多用戶MIMO系統中基于單天線功率約束的功率分配方法

韓圣千，楊晨陽

（北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京100191）

1 引言

在多用戶多輸入多輸出（MU-MIMO, multiuser multiple-input multiple-output）系統中，臟紙編碼（DPC）是能夠實現廣播信道容量的最優預編碼[1]。但是由于DPC需要進行復雜的矢量編碼，且通常要求很大的編碼長度，因此具有很高的計算復雜度[2]。迫零（ZF, zero forcing）預編碼是一種被廣泛應用的次優MU-MIMO發射方案，能夠以很低的計算復雜度消除多用戶之間的干擾[3～5]。當系統的總用戶數很大時，文獻[6]的研究結果表明，基于多天線總發射功率受限（SPC, sum power constraints）的ZF預編碼可以漸近達到 DPC的性能。文獻[7]進一步證明了當考慮單天線功率約束（PAPC, per-antenna power constraints）時，ZF預編碼仍然可以達到漸近最優的性能。

在無線通信系統中，考慮PAPC比SPC更具有實際意義[4,5,7,8]。一方面，由于在實際系統中每個天線的射頻鏈路均存在獨立的功率放大器，因此每個天線的發射功率都獨立地受限于各自功率放大器的線性區間。另一方面，PAPC是未來通信系統的重要特征。分布式天線技術和多基站協作技術是未來無線通信系統保證蜂窩小區均勻覆蓋的重要候選技術[4,5]。對于在地理位置上散布的多個天線和多個基站，它們的發射功率不可能互相共享，因此這2種技術是單天線功率約束的典型應用場景。

為了保證ZF預編碼滿足一定的發射功率約束，系統需要基于ZF波束形成矩陣對多用戶進行功率分配。基于 SPC，最優功率分配具有灌水（waterfilling）結構，并且只包含一個水平面變量。文獻[7]研究了基于PAPC的功率分配方法，指出以最大化多用戶和數據率為準則的功率分配問題是一個凸優化問題，可以通過多種優化方法進行數值求解（例如內點法[9]），但是其計算復雜度隨著變量維數的增加而快速增長。為了降低功率分配的復雜度，文獻[10]提出了一種啟發式方法。它首先假設基于PAPC的功率分配仍具有單水平面的灌水結構，然后通過適當地選擇水平面變量以保證所有的天線均滿足PAPC。文獻[11]提出了更簡單的等功率分配方法（EPA, equal power allocation），并指出在最大化多用戶的最小數據率準則下 EPA是最優的功率分配方案。與最優的功率分配方法相比，啟發式方法和EPA有效地降低了計算復雜度，但是其性能與最優性能之間存在較大的差距。

本文基于ZF預編碼，以最大化多用戶和數據率為準則，提出一種新的低復雜度功率分配方法。首先證明基于PAPC的最優功率分配仍具有灌水結構，但是包含多個水平面變量；然后提出一種次優方法來獲得這些水平面變量。仿真結果表明，所提出方法的性能優于現有的啟發式方法和EPA，能夠以較低的計算復雜度獲得接近最優功率分配的性能。

本文所采用的數學符號定義如下：黑體大寫、黑體小寫和正常小寫字母分別表示矩陣、行向量和標量，(· )T和 (· )H分別表示對矩陣或向量進行轉置和共軛轉置，I表示單位矩陣，1表示全 1向量，diag()x表示以向量x為對角元素的對角矩陣。

2 系統模型

考慮一個下行鏈路多用戶MIMO系統，其中裝有M個天線的基站通過空分復用方式服務K個單天線用戶。對于 ZF預編碼，用戶k的波束形成向量 gk需要滿足

其中，hj是用戶j的下行信道向量，其維數為1×M。滿足式(1)的ZF預編碼并不唯一，其中比較常用的是基于信道矩陣偽逆的ZF預編碼。由此，用戶k的接收信噪比和可達數據率分別為

其中，pk是基站分配給用戶k的發射功率，σ2是用戶端的加性白高斯噪聲的方差，

定義基站端的發射波束形成矩陣和功率分配矩陣分別為 G = [ g1H, … ,gKH]和 P = diag(p)，其中，p= [ p , …,p ]，則基站端的發射預編碼為W = GP1。

