通過測斜數據預判測斜管失效的分析方法研究

劉 欣，雷國輝，張坤勇，艾英缽，施建勇

（1. 河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室,南京 210098; 2. 河海大學 巖土工程科學研究所,南京 210098）

1 引 言

巖土測斜儀廣泛應用于道路、基坑、邊坡等填方和挖方工程現場土體或結構物的位移監測。傳統的巖土測斜儀系統主要由測斜探頭、帶導槽的測斜管、帶刻度的電纜以及數據采集和存儲裝置組成[1]。測斜探頭屬精密儀器，如常用的伺服加速度計式測斜探頭的分辨率可高達0.02 mm/500 mm。關于測斜儀系統的應用研究目前主要集中于測量誤差和精度的分析以及測量數據的處理方法[2－4]，然而，實際應用時，尤其是在邊坡滑移變形監測項目中[5－6]，經常會遭遇由于測斜管局部變形過大，導致測斜探頭難以下放，或者偶然下放后卻難以上提的棘手問題，不僅致使測斜管報廢，甚至直接致使測斜探頭報廢，影響后續監測工作，造成數據缺失和經濟損失。測斜管局部變形過大的時刻往往是影響監測對象的穩定性和安全性最為關鍵的時刻，因此，有必要通過分析測量數據預判測斜管失效的可能性，以便及時采取必要措施避免由此造成的損失。

2 測斜管失效判別原理

關于測斜管失效判別方法的文獻并不多見。李積勝[6]對測斜管的失效判據進行過分析，通過圖 1所示的測斜探頭與測斜管之間的幾何關系，推導出測斜管失效時極限曲率半徑Rmin與探頭和電纜剛性接頭的總長度l、測斜管內徑dc以及探頭直徑dp之間的表達式：

相應的極限曲率的表達式為

以及測斜管失效時對應的極限折角為

圖1 測斜管失效時探頭與管的幾何關系[6]Fig.1 Geometrical relationship between inclinometer probe and casing upon failure of the casing[6]

為分析測斜管變形過程中各測點的曲率半徑，他還提出如圖2所示的三型值點雙圓弧插值方法，針對測斜管局部任意3個連續測點p1、p和p2的測斜數據，采用兩段圓弧分別對相鄰兩個測點的測斜數據進行插值，并依據在中心測點位置兩圓弧切線相同的約束條件，建立了確定雙圓弧曲率半徑的計算方法，取雙圓弧曲率半徑的小值與式（1）的極限曲率半徑進行對比，評判測斜管失效的可能性，然而以下分析顯示，實際上圖2的三型值點雙圓弧插值方法并不適用于測斜管局部變形曲線的分析。

圖2 三型值點雙圓弧插值法示意圖[6]Fig.2 Sketch of biarc interpolation of three data points[6]

測斜儀系統直接測量得到的數據是各測點位置測斜管導槽平面（而非探頭軸線）[2]與重力鉛垂線的夾角δi。傳統上，測斜數據通常被處理為測點的位置比如深度zi和對應的位移xi值，深度zi一般是簡單地取為測距L（通常為500 mm）的整數倍，位移 xi值一般是從管底起算、取測斜管的相對位移值，即土體或結構物等監測對象變形后與變形前初值之間的差值，以反映監測對象的位移響應。事實上，測斜管在埋設時，并不能保證其是鉛直的，放入測斜管內的測斜探頭以及與其連接的電纜線的長度并不代表測點的真實深度。因此，采用曲率半徑、曲率或折角的方法評判測斜管失效的可能性時，測斜數據應采用測斜管內各測點的真實深度和絕對位移值，如圖3所示，從管底測點起算其計算公式應為

式中：N為測斜管從管底測點起算的總測點數，i =2，3，…，N。

圖2中在采用局部任意3個連續測點p1、p和p2的測斜數據進行雙圓弧插值時，認為相鄰兩測點p1p和 pp2的線段長度不等，而 p1p2的線段長度取為2倍的測距。但是，測斜儀系統的測試原理就已表明，相鄰兩測點的線段長度都代表了測距 L，二者應該是相等的，中心測點p本身就應該在與其相鄰的兩端測點p1和p2的中垂線上，自然滿足在中心測點位置兩圓弧切線相同的約束條件，且兩圓弧的曲率半徑也相等。因此，所謂的三型值點雙圓弧插值方法實際上應該是三型值點圓弧插值方法。

