高壓下尾礦材料冪函數型摩爾強度特性研究

劉海明，楊春和，張 超，冒海軍，曹 凈

（1.中國科學院武漢巖土力學研究所 巖土力學與工程國家重點試驗室，武漢 430071；2.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500）

1 引 言

材料的強度準則[1]是用以判斷材料是否達到彈性極限而即將出現塑性的判據。自20世紀以來，關于土體強度理論一直是土力學研究的基本問題之一。Coulomb在 1773年提出了最大剪應力破壞準則；Mohr提出材料的破壞取決于剪應力和滑移面上的正應力，可用函數表示為：τf=f(σf)。在某些條件下，該曲線可用線性關系τf=c+σftanφ 表示，即常用的直線型Mohr-Coulomb強度理論。對巖土體而言，直線型Mohr-Coulomb強度理論往往只對一定范圍下的應力水平適用，超出該范圍后一般需要對其進行修正。

修正的Mohr強度理論主要是將其改為曲線，包括拋物線和雙曲線。自Hoek & Brown提出拋物線型經驗強度準則以來，也有其他一些研究成果[2－3]，拋物線型Mohr強度準則一般可表示為

式中：σ為法向壓應力；τ為剪應力；a、b為材料常數。

雙曲線型Mohr強度準則為[4]

式中：Rt為抗拉強度；Rc為抗壓強度。

Mohr屈服面在主應力空間為一不規則的六棱錐面，π平面內為一不等角六邊形，角點處的外法線方向存在不惟一性，給數值計算帶來困難。Drucker-Prager屈服面在主應力空間為一圓錐面，在π平面內為一光滑曲線，其表述簡單且數值計算效率很高，但它不能同時與6個試驗點匹配。于是有人研究拉伸試驗點與壓縮試驗點之間的光滑屈服函數，又稱為角隅化的強度準則[5]。

修正的拋物線型和雙曲線型Mohr強度準則雖可解決傳統直線型Mohr-Coulomb強度理論一些不足，能更好地逼近試驗曲線，但它們自身亦存在某些缺陷[4]。拋物線型Mohr強度準則由于表達式中剪應力指數為不變參數，造成曲線的彎曲程度調節有限，導致試驗數據不能很好地與之吻合；對于雙曲線型Mohr強度準則，由于雙曲線的一個特性就是有漸近線，造成了高應力條件下剪應力與正應力又近似呈線性變化，與試驗數據偏離較大。

尾礦壩是礦業工程中的重要構筑物，是一個潛在的高勢能危險源。由于受用地等因素的限制，高尾礦壩不斷增加。據統計，截止2008年7月31日，在全國統計的7919座（其中3447座缺乏資料）尾礦壩中，壩高大于100 m的尾礦庫有89座；壩高60～100 m的尾礦庫有96座。已有的不多的研究[6]表明，高壓作用下尾礦砂的內摩擦角比低壓下會降低8°～13°。為研究高尾礦壩的穩定性，掌握高壓條件下的尾礦材料的強度特性是分析壩體穩定性的基礎。

本文通過大量的高壓三軸試驗研究尾礦材料在高壓條件下的強度特性，分析試驗前、后的顆分曲線變化特征，建立高壓作用下冪函數型Mohr強度準則，研究成果可為高尾礦壩壩體穩定性分析提供理論依據。

2 冪函數型Mohr強度包絡線

關于冪函數型Mohr強度包絡線，國內外許多學者[4,7－9]都研究過，如圖1所示。一般表達形式為

式中：a、n、b為材料常數。S(σ)作為強度包絡線，a、n、b須滿足以下條件：

（1）眾所周知，一切巖土類材料都具有抗剪強度，也就是對于一切σ都應滿足：S(σ)≥0，即aσn+b≥0?a ≥0且b≥0。

（2）如圖 1所示，存在一個非負的常數 t，滿足 S(σ=-t)=0，t為材料的抗拉強度，合理的正應力必須滿足σ≥-t 。

（3）鑒于S(σ)的導數S′(σ)是內摩擦角φ (σ)的正切值，而φ (σ)又是σ的函數。當σ超過某一值后，φ (σ)隨圍壓的增大而減小，S(σ)是σ的單調遞增函數，即：tan(φ (σ))=d Sdσ=anσn-1≥0 ?0≤n 。考慮到 Mohr圓及包絡線關于σ軸對稱，即：φ(σ≡-t)≡π2，因此，內摩擦角的范圍為[0,π2)。

