節，是由若干元件和部件組成的具有功率放大作用的一種自動控制系統。伺服系統按組成系統元件的物理性質分為電氣伺服系統、電氣液壓伺服系統和電氣氣動伺服系統。電氣伺服系統又分為直流伺服系統和交流伺服系統，20世紀70年代直流伺服應用廣泛，直流電動機調速范圍寬，啟動停止方便，轉矩大，系統消耗能量小，且廣泛應用于對控制性能要求比較高的伺服系統中［1］。

直流伺服系統包括位置環、速度環和電流環，結構圖如圖1所示。

圖1 直流伺服系統結構圖

直流伺服系統適用的功率范圍很寬，包括從幾十瓦到幾十千瓦的控制對象。通常從提高系統效率的角度考慮，直流伺服系統多應用于功率在100W以上的控制對象。直流電動機的輸出力矩與加于電樞的電流和由激磁電流產生的磁通有關。當磁通固定時，電樞電流越大，則電動機力矩越大。當電樞電流固定時，增大磁通量能使力矩增加；因此，通過改變激磁電流或電樞電流，可對直流電動機的力矩進行控制。對電樞電流進行控制時稱電樞控制，這時控制電壓加在電樞上。若對激磁電流進行控制，則將控制電壓加在激磁繞組上，稱為激磁控制［2］。

電樞控制時，反映直流電動機的力矩T與轉速N之間關系的機械特性基本上呈線性特性如圖2所示。

圖2 直流電機的機械特性

圖2中，Vc1，Vc2為加在電樞上的控制電壓，負斜率D為阻尼系數。電樞電感一般較小，故電樞控制可以獲得很好的響應特性。缺點是負載功率要由電樞的控制電源提供，因而需要較大的控制功率，增加了功率放大部件的復雜性。如對要求控制功率較大的系統，必須采用發電機——電動機組、電機放大機和可控硅等大功率放大部件。

激磁控制時要求電樞上加恒流電源，使電動機的力矩只受激磁電流控制。恒流特性可通過在電樞回路中接入一個大電阻（10倍于電樞電阻）來得到。對于大功率控制對象，串聯電阻的功耗會變得很大，很不經濟；因此，激磁控制只限于在低功率場合使用。電樞電源采用恒流電源后，機械特性上的斜率等于零，引起電動機的機電時間常數增加，加之激磁繞阻中的電感量較大，這些都使激磁控制的動態特性較差，響應較慢。

1.2 直流電動機模型介紹

直流電動機是很常見的一種驅動設備，其原理如圖3所示，廣泛應用在各種工業控制應用中，如機器人、數控機床、自動生產線、電動車輛、無人駕駛飛行器等。在研究網絡控制系統時，選擇直流電動機作為被控對象很具有典型性。由于直流電動機的響應速度很快，時間常數較小，對控制回路中的時延比較敏感，故可以很好地展示網絡時延對控制性能的影響［3］。

圖3 直流電動機原理圖

直流電動機的電氣方程和機械方程分別為

式（1）中，下標a表示電樞；Ra表示電樞繞組電阻；ia為電流；Ua為電樞外加電壓值；Ce為電機電勢系數，且該常數與電機結構有關；La為電樞電感，且該電感值很小；t表示時間；Ω（t）則表示轉速隨時間的變化函數。也就是說輸入電流的變化會引起轉速的變化或者理解為負載與所需輸入功率之間的依變關系。式（2）中，下標L表示負載（Load）端參數；T＝Cτia為電機電樞的輸入扭矩；Cτ為電機的轉矩常數；J為折算到電機軸上的總轉動慣量，ω為角速度。該式表述的是電機在負載變化時的力學平衡關系，輸入量與輸出量之差等于變化率。

將式（1）進行拉普拉斯變換，并進行計算，整理得直流電動機轉速相對于輸入電壓的傳遞函數模型為

式中，s為拉普拉斯變換的復變量；機械時間常數Tm＝JRa／CeCτ，一般定義為從啟動到達到空載轉速的63.2%所需要的時間；電氣時間常數Ta＝La／Ra。一般情況下，電機的傳遞函數可看作兩個慣性環節的串聯，這兩個慣性環節的時間常數就分別是機械時間常數Tm和電氣時間常數Ta，且Ta一般很小，對應的慣性環節也可忽略不計。

獲取過程傳遞函數模型最常用、最方便的方法是直接辨識法。利用直接辨識算法對傳遞函數參數進行估計，可得到比較精確的結果［4］。

二階無滯后傳遞函數模型為

式中，T1，T2分別對應式（3）中的Tm和Ta；K＝1／Ce，分析比較式（3）、（4）可知，二階無滯后傳遞函數模型與直流電動機傳遞函數模型形成對應關系，由于Ta≤Tm，故近似認為Tm＋Ta≈Tm；因此，可通過對二階無滯后傳遞函數模型進行直接辨識來辨識直流電機的傳遞函數模型。