為分析測斜管變形曲線的曲率變化，并且考慮滿足變形曲線的光滑性以及失效時大撓度變形的保凸性要求，本文利用測斜數據處理公式（4），提出基于三型值點的圓弧插值法、四型值點的三次多項式插值法和雙圓弧插值法以及五型值點的單點約束擬合雙圓弧法，分別推求測斜管各測點對應的曲率，與極限曲率公式（2）進行對比，評判測斜管失效的可能性，同時也提出比較簡單的基于兩型值點的折角比較法，與極限折角公式（3）進行對比，評判測斜管失效的可能性。另外，將所提出的方法運用于某地鐵車站基坑工程現場施工監測過程中1根測斜管的失效實例，對比分析了各方法的適用性。

圖3 測斜數據分析實際深度和絕對水平位移示意圖Fig.3 Sketch of analyzing the true depths and absolute horizontal displacements using the inclinometer data

3 計算方法

3.1 曲率計算公式

運用測斜數據分析結構物的彎矩響應，比如分析地下連續墻或樁墻支護結構的彎矩響應或者分析水平荷載作用下樁基的彎矩響應時，通常是按照小撓度變形問題，采用下面的近似公式，計算監測對象變形響應曲線的曲率[7]：

對于由局部變形過大導致的測斜管失效問題，小撓度變形已不再適用，嚴格的曲率計算公式[7]為

3.2 三型值點圓弧插值法

三型值點圓弧插值法是能夠滿足測斜管局部變形曲線光滑性的一種最簡單方法。對于圖4所示任意 3個連續測點 pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)，由于相鄰兩個測點 pi-1pi和 pipi+1的線段長度都等于測距 L，對三角形 pi-1pipi+1運用余弦定理可得

式中：α、Ri的符號意義見圖4。

圖4 三型值點圓弧插值法示意圖Fig.4 Sketch of three data points arc interpolation

3.3 四型值點三次多項式插值法

針對局部測點的測斜數據，采用三次多項式插值法確定其對應的曲率半徑是最直觀的方法。設三次多項式為

式中：a、b、c、d分別為待定系數。因此，該多項式需要4個測點的測斜數據來確定。設局部任意4個連續測點及其測斜數據為 pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和pi+1(zi+1,xi+1)，代入式（11）則構成四元一次方程組：

利用數學軟件 MATLAB可以方便地求解出式（12）中的待定系數，代入式（11），并對z分別求一階和二階導數后代入式（6）可得測點 pi處的曲率為

3.4 四型值點雙圓弧插值法

雙圓弧插值法除了能夠使得所構成的圓弧段之間保持一階光滑外，還具有較好的保凸性[8]，與上述插值法相比，更適合于大撓度變形曲線的插值[9]。該方法采用兩段圓弧對測斜管變形曲線上局部4個連續測點的數據進行插值。如圖5所示，設局部任意4個連續測點及其測斜數據為pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)。第一段圓弧針對測點pi-2、pi-1和pi采用前述三型值點圓弧插值法確定，第二段圓弧針對測點pi和pi+1構造且滿足兩段圓弧在交點pi處切線相同的約束條件。根據幾何關系可以知道，第二段圓弧的圓心 Oi2必然在第一段圓弧的最近一條徑線Oi1pi或其延長線上。最終，取兩段圓弧的最大曲率作為雙圓弧交點 pi處的曲率。

圖5 四型值點雙圓弧插值法示意圖Fig.5 Sketch of biarc interpolation method of four data points

對于由測點pi-2、pi-1和pi構造的第一段圓弧，按照前述三型值點圓弧插值法即式（10）可以很容易地確定其曲率：

對于由測點pi和pi+1構造的第二段圓弧，可以采用平面解析幾何方法，先確定兩段圓弧的圓心坐標位置，再推求曲率半徑和曲率。

第一段圓弧的圓心Oi1是線段pi-2pi-1和pi-1pi的中垂線的交點。線段pi-2pi-1和pi-1pi的中垂線方程為

式中：k1、k2分別為線段pi-2pi-1和pi-1pi中垂線的斜率；(zm1,xm1)和(zm2,xm2)分別為線段pi-2pi-1和pi-1pi中點的坐標，其表達式為