（4）根據經典塑性力學理論[10]，合理的強度包絡線必須是外凸的，即d2Sdσ2≤0?n(n-1)?aσn-2≤0?0≤n≤1。

（5）設強度包絡線上的任意一點(σ,S(σ))，強度包絡線S(σ)應該與該點所在的Mohr圓相切，同時不允許與其相交。轉化為數學條件有：強度包絡線S(σ)上任一點的曲率半徑Rf應該大于等于該點的Mohr圓半徑Rm，數學表達式如下：

考慮到 S′(σ)≤0，即：

利用式（5），并對式（4）進行三角轉換，式（4）可化簡為

將冪函數一般通式（3）代入式（6）并化簡得

由（1）～（4）條件可得：a≥0、b≥0、0≤n≤1。式（7）等號右邊大于等于0；要使式（7）成立，等號左邊與σ無關，等號左邊也必須大于等于 0，即：a (2 n-1)≥0?n≥12。

綜上所述，冪函數型Mohr強度通式（3）需滿足的條件為：a≥0，b≥0且12≤n≤1。

當n=1時，式（3）退化為直線型 Mohr強度準則，b=c，a=tanφ；當n=12時，式（3）退化為Griffith強度準則，此時a=14Rt，b=-Rt[11]。當12＜n＜1時，冪函數型Mohr強度是直線型Mohr強度與 Griffith強度的組合。大量的研究結果[4,12]表明：冪函數型Mohr強度的冪指數n∈(0.5,1)，從以上分析來看，這是必然的。

3 尾礦材料試驗研究

德興銅礦4號尾礦壩[13]位于德興銅礦大山選廠以北的西源溝內，為國內及亞洲最大的尾礦壩，設計最大壩高為208 m，2008年7月已堆積了146 m。為了研究該尾礦壩的穩定性，首先必須研究高壓條件下尾礦材料的力學特性。現場鉆孔勘察取得的400多個原狀土樣表明，尾礦壩壩頂40 m以下壩體材料主要為尾粉砂及尾亞砂，故本次高壓試驗研究對象為德興銅礦4號尾礦壩的尾粉砂和尾亞砂，表1是尾粉砂和尾亞砂的物理指標。

表1 尾礦材料的物理指標參數Table1 Physical parameters of tailings material

高壓三軸試驗設備采用的是英國 Wykeham Farrance公司生產的三軸儀，最大圍壓可加到10 MPa，高壓三軸試驗設備見圖2。對于尾礦材料[14－15]，一般將圍壓在500 kPa以下的試驗劃為低壓試驗，將圍壓高于500 kPa以上的稱為高壓試驗，同時要求對于尾礦堆積高度超過100 m的尾礦壩，必須補充高壓試驗資料。試驗的破壞標準取主應力差與軸向應變曲線上的峰值作為破壞點，無峰值時，取15%軸向應變時的主應力差值作為破壞點。為研究高壓作用下尾礦材料的力學性質，試驗對尾粉砂、尾亞砂的原狀樣φ39.1 mm×80 mm在不同圍壓下（400、800、1200、1600、2000、3000 kPa）進行高壓三軸不排水試驗，見圖3。結果表明：隨著圍壓增大，強度不斷遞增，但增加幅度不斷減小，應力-應變曲線沒有明顯峰值。

4 尾礦材料冪函數型Mohr準則探討

4.1 冪函數型Mohr強度準則參數擬合

三軸排水試驗可得到破壞時的最小主應力σ3、最大主應力σ1、孔隙水壓力u，變換可得：平均應力p=(σ1+σ3)2、平均有效應力 p′=(σ1+σ3-2u)/2、偏應力，由于總應力強度與有效應力強度的參數擬合過程基本相同，只需將p換成p′即可，下面以總應力強度為例，說明冪函數型Mohr強度參數的擬合過程。

圖2 高壓三軸試驗設備Fig.2 High pressure triaxial test equipment

圖3 不同圍壓下高壓三軸壓縮試驗典型曲線Fig.3 Typical stress-strain curves of high pressure triaxial test under different confining pressures

三軸試驗結果可用p、q平面的點{pi,qi}i=1…m來表示，由于冪函數型Mohr強度包絡線是Mohr平面σ、τ中的一條曲線，為了進行參數擬合，需要先將兩者統一，一般可將{p,q}變換至{σ ,}τ，參考圖1得