21K定義矩陣G的第m行第k列元素為 gmk，可得基站端第m個天線的發射功率為

3 最優多水平面灌水功率分配

式(5)給出的功率分配問題是由凸目標函數和線性約束構成的凸問題，其拉格朗日方程可以表示為

其中， u = [ u1,… ,uM]和v= [ v1, … ,vK]是對偶變量，其第m行第k列元素為 a 。mk

最優的p、u和v應滿足以下KKT條件：

式(12)可以重新表示為

聯合式(7)、式(9)、式(11)和式(13)，不難得到最優功率分配具有以下灌水結構：

其中，最優的u應滿足式(8)、式(10)以及單天線功率約束(5b)，(x)+= m ax(x, 0)。

由式(14)可以看出，最優的功率分配中包含由向量u決定的多個水平面。文獻[12]研究了存在多個水平面的灌水功率分配問題，并且在 pk只與 uk有關的特定情況下，給出了計算u的有效方法。然而，不難看出，在式(14)中 pk由u中的所有元素共同決定，因此文獻[12]給出的方法不能應用于本文所考慮的問題。

下一節將提出一種求解水平面變量u的次優方法。為此，首先通過下述定理給出該變量最優值的一些性質。

定理 1 對于如下的單水平面灌水功率分配優化問題

其中，λ需要滿足：

由于優化問題(5)是凸問題且滿足強對偶條件[9]，因此為了證明是優化問題(5)的最優解，只需證明滿足優化問題(5)對應的KKT條件。通過比較式(14)和式(16)，不難發現當時，式(14)給出的 pk與式(16)給出的相同。因此，只需證明滿足式(8)、式(10)以及單天線功率約束(5b)即可完成證明。

其中，引入了水平面變量λ以便于后述證明。由于λ＞ 0 ，因此它不影響式(19)的成立。

考慮到um=λ和pk= pk，可知式(10)也成立。由此，該定理得證。

4 低復雜度功率分配

根據上一節的定理，可以將計算最優水平面變量u轉換為找出在優化問題(15)中滿足 ampT(w ) ≤ 1的w， m = 1,… ,M 。根據式(19)并考慮和wm≥ 0 ，不難得出對于任意w，至少存在一個ampT(w ) = 1。因此，最優的w可以通過求解以下優化問題而得到

其中， qm(w ) = ampT(w ) -1。

然而，對優化問題(20)直接進行求解仍然比較困難。下面提出一種針對優化問題(20)的次優求解方法，它能夠以較低的復雜度達到接近最優的性能。為此，考慮w在功率分配中的物理意義。在優化問題(15)中，w將原優化問題(5)中針對每個天線的功率約束轉變為一個加權和功率約束，其中 wm體現了第m個天線的功率約束在加權和功率約束中的重要程度。不難看出，當 wm=1時，優化問題(15)的最優解一定能夠使第m個天線的功率約束得以滿足，即 qm= 0 。基于這一觀察，所提出的次優方法迭代地選擇不能滿足功率約束的天線，并適當調整它們的加權參數，直至滿足一定的迭代停止條件。

首先討論加權向量w的迭代更新方法。設 wi-1和Si= [ s1, … ,si]分別表示第i次迭代中使用的加權向量和已選的不滿足發射功率約束的天線序號組合。基于 wi-1，希望更新之后的 wi能夠使 Si中天線的最大發射功率達到最小。根據以上對w的物理意義的分析，采用下面的次優更新方法

其中，0≤μ≤1，si表示第i次迭代中所選天線的序號， wi,m表示 wi的第m個元素。

式(21)給出的更新方法具有3個特征。一方面，只要 wi-1滿足則有；另一方具有更大的權值，從而降低發射功率；最后，當qsi(wi)≥ 0時，可以證明qsi(wi) 是μ的單調遞增函數（證明過程見附錄）。

基于式(21)的特征，可以采用下面給出的二分法選擇μ，使得天線 si在所有已選天線 Si中不再具有最大的發射功率。

1) 定義μmin=0和μmax=1。wi；由式(16)計算 p (wi) 和 qm( wi) ， m ∈Si。=μ；否則，更新μmin=μ。

4) 重復步驟 2)和 3)，直至 μmax-μmin＜?，其中，?是特定的門限值。

根據以上分析，所提出的低復雜度功率分配方法可以總結如下。

1) 初始化。設i=0，S0=φ（空集），T0={1,，即所有天線具有相同的權值，并計算 qm(w0)， m ∈ { 1,… ,M }。

2) 迭代。

① 設 i = i+ 1 ，從 Ti-1中選擇具有最大發射功率的天線：，更新

② 根據式(21)更新 wi，其中對μ的計算分為2種情況：

當 i = 1 時，由于已選天線的個數為 1并且qsi(wi) 是μ的單調遞增函數，因此μ的最優值為0，

當 i ＞ 1 時，μ可以通過上面給出的二分法得到。

③ 計算 qm( wi) ， m = 1,… ,M ，并定義 qSi=

3) 若 qTi＞qSi，重復步驟 2)；否則，由式(16)計算 p (wi) ，并得到最終的功率分配結果為

這里采用所有天線的最大發射功率maxm的p一定滿足單天線功率約束。

5 仿真分析

本節通過蒙特卡洛仿真評估所提出功率分配方法的性能和復雜度。為了進行性能和復雜度比較，仿真中還考慮了其他 3種功率分配方法，包括最優功率分配、啟發式功率分配[10]和等功率分配[11]，其中采用內點發[9]計算最優功率分配，并適當地配置內點法的參數使其在不降低性能的前提下具有盡可能低的計算復雜度。

