粒徑對剪脹特性的影響及其細觀機理探討

王開來 蘇 強

(中煤平朔集團有限公司東露天礦，山西朔州 036000)

0 引言

剪脹性作為土區別于其他材料的一個本質特征，自其被發現以來［1］，就引起了廣大學者的濃厚興趣，關于土的剪脹性的研究成果也不斷涌現。人們逐漸認識砂土等顆粒材料的塑性體積變形來源于兩個方面的原因:應力的變化和剪切變形的產生［2］。應力的變化將導致顆粒的相互靠近與破碎;剪切變形導致顆粒的相互攀爬與翻滾，把由剪切變形誘發的塑性體積應變增量稱為Reynolds剪脹［3，4］。Reynolds剪脹是由剪切變形導致的真正的剪脹，與剪切變形密切相關。

隨著研究的深入，人們發現砂土等材料微觀顆粒大小，位置隨機分布的不均勻性，連接方式與排列方式等導致在受力過程中形成諸多強度迥異的力鏈［5］，貫穿于顆粒物質內，在宏觀上則表現出剪脹等力學性質，為此須從細觀角度開展研究。

基于離散元的顆粒流軟件的出現，克服了傳統連續介質力學模型的宏觀連續性假設，可以從細觀層面上對砂土的工程特性進行數值模擬。國內外很多學者在此做了大量的工作，文獻［6］～［8］研究了細觀參數與宏觀力學響應的關系等。遲明杰等［9］提出的剪脹機理解釋了砂土所具有的復雜現象，但是針對細觀參數與Reynolds剪脹關系的研究較少。本文首先建立僅考慮剪切變形影響的簡化模型，分析顆粒粒徑這一微觀參數與體積應變的關系，并利用PFC2D軟件進行數值模擬實驗，進一步驗證與討論粒徑對Reynolds剪脹的影響。

1 Reynolds剪脹與粒徑無關機理推導

實際土體壓縮變形很復雜，伴隨著有顆粒相互翻越抬起，膠結的破壞，顆粒的壓碎等現象的發生。簡化模型需對土體細觀結構的復雜性進行大量簡化，進而在細觀層面來探討其規律性。簡化過程如下:設有粒徑分別為r1和r2的均勻顆粒組(本文采用的為單位厚度的圓盤)，圖1對應于顆粒處于疏松狀態時(此時顆粒已充分接觸，但相對于圖2來說，仍為疏松狀態)的簡圖，圖2對應于顆粒處于剪縮之后的緊密狀態時的簡圖。當兩組粒徑不同的r1和r2都經歷從圖1到圖2的過程時可進行如下分析(假設顆粒單元為剛性體，變形過程顆粒不破碎，相互不重疊)。

1．1 單位體積下的顆粒數

在單位體積下，對不同的r1和r2，在初始狀態1時，由于配位數為4，每個孔隙由4個圓盤分得，而每個圓盤周圍有4個孔隙，所以每個圓盤應占有體積(包括孔隙)v1，v2可求出。

因為圖1狀態時，單個孔隙所占體積:

其中，r為圓盤半徑。

所以有:

其中，r1為圓盤1的半徑;v1為對應于r1的圓盤所應占有的體積。

其中，r2為圓盤2的半徑;v2為對應于r2的圓盤所應占有的體積。

那么由式(2)和式(3)求得單位體積下對應r1的顆粒數n1=1/4r21，對應r2的顆粒數n2=1/4r22。

圖1 疏松狀態

圖2 緊密狀態

1．2 從疏松到緊密體積應變εv的變化

對r1，圖1狀態對應的孔隙比為:

在圖2狀態時，單個孔隙所占體積:

又由于配位數為6，每個孔隙由3個圓盤分得，每個圓盤周圍有6個孔隙，所以每個圓盤應占有2個孔隙，所以壓縮之后孔隙比為:

那么過程中孔隙比的變化Δe1可由式(4)和式(6)求得:

由Δe1導致體積應變:

同理，由式(7)和式(8)可以求得對r2也有該過程孔隙比的變化:

其中，e2，e2'分別為半徑為r2的圓盤在圖1狀態和圖2狀態的孔隙比。

同樣可求得對應于r2的體積應變:

從推導過程可以看出，在壓縮過程中，粒徑的大小與孔隙比的變化和體積應變無關。而這種簡化模型的壓縮過程其實就是反映的純剪切變形的過程，所以也可以說該簡化模型的剪切變形導致的體積應變即Reynolds剪脹，與粒徑無關。

2 PFC2D雙軸實驗對結論的驗證

2．1 PFC2D基本理論

二維顆粒流程序PFC2D是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質的運動及其相互作用。這種方法是研究顆粒介質特性的一種工具，它采用數值方法將物體分為有代表性的數百個顆粒單元。利用顆粒模型理解單元的力學特性后，用連續介質的方法來求解包含復雜變形方式的真實問題。

PFC2D能模擬任意大小圓形粒子集合體的動態力學行為，在整個計算過程中交替應用力—位移定律和牛頓運動定律，顆粒與顆粒以及顆粒與墻之間通過接觸聯系起來，接觸性質由下列單元組成:

1)線性彈簧或簡化的Hertz-Mindlin準則;2)庫侖滑塊;3)粘結類型。

此外PFC2D在模擬過程中還作了如下假設:1)顆粒單元為剛性體。2)接觸發生在很小的范圍內。3)顆粒單元為圓盤形。

這些假設與前面建立的模型假設基本類似，所以不必另外附設條件，可直接用來模擬。作為實際問題的模擬應先進行微觀參數的標定，確定微觀參數與宏觀力學特性的關系，找到能模擬實際問題的比較合適的微觀參數值。因本文做的是定性分析，并沒有進行標定的過程。

2．2 PFC2D模型實驗

實驗發現如果采用相同的粒徑rmax/rmin≈1，實驗結果失真。這可能是由于在模擬的過程中，相同的粒徑會形成格子架的結構［10］，故采用粒徑比 rmax/rmin=1．20以及 rmax/rmin=2的顆粒“樣品”，通過改變rmin的大小，形成不同粒徑大小的顆粒組來說明相同的問題。

PFC中實驗模型的生成先是按指定的顆粒粒徑及分布規律，在指定的區域生成較松散的顆粒組，再通過擴大半徑法或壓縮法等達到指定的孔隙率。本實驗采用擴大半徑法，主要的控制參數見表1，表1中在粒徑比相同的情況下，分別取最小顆粒半徑為0．075和0．085來生成“樣品”。

表1 砂土PFC模型基本控制參數

因PFC模型試驗的假設條件中沒有考慮顆粒的破碎，所以圖3中體積應變即為Reynolds剪脹部分。

當rmax/rmin=1．2時，顆粒均勻分布，且PFC2D試驗采用的是二維圓盤顆粒，與模型假設基本一致，從圖3中剪縮部分可以看出，兩組粒徑“樣品”在實驗中表現出的體積應變(即Reynolds剪脹部分)基本類似，符合文中1．2的推導結論。

當rmax/rmin=1．2，對比兩組粒徑的孔隙比，發現在孔隙降低的過程中(即剪縮過程)，兩者基本重合，孔隙增大時，相差較大。這也與文中1．2推導結論基本吻合(見圖4)。

當rmax/rmin=2時，顆粒均勻分布，與模型假設偏離較大，曲線剪縮部分重合度不如rmax/rmin=1．2時的好。但剪脹部分重合反而比前者好(見圖5)。這可能是由于粒徑比大，級配更好，顆粒結構重組更快，粒徑比的影響就降低了。

圖3 r max/r min=1.2時的體變—軸向變形曲線

圖4 r max/r min=1.2時的孔隙比—步數曲線

圖5 r max/r m in=2.0時的體變—軸向變形曲線

2．3 數值實驗結果討論

從數值模擬實驗結果可以看出，當rmax/rmin較小時，兩組“樣品”的體積應變曲線基本重合，其壓縮過程產生的體積應變(即Reynold，剪脹部分)與粒徑的大小基本無關，驗證了文中1．2的推導結論。當粒徑比較大時，兩組“樣品”的體積應變曲線重合度不如前者，說明粒徑比的大小對實驗結果還是存在一定影響的。

3 結語

本文首先建立了一個僅考慮剪切變形剪脹模型，推導出顆粒的大小不影響孔隙比變化值和體積應變值的大小，再用PFC2D軟件數值模擬了這一變形過程，從實驗結果指出粒徑對Reynolds剪脹無關的結論。當然本文的簡化模型仍存在缺陷，如沒有考慮顆粒的破碎，顆粒的形狀過于簡化，顆粒的自身變形沒有考慮等。

［1］Reynolds，O．On the dilatancy ofmedia composed of rigid particles in contact．With experimental illustration［J］．Philosophical Magazine，1985(20):469-482．

［2］張建民．砂土的可逆性與不可逆性剪脹規律［J］．巖土工程學報，2000，22(1):158-161．

［3］鄭穎人，孔 亮．巖土塑性力學［M］．北京:中國建筑工業出版社，2010．

［4］Collins IF，Muhunthan B，Tai A T T．The concept of‘Reynol-ds-Taylor state’and themechanics of sands［J］．Geotechnique，2007，57(5):437-447．

［5］孫其誠，王光謙．顆粒物質力學導論［M］．北京:科學出版社，2009．

［6］周 健，遲 永．土的工程力學性質的顆粒流模擬［J］．固體力學學報，2004，25(4):377-382．

［7］周 健，遲 永．砂土力學性質的細觀模擬［J］．巖土力學，2003，24(6):901-906．

［8］曾 遠，周 健．砂土的細觀參數對宏觀特性的影響研究［J］．地下空間與工程學報，2008，3(4):499-503．

［9］遲明杰，趙成剛，李小軍．砂土剪脹機理的研究［J］．土木工程學報，2009，42(3):99-104．

［10］S．v．Baars．Discrete element analysis of granuar materials［D］．Delft:Delft University of Technologly，1996．