一種雙參數指權平均

符云錦

（鳳凰縣兩林學區，湖南鳳凰 416211）

一種雙參數指權平均

符云錦

（鳳凰縣兩林學區，湖南鳳凰 416211）

首先定義了雙參數指權平均，然后討論其單調性得到了一些結論，并利用這些結論導出一系列平均和不等式。

雙參數平均；單調性；不等式

1 定義

定義1.1 若ai，bi＞1（i＝1，2，…，n），帶參數s和t的雙參數指權平均定義為

本文探究Za，b（s，t）關于參數s和t的單調性，并發現它本身包含有許多著名的平均，同時利用其單調性導出了許多不等式。

2 引理

引理2.1 若ai，bi＞0（i＝1，2，…，n）,則

于是當x＞0時，f（x）是下凸函數,根據詹生不等式〔1-2〕，得

引理2.2〔3〕若ai＞0（i=1，2，…，n），則函數

為增函數。

證明:見文獻［3］。

3 主要結論

定理3.1 雙參數指權平均Za，b（s，t）關于參數s是遞增的。

證明:(為了簡便，Za，b（s，t）簡記為Z)

兩端取自然對數并對其求導，得

于是，當s≠0時，Za，b（s，t）關于參數s是遞增的。

又由洛必達法則（L’Hospital）［4-5］易知

故雙參數指權平均Za，b（s，t）關于參數s是遞增的。

定理3.2 若ai，bi＞0（i=1，2，…，n），則

（Ⅰ）當0＜ai＜1,0＜bi＜1或ai＞1，bi＞1或s=0時,Z關于參數t遞增；

（Ⅱ）當0＜ai＜1,bi＞1或ai＞1，0＜bi＜1且s≠0時,Z關于參數t遞減；

（Ⅲ）當bi=1時,Z關于參數t不變。

證明:當s=0時,由引理2.2可知，Z關于參數t遞增；

當bi≠1時,判定λ的符號如下：

由引理2.2知，若s≠0時,則當λ與s同號時，Z't≥0；當λ與s異號時，Z't≤0,即定理中(Ⅰ)、(Ⅱ)成立。

當bi=1時，雙參數指權平均變為冪平均，即：

與t無關，即(Ⅲ)成立。

綜上所述，定理3.2得證。

定理3.3 若ai＝bi（i=1，2，…，n）時，則Z關于參數s，t均遞增。

證明:由ai＝bi，則

為一種雙參數平均［3］，具體證明見文獻［3］。

定理3.4 若s1≤s2，則Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

證明:根據定理3.2可知Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

4 應用

4.1 應用雙參數指權平均導出許多著名平均

（1）當ai＝bi時，可以引出許多著名的平均，見文獻［3］。

（2）令t＝1，則可得到加權冪平均［6-13］，即H?lder’s平均：

特別的，當bi=1（i=1，2，…，n）時，Za,b（s，1）為冪平均［14］。

4.2 應用雙參數指權平均的性質導出新的不等式

（1）若ai，bi＞0時，由定理3.1可得

（2）若0＜ai＜1,0＜bi＜1,時，由定理3.2可得

（3）若ai＞1,0＜bi＜1,且s≠0時，由定理3.2可得

根據本文的結果，還可以導出許多不等式，這里不再贅述。

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〔14〕匡繼昌.常用不等式〔M〕.2版.長沙：湖南教育出版社，1993：49.

A Two-parameter Defining Weighted Average

FU Yunjin
（Lianglin School District of Fenghuang，Fenghuang,Hunan 416211,China）

This article refers to two-parameter defining the weighted average,and then discusses its monotonicity.Finally some conclusions are summarized,which are used to derive many averages and inequalities.

two-parameter mean；monotony；inequality

O178［文獻標志碼］A［文章編號］1672-2345（2012）04-0001-04

2011-04-21

2011-05-08

符云錦，主要從事初等數學、分析學及其應用、微分方程、教育理論及其應用研究.

（責任編輯 袁 霞）