求解式（15）的聯立方程組可得圓心 Oi1的坐標為

第二段圓弧的圓心Oi2是線段pipi+1的中垂線和過 Oi1和 pi直線的交點。線段 pipi+1的中垂線和過Oi1和pi的直線的方程為

式中：km、ki分別為線段 pipi+1的中垂線和過 Oi1pi直線的斜率；(zm,xm)為線段 pipi+1中點的坐標，其表達式為

求解式（18）的聯立方程組可得圓心 Oi2的坐標為

則第二段圓弧的曲率為

由式（14）和式（21）可得pi測點處的曲率：

3.5 五型值點單點約束擬合雙圓弧法

以上針對測斜管局部變形曲線所提出的插值法都要求各型值點即測點坐標滿足插值函數或位于插值曲線之上。而擬合法則以逼近型值點為目標，建立相應的函數或曲線，為此本文也進行了這方面的嘗試，在文獻[10]的基礎上，建立了基于五型值點的單點約束擬合雙圓弧法。

如圖6所示，設測斜管變形曲線上任意5個連續的測點及其測斜數據為pi-3(zi-3,xi-3)、pi-2(zi-2,xi-2)、pi-1(zi-1,xi-1)、pi(zi,xi)和 pi+1(zi+1,xi+1)，采用單點約束擬合法[10]首先利用pi-3、pi-2、pi-1和pi這4個測點的數據采用最小二乘法進行第一段圓弧擬合，且滿足第4個測點pi在擬合圓弧上的約束條件。第二段圓弧針對測點pi和pi+1構造且滿足兩段圓弧在交點pi處切線相同的約束條件。最終，取兩段圓弧的最大曲率作為雙圓弧交點pi處的曲率。

圖6 五型值點單點約束擬合雙圓弧法示意圖Fig.6 Sketch of biarc fitting of five data points with an end point constraint

對于第一段圓弧，以測點pi(zi,xi)為約束點，定義目標函數和約束條件，求解其圓心坐標 Oi1(zi1,xi1)及其半徑 Ri1。由最小二乘法確定的目標函數為：

測點pi在擬合圓弧上的約束條件為

采用求極值的方法，將式（24）代入式（23），并令其分別對zi1和xi1求偏導后為0，可得[10]

將pi-3、pi-2、pi-1和pi測點的數據代入式（25）可得第一段圓弧的圓心坐標(zi1,xi1)，再代入式（24）可得其曲率半徑，取其倒數則可得第一段圓弧的曲率 ρi1。

對于由測點pi和pi+1構造的第二段圓弧，則可以采用章節 3.4的方法，將式（25）得到的第一段圓弧的圓心坐標(zi1,xi1)代入式（19）～（21）得到其曲率 ρi2。

最后，根據式（22）取ρi1和ρi2的最大值得到pi測點處的曲率 ρi。

3.6 折角比較法

以上對于測斜管變形曲線的曲率分析方法相對比較復雜，本文也嘗試提出最簡單的，直接通過計算出相鄰兩測點的相對折角，與極限折角公式（3）對比，來評判測斜管失效的可能性。如圖7所示，測點pi處的相對折角為

圖7 折角比較法示意圖Fig.7 Sketch of deflection angle comparison method

4 實例分析

某地鐵車站基坑及測斜管位置平面圖如圖8所示，基坑主體長169.0 m，寬22.5 m，中間段挖深16.2 m，兩端頭盾構井挖深17.2 m，采用鋼管支撐與SMW工法支護結構?，F場施工監測在支護結構附近土層中共布置 9個測斜孔，監測工作從 2006年7月開始，至12月結束。期間，09號測斜管在9月8日實施監測時，測斜探頭在測完深度10 m的數據后，在深度10.0～10.5 m段受阻，未能繼續下放，并在10 m深度位置測得最大水平位移。同時，測斜管附近支護結構也發現局部滲漏險情，其原因在于附近臨時堆土所致。隨后通過堆土外運和堵漏措施解決，并重新鉆孔埋設新的測斜管實施后續監測，但造成20 d數據缺失。當時若能通過測斜數據的分析提前預判測斜管的失效，或許可以避免數據缺失的問題。