設基站的總發射功率為P，每個天線具有相同的發射功率約束 P /M，信噪比定義為 P /σ2，仿真中設置為5dB。假設不同用戶的信道相互統計獨立，且每個用戶的信道為統計獨立同分布的瑞利衰落信道，由零均值單位方差的復高斯隨機變量構成。假設基站已知所有用戶的準確信道信息，并采用基于信道矩陣偽逆的ZF預編碼服務多個用戶。所有仿真進行1 000次蒙特卡洛實驗。

圖1給出了不同用戶數K下4種功率分配方法的和數據率。可以看出，對于不同的用戶數，所提出的低復雜度功率分配方法均能夠獲得接近最優功率分配的性能。等功率分配性能最差，并且與所提出的功率分配方法之間的差距隨著被服務用戶數的增長而擴大。啟發式方法能夠在一定程度上提高等功率分配的性能，但與所提出的功率分配方法相比仍有明顯的性能差距。

圖1 不同用戶數K下4種功率分配方法的和數據率（基站天線數8M=，所提出方法的門限0.01=?）

圖2 比較了4種功率分配方法的計算復雜度。由于對最優功率分配方法復雜度的理論分析較為困難，這里采用平均處理時間作為復雜度評估指標。將 4種功率分配方法在 3GHz Pentium IV 1GB-RAM個人計算機的 MATLAB環境下執行，并采用MATLAB配置的tic/toc命令統計各種方法的處理時間。可以看出，與最優功率分配方法相比，所提出的功率分配方法有效地降低了計算復雜度。

圖2 基站天線數M不同時4種功率分配方法的計算復雜度（處理時間）（服務用戶數K=M，所提出方法的門限0.01=?）

所提出功率分配方法的復雜度由迭代次數以及每次迭代中二分法的復雜度共同決定，而后者受到門限值?的影響。圖3對這兩方面的復雜度進行了進一步分析。首先，從圖3(a)中可以看出，所提出的方法相對于門限值?具有很快的收斂速度，當?≤ 0.01時，系統達到穩態性能。其次，圖3(b)分析了基站天線數M對所提出方法的迭代次數的影響。可以看出，隨著基站天線數的增長，所提出方法的迭代次數將緩慢增長。例如，當天線數由2增至16時，迭代次數僅由1.5增至3。這2方面因素共同使得所提出的功率分配方法具有較低的計算復雜度。

圖3 所提出的功率分配方法的復雜度分析（服務用戶數K=M）

6 結束語

本文研究了基于單天線功率約束和ZF預編碼的低復雜度功率分配方法。證明了最優功率分配具有多水平面的灌水結構，并由此提出了一種新的功率分配方法。仿真結果表明，與最優功率分配方法相比，所提出的功率分配方法能夠以很小的性能損失為代價有效地降低計算復雜度，其性能優于現有的等功率分配和啟發式方法。

附錄 qsi(wi) 關于μ的單調性

設滿足 qsi(wi)≥ 0 的μ的變量域為U，下面證明在變同的激活用戶，即具有非零功率的用戶。為了得到 qsi(wi)關于μ的顯式表達式，將變量域U分為多個區域 Uj，的激活用戶組合，記為πj。

對于 μ ∈Uj，由式(16)可知功率分配 p (wi) 為

由式(23)和式(24)可得：

下面證明 qsi(wi) 關于μ的一階導 ? qsi(wi) 是非負的。由式(27)可得

類似地，當 asikE - BkF≤ 0 時，可以證明式(30)給出的不等式仍然成立。因此， ? qsi(wi) 的下限可以表示為

由于E＞0、F＞0以及0≤μ≤1，因此μE/F+(1-μ)＞0。同時，根據式(28)和式(31)，可知?qsi(wi) ≥ 0 。

按照以上的方法，可以證明 qsi(wi) 在每個區域 Uj上都是μ的單調遞增函數， j = 0 ,…, J 。盡管 qsi(wi) 在 Uj的邊界點可能不可求導，但是考慮到 wi是U上的連續函數，這使得λ和 p (wi) 也都是U上的連續函數，因此在變量域U上 qsi(wi) 是μ的單調遞增函數。

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