式中：φi為數據點{pi,qi}的內摩擦角。

一般采用迭代法進行參數擬合，定義φi,j-1為{pi,qi}的第j-1次迭代的內摩擦角，參數擬合過程如下：

（1）取 φi=φi,j-1，用式（8）計算得到數據點{σi,τi}i=1…m。

（2）采用式（3）對數據點{σi,τi}i=1…m進行曲線擬合，并由式（9）確定最優的擬合參數{aj,nj,bj}。

擬合參數a、n、b必須滿足如下條件：a≥0，12≤n≤1，b≥0。

（3）采用最優的擬合參數{aj,nj,bj}重新計算內摩擦角φi,j=arctan(ajnjσnj-1)。

重復步驟（1）～（4），直到 (Δ φmax)j滿足要求為止。通常，初始的內摩擦角φi,0未知，可設為直線型Mohr強度的內摩擦角。

4.2 尾礦材料冪函數型Mohr強度準則研究

尾礦材料高壓三軸不排水試驗的冪函數型Mohr包絡線以及包絡線的擬合如圖4及表2所示。研究結果表明：無論是總應力強度包絡線還是有效應力強度包絡線，冪函數型Mohr強度準則都可以較好地反應尾礦材料在高壓條件下的強度特性。

高壓條件下尾礦材料的試驗結果表明：拋物線型和雙曲線強度準則雖然解決了傳統直線型 Mohr-Coulomb強度準則的一些不足，但仍不能很好地體現尾礦材料在高壓力作用下強度的弱化特征。本文建議采用冪函數來擬合強度包絡線，結果表明：當圍壓大于等于800 kPa時，冪函數型Mohr包絡線能較好地與試驗結果吻合，但當圍壓低于800 kPa時，誤差較大。

5 高壓下尾礦材料的顆粒破碎效應

顆粒破碎[16]是指巖土顆粒在外部荷載作用下產生結構破壞或破損，分裂成粒徑相等或不等的多個顆粒的現象。顆粒破碎[17－18]既與巖土體顆粒本身的物理力學性質有關，如顆粒的粒徑、顆粒級配、表面粗糙程度、形狀、礦物成分等；同時還與應力狀態、應力路徑、加載速率等有關。顆粒破碎會引起巖土體級配的改變，一般可通過試驗前、后級配曲線的變化來研究顆粒破碎效應。

圖4 高壓下尾礦材料冪函數型Mohr強度包絡線Fig.4 Power-function strength envelopes of tailings materials under high stress pressures

表2 高壓下尾礦材料試驗結果與冪函數型Mohr強度準則計算結果對比Table2 Comparison of test values and calculation values of power function based on the Mohr strength criterion for tailings material under high pressures

5.1 顆分曲線特征研究

試驗前、后顆分結果表明，同一試樣在相同壓力下不同部位的破碎程度不同，上部比下部破碎程度要大一些。為統一比較，選擇試樣上部20 mm進行顆粒分析，如圖5、6所示。試驗表明：

（1）當圍壓達到某一閾值后，尾礦材料在剪切過程中將發生顆粒破碎，發生顆粒破碎程度與圍壓大小密切相關，并存在一閾值，只有當圍壓大于等于該閾值之后，才發生顆粒破碎。對于試驗尾粉砂，閾值為1200 kPa；對于試驗尾亞砂，閾值為1600 kPa。該閾值大小與試驗材料的顆粒尺寸密切相關，初步研究表明，隨著尾礦材料顆粒尺寸的減小，閾值增加。殷家瑜等[6]的研究表明：尾礦砂在剪切過程中（排水剪切）即使圍壓不大也會發生顆粒破碎，該研究成果與本文有一定出入。這可能是由于應力路徑或是材料特性所引起的。

（2）當圍壓達到閾值之后，剪切后顆粒破碎的數量隨圍壓的增大而增大，但增大的幅度卻隨著圍壓的增大而逐漸減小。

圖5 不同圍壓下尾粉砂試驗前、后顆分曲線Fig.5 Grain-size distribution curves of tailings silt under different confining pressures

圖6 不同圍壓下尾亞砂試驗前、后顆分曲線Fig. 6 Grain-size distribution curves of tailings sub-silt under different confining pressures