圖8 測斜管布置平面圖Fig.8 Plan of the arrangement of inclinometer casings

根據現場實測數據，采用式（4）的方法計算得到的09號測斜管8月31日至9月7日期間每日的絕對水平位移沿真實深度的變化曲線如圖 9所示，其中位移值為負表示向著坑內的位移。由圖可見，8 m至13 m深度位置的絕對水平位移變化最大，其曲率也日漸增大，是造成測斜管失效的危險部位。為檢驗本文所提出的測斜管失效判別方法的適用性，表1列出了深度5～15 m段的監測數據，并分別采用本文提出的5種方法，判別測斜管失效的可能性。

圖9 09號測斜管絕對位移與深度曲線Fig.9 Absolute displacement-depth curve of No. 09 inclinometer casing

現場監測采用 CX－03型測斜儀和 PVC測斜管，測斜管外徑為70 mm，內徑dc=60 mm；測斜探頭及其電纜剛性接頭的總長l約為800 mm，探頭直徑為dp=32 mm。根據式（1）～（3）可算得測斜管失效時的極限曲率半徑 Rmin=2.871 m，極限曲率ρmax=0.348，極限折角 θmax=8.008°。

針對表1的數據，分別采用三型值點圓弧插值法、三型值點三次多項式插值法、四型值點雙圓弧插值法、五型值點單點約束擬合雙圓弧法以及折角比較法計算得到的測斜管在 5～15 m 深度段各測點位置的曲率和折角如圖10所示。由圖可以看出，9月1日各深度測點的曲率和折角相對較小，但從9月3日開始，10 m深度上下測點的曲率和折角開始突然增大，并持續增大至9月7日達到最大值，其中三型值點圓弧插值法和三型值點三次多項式插值法計算得到的曲率值幾乎相等，且都相對較??；四型值點雙圓弧插值法計算得到的曲率值稍大；五型值點單點約束擬合雙圓弧法計算得到的曲率值最大，與測斜管失效時的極限曲率值0.348相比，最接近于極限曲率。折角比較法的計算結果也顯示出在深度10 m上下位置變化劇烈且最大折角逐日增加。

表1 09號測斜管局部深度的監測數據Table1 Measured data at local depths of No. 09 inclinometer casing

圖10 5種測斜管失效判別方法計算結果對比Fig.10 Comparison of the calculated results by the five methods of detecting the failure of inclinometer casing

依據表1中9月7日的監測數據，5種方法計算得到的最大曲率或最大折角值、深度位置和由式（2）、（3）計算得到的測斜管失效時的極限曲率和極限折角值如表2所列。從表中可以看出，五型值點單點約束擬合雙圓弧法計算得到的最大曲率值0.286與極限曲率值0.348最接近；四型值點雙圓弧插值法計算得到的最大曲率值為0.155，約為0.45倍的極限曲率；而三型值點圓弧插值法和三型值點三次多項式插值法計算得到的最大曲率值更小，均為 0.103，與極限曲率值差距較大；折角比較法計算得到的最大折角值2.947°約為極限折角值 8.008o的 0.37倍，差距也較大。5種方法計算得到的最大曲率和最大折角發生在9.5～10.0 m深度位置，與9月8日現場監測過程中測斜探頭在 10.0～10.5 m 深度位置受阻的情況基本吻合。顯然，五型值點單點約束擬合雙圓弧法無論是曲率還是深度的計算結果都最符合實際。因此，本文推薦采用該方法作為測斜管失效判別方法。

表2 計算得到的最大曲率和折角Table2 Calculated maximum curvature and deflection angle

5 結 語

針對測斜管失效問題，本文提出5種確定測斜管局部變形曲線的曲率或折角的方法，分別是三型值點圓弧插值法、三型值點三次多項式插值法、四型值點雙圓弧插值法、五型值點單點約束擬合雙圓弧法和折角比較法。采用這些方法，針對監測數據所確定的最大曲率或最大折角與測斜管失效時的極限曲率或極限折角進行對比，以評判測斜管失效的可能性。

通過對某地鐵車站基坑工程現場施工監測過程中1根測斜管的失效實例分析結果表明，五型值點單點約束擬合雙圓弧法能夠較好地預測測斜管的失效。但該方法的適用性還有待于更多的工程實踐檢驗。

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