2 系統辨識

2.1 系統辨識原理

系統辨識是指當用戶無法從物理上得出所研究系統的數學模型，但可以通過適當的實驗手段測試出系統的某種響應信息時，就可以根據它來獲得系統的數學模型。系統辨識一般有兩種策略：① 根據頻率響應的數據辨識系統模型，該想法源于Levy復數曲線擬合法，引入擬合性能指標J。令J的各導數為0，即可獲得J最小值。階躍響應和脈沖響應均可以通過數值微分和數值積分轉化為頻率響應數據。② 已知輸入輸出數據辨識系統模型，此想法基于最小二乘思想進行求解。

系統辨識包括系統的輸入輸出數據、模型類和等價準則3大要素。模型類主要指規定的連續時間或離散時間模型、輸入輸出模型或狀態空間模型、確定性模型或隨機模型、線性模型或非線性模型。規定了模型類后，再由輸入輸出數據按結構辨識的方法確定系統的結構參數，并用參數辨識的方法辨識系統的參數。等價準則用于衡量模型接近實際過程的程度，并且通常表示為誤差的泛函。

2.2 基于階躍響應數據的辨識

對于穩定系統，通常在系統階躍響應曲線上定義系統動態性能指標。因為，系統的單位階躍響應不僅完整反映了系統的動態特性，而且反映了系統在單位階躍信號輸入下的穩定狀態；同時，單位階躍信號又是一個最簡單、最容易實現的信號。推導基于階躍響應的連續時間模型直接辨識方法比較簡單［5］。對于MATLAB而言，有一個辨識工具箱，但主要是通過擬合確定模型參數，本設計需要利用階躍響應數據直接辨識出被控對象，故通過編寫M文件來實現系統辨識。

考慮一個二階無滯后的被控對象

對于階躍輸入幅度為α時，階躍響應

其中，β為振副幅擾動前后的系統響應時間比值，即敏感度。加入白噪聲ω（t），則階躍響應變為

式中，A（τ），B（τ）為過程積分；τ為時間。

于是得

對過阻尼（ε＞1）、欠阻尼（ε＜1）和臨界阻尼情況（ε＝1），式（12）均成立。

由式（12）可對模型參數進行最小二乘運算，對采樣點τ＝Ts，2Ts，3Ts，…，nTs。其中，Ts為采樣間隔；n為采樣的點數。可構成線性方程組：

由此可得參數Θ的最小二乘估計為

Θ為待識別參數矩陣。

3 數值仿真

由于直流伺服系統要實現位置閉環、速度閉環和電流閉環，則直流伺服系統為三階系統，即可理解為電動機二階系統再加上一個積分器1／s。

此電動機為二階系統，G（s）motor＝則需要根據辨識原理辨識出K，T1和T2參數。

實際測量的階躍響應數據如表1。

由式（15）可以算出參數Θ，再由Θ＝ ［T1T2T1＋T2K］可以計算出K，T1和T2參數大小。T1，T2和K參數計算公式如下：

表1 階躍響應數據

其中，Θ（1）、Θ（2）、Θ（3）表示不同阻尼時，不同的參數矩陣。

通過 MATLAB 編 程，得K＝1.116，T1＝0.058 7，T2＝0.004 2。

由于直流伺服系統還有位置閉環，相當于電動機傳遞函數乘以1／s，故直流伺服系統傳遞函數為

對式（17）中所辨識的系統進行仿真，其階躍響應如圖4所示。

利用MATLAB數據擬合工具箱，對實際測量的階躍響應數據進行處理，結果如圖5所示。

比較圖4和圖5可知，階躍響應和階躍響應數據圖相符，說明辨識出的系統準確。

圖4 辨識系統的階躍響應圖

圖5 階躍響應數據圖

4 結 語

本文完成了對直流伺服系統的建模以及辨識，尤其是利用系統的階躍響應數據對直流伺服系統的模型進行了直接辨識，即由系統階躍響應采樣數據構造線性方程組，通過對方程組求解估計出系統參數。最后對辨識出的系統進行仿真，將仿真結果與原階躍響應數據比較表明：所采用的辨識方法取得了良好的辨識效果。

［1］陳 峰.可穿戴型助力機器人技術研究［D］.合肥：中國科學技術大學，2007：34－35.

［2］傅 磊，戴冠中.網絡控制系統研究綜述［J］.計算機工程與應用，2009，41（25）：221－225.

［3］鄧士普.網絡環境下直流電機的時延補償和控制 ［D］.杭州：浙江大學，2004：23－24.

［4］朱其新，胡壽松.網絡控制系統的能控性和能觀性［J］.控制與決策，2010，9（19）：157－161.

［5］唐 斌，章 云，劉國平，等.面向網絡誘導時延和數據包丟失補償的網絡化廣義預測控制［J］.控制理論與應用，2010，27（7）：45－46.