5.2 顆粒破碎率研究

目前，對于顆粒破碎程度的度量，工程中主要是以顆粒級配曲線為基礎，可分為“單一特征粒徑指標”和“多粒徑指標”[19]。單一特征粒徑指標是以試驗前、后某單一特征粒徑含量的變化量來衡量顆粒破碎的程度，如采用顆粒粒徑d15、控制粒徑d60等；多粒徑指標以試驗前后整個顆粒級配曲線的變化量來衡量顆粒破碎程度，如Marsal采用試驗前、后粒組百分含量差的正值之和Bg。

Hardin[20]提出了用相對破碎參量Br來描述顆粒破碎效應，該指標能克服單獨考慮某一含量或某一粒徑的缺點，能夠全面反應顆分曲線在試驗前、后的變化。本文根據尾礦材料加載前、后顆分曲線變化特征，采用Hardin建議的指標來研究顆粒破碎，但將Hardin建議的臨界顆粒破碎直徑d=0.074 mm改為d=0.0015 mm以適合尾礦材料。如圖7所示，以試驗前、后顆粒分析曲線與d=0.0015 mm豎線3條線所包圍的面積為破碎量Bt，將試驗前的顆粒分析曲線與d=0.0015 mm豎線所圍的面積定義為破碎勢Bp，從而定義相對破碎率 Br=Bt/Bp。根據Br的定義，可以分別計算出各個圍壓下試驗后的顆粒破碎情況，結果如表3所示。

圖8為尾粉砂在不同深度的相對破碎率，由圖可知，上部試樣的相對破碎率比下部試樣大，隨著圍壓的增大，上部試樣與下部試樣的相對破碎率之差不斷減小。

圖7 相對破碎率Br的定義Fig.7 Definition of relative-crushing rate Br

表3 尾礦材料在不同圍壓下的顆粒相對破碎率(單位: %)Table3 Relative-crushing rate of tailings materials under different confining pressures (unit: %)

圖8 尾粉砂在不同分層下的相對破碎率Fig.8 Relative-crushing rate of tailings silt at different layers

6 結論與建議

（1）從理論上推導了冪函數型 Mohr強度通式S (σ)=aσn+b 及其需滿足的條件：a≥0，b≥0，≤n≤1。

（2）冪函數型Mohr強度包絡線擬合曲線表明：無論是有效應力強度還是總應力強度，冪函數型Mohr強度包絡線能較好地體現尾礦材料在高壓條件下的強度特性，對于低壓作用下（圍壓小于500 kPa）的尾礦材料，冪函數型Mohr強度理論估算結果偏高，對工程不利，建議低壓作用下的尾礦材料仍采用直線型Mohr-Coulomb強度準則。

（3）高壓作用下尾礦材料顆分結果表明：當圍壓達到某一閾值時，尾礦材料在剪切過程中將發生顆粒破碎，該閾值大小與尾礦材料的顆粒尺寸有關，對于德興銅礦尾粉砂，閾值為1200 kPa；對于銅礦尾亞砂，閾值為1600 kPa。

（4）當圍壓達到閾值之后，剪切后顆粒破碎的數量隨圍壓的增大而增大，但增大的幅度卻隨著圍壓的增大而逐漸減小。

（5）由于尾礦材料的抗剪強度與應力水平密切相關，對于高尾礦壩的穩定性研究，必須通過試驗確定所有可能的應力水平范圍內的強度參數，建議采取如下步驟：①在試驗之前，先用直線型 Mohr-Coulomb強度準則估算強度參數值，再進行初步的穩定性分析，目的是初步確定試驗的應力水平；②根據估算的應力水平進行相應的強度試驗，采用試驗結果重新進行穩定性分析；③將最后分析的應力水平與試驗的應力水平進行對比分析，如果兩者相差較大，則根據需要補充相應的試驗，重新進行穩定性分析，直到滿足要求為止。

[1]鄭穎人,高紅. 材料強度理論的討論[J]. 廣西大學學報(自然科學版),2008,33(4): 337－435.ZHENG Ying-ren,GAO Hong. Discussion of strength theory for materials[J]. Journal of Guangxi University(Natural Science Edition),2008,33(4): 337－435.

[2]趙彭年. 二次拋物線型極限曲線的巷道圍巖應力及位移[J]. 有色金屬,1979,(1): 41－44.

[3]李順群,焦學英,王芳. Mohr包線的二次曲線形式[J].遼寧工程技術大學學報,2005,24(6): 853－855.LI Shun-qun,JIAO Xue-ying,WANG Fang. Study of conic for Mohr curve[J]. Journal of Liaoning Technical University,2005,24(6): 853－855.

[4]陳衛忠,劉豆豆,楊建平,等. 大理巖卸圍壓冪函數型Mohr強度特性研究[J]. 巖石力學與工程學報,2008,27(11): 2214－2220.CHEN Wei-zhong,LIU Dou-dou,YANG Jian-ping,et al.Power function based Mohr strength criterion for marble with unloading confining pressures[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2008,27(11):2214－2220.

[5]俞茂宏. 雙剪理論及其應用[M]. 北京: 科學出版社,1998.

[6]殷家瑜,賴安寧,姜樸. 高應力下尾礦砂的強度與變形特性[J]. 巖土工程學報,1980,2(2): 1－10.YIN Jia-yu,LAI An-ning,JIANG Pu. Strength and deformation characteristics of tailings under high pressure[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1980,2(2): 1－10.

[7]CHARLES J A,WATTS K S. The influence of confining pressure on the shear strength of compacted rockfill[J].Geotechnique,1980,30(4): 353－367.

[8]YANG Xiao-li,YIN Jian-hua. Linear Mohr-Coulomb strength parameters from the non-linear Hoek-Brown rock masses[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics,2006,41(8): 1000－1005.

[9]AL-AJMI AM,ZIMMERMAN RW. Stability analysis of vertical boreholes using the Mogi-Coulomb failure criterion[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2006,43(8): 1200－1211.

[10]陳惠發,薩里普. Elasticity and plasticity[M]. 北京: 中國建筑工業出版社,2005.

[11]李春光,鄭宏,葛修潤,等. 雙參數拋物型 Mohr強度準則及其材料破壞規律研究[J]. 巖石力學與工程學報,2005,24(24): 4428－4433.LI Chun-guang,ZHENG Hong,GE Xiu-run,et al.Research on two-parameter parabolic Mohr strength criterion and its damage regularity[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2005,24(24): 4428－4433.

[12]BAKER R. Nonlinear Mohr envelopes based on triaxial data[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,ASCE,2004,130(5): 498－506.

[13]張超,冒海軍,王光進,等. 德興銅礦 4號尾礦壩浸潤線觀測系統的建立及高壩穩定性研究[R]. 武漢: 中國科學院武漢巖土力學研究所,2010.

[14]王風江. 上游法高尾礦壩的抗震問題[J]. 冶金礦山設計與建設,2001,33(5): 10－13.WANG Feng-jiang. Anti-seismic problem of tall tailing dam constructed with upstream method[J]. Metal Mine Design and Construction,2001,33(5): 10－13.

[15]徐志英,沈珠江. 高尾礦壩的地震液化和穩定分析[J].巖土工程學報,1981,3(4): 22－31.XU Zhi-ying,SHEN Zhu-jiang. Liquefaction and stability analysis of a high tailing dam under earthquake excitation[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,1981,3(4): 22－31.

[16]張家銘,汪稔,張陽明,等. 土體顆粒破碎研究進展[J].巖土力學,2003,24(增刊2): 661－665.ZHANG Jia-ming,WANG Ren,ZHANG Yang-ming,et al.Advance in studies of soil grain crush[J]. Rock and Soil Mechanics,2003,24(Supp.2): 661－665.

[17]LOBO-GUERRERO S,VALLEJO L E,VESGA L F.Visualization of crushing evolution in granular materials under compression using DEM[J]. International Journal of Geomechanics,ASCE,2006,6(3): 195－200.

[18]趙光思,周國慶,朱鋒盼,等. 顆粒破碎影響砂直剪強度的試驗研究[J]. 中國礦業大學學報,2008,37(3): 291－294.ZHAO Guang-si,ZHOU Guo-qing,ZHU Feng-pan,et al.Experimental research on the influence of particle crushing on direct shear strength of sand[J]. Journal of China University of Mining & Technology,2008,37(3):291－294.

[19]孔德志,張其光,張丙印,等. 人工堆石料的顆粒破碎率[J]. 清華大學學報(自然科學版),2009,49(6): 795－799.KONG De-zhi,ZHANG Qi-guang,ZHANG Bing-yin,et al. Particle breakage ratio of artificial rockfill materials[J].Journal of Tsinghua University (Science & Technology),2009,49(6): 795－799.

[20]HARDIN B O. Crushing of soil particles[J]. Journal of Geotechnical Engineering,ASCE,1985,111(10): 1177－1192.