MATLAB PDE工具箱在稠油輸送管道中的應(yīng)用

張純靜，申龍涉，杜義朋，于麗麗，官學(xué)源，趙燕輝，張國軍(遼寧石油化工

大學(xué)石油 天然氣工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

石油化工

MATLAB PDE工具箱在稠油輸送管道中的應(yīng)用

張純靜，申龍涉，杜義朋，于麗麗，官學(xué)源，趙燕輝，張國軍(遼寧石油化工

大學(xué)石油 天然氣工程學(xué)院，遼寧 撫順 113001)

利用Matlab PDE工具箱可以直接描繪出稠油輸送管道中充分發(fā)展階段的層流場，運(yùn)行得到的參數(shù)與理論計(jì)算值相比誤差很小，隨著網(wǎng)格的精細(xì)化，更加接近于真實(shí)值，為管道內(nèi)稠油的流動(dòng)研究提供了一種直觀、快速、準(zhǔn)確、形象的數(shù)值求解方法。

Matlab PDE工具箱；稠油；偏微分方程；層流場

管道中層流黏性流動(dòng)和紊流黏性流動(dòng)是流體力學(xué)的常見問題，管道中稠油的流動(dòng)為層流黏性流動(dòng)。其中所用的稠油油樣參數(shù)以遼河稠油為依據(jù)，半徑為 35 mm稠油管道在輸送中油溫控制在 85 ℃左右，稠油在85 ℃時(shí)的動(dòng)力黏性系數(shù)為850 mPa·s，軸向的壓強(qiáng)梯度dP/dz為300 Pa/m，以此管道內(nèi)稠油的流動(dòng)為例，說明利用Matlab PDE工具箱如何求解水平管道中充分發(fā)展階段的層流場。

1 Matlab PDE工具箱簡介

在MATLAB命令[1]窗口中輸入命令：pdetool，然后單擊回車鍵，顯示PDE圖形用戶界面。

一般地，利用PDE圖形用戶界面解決PDE問題的過程分為以下幾步：

(1) 選擇應(yīng)用模式；

(2) 建立幾何模型；

(3) 定義邊界條件；

(4) 定義PDE類型和PDE系數(shù)；

(5) 三角形網(wǎng)格剖分；

(6) PDE求解；

(7) 解的圖形表達(dá)；

(8) 數(shù)據(jù)輸出。

2 基本原理

2.1 流體力學(xué)中層流沿軸向流場的微分方程

層流沿軸向流場的微分方程[2]

式中，u(y,z)是 軸方向上的速度，y和 是管道橫截面的笛卡爾坐標(biāo)[3]，點(diǎn)(0,0)是管道的中心點(diǎn)，管道壁的坐標(biāo)(y,z)滿足：

壁面處滯流[4]的邊界條件為u=0。

2.2 Matlab PDE工具箱中的橢圓方程及邊界條件

橢圓方程[5]為

式中，2? 是Laplace算子[6]，u待解的未知函數(shù)，c,a,f是已知的實(shí)值標(biāo)量函數(shù)。

在邊界?W上，方程的邊界條件[7]一般可以寫成：

Dirichlet條件(第一類邊界條件)：hu=rNeumann條件(第二類邊界條件)：

3 求解管內(nèi)稠油輸送

先利用Matlab PDE工具箱求解這個(gè)流場，再將計(jì)算出的流速最大值和平均值與解析法[8]求解結(jié)果相比較。以上面給出的稠油輸送數(shù)據(jù)為參數(shù)，進(jìn)行求解。

PDE類型[9]選定橢圓偏微分方程，即選中Elliptic單選鈕，PDE參數(shù)的設(shè)定如圖1所示，其中設(shè)定

圖1 稠油管道各個(gè)參數(shù)的設(shè)定圖Fig.1 The basic parameter of heavy oil pipeline

初始化網(wǎng)格5次，每次網(wǎng)格化后并對其進(jìn)行微調(diào)，其最后的結(jié)果以等高線的形式繪出，如圖2所示。

圖2 圓形管道內(nèi)稠油流動(dòng)的速度場等值線圖最內(nèi)層等高線的數(shù)值為0.1Fig.2 Contours of velocity field of viscous flow in circular pipe Innermost value of contour is 0.1

圖2中任何節(jié)點(diǎn)處的速度u皆可求出，將網(wǎng)格描述的量p,e,t及求解結(jié)果u輸出在 Matlab命令的窗口中， 給出了網(wǎng)格的坐標(biāo)點(diǎn)，e描述述了格狀三角形的邊緣，t描述角度。由于將會(huì)輸出大量的數(shù)據(jù)，通常取特殊點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證。從圖2可見，速度的最大值出現(xiàn)在管道橫截面的中心點(diǎn)處，為求得該值，在Matlab命令窗口輸入語句：

還可以繪出速度與管道直徑的函數(shù)圖形，首先必須用 tri2grid函數(shù)[10]將三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)添加到位于管道橫截面半徑的點(diǎn)上。在 MATLAB窗口中輸入以下代碼：

得到結(jié)果如圖3所示。

圖3 管道內(nèi)稠油流動(dòng)的軸向流速與半徑的位置關(guān)系圖Fig.3 The relationship of axial velocity and the radius of viscous flow in the pipeline

4 結(jié) 論

MATLAB提供了一個(gè)圖形用戶界面的偏微分方程數(shù)值求解工具，利用該工具可以較形象地描繪出水平輸送管道中運(yùn)動(dòng)稠油充分發(fā)展的層流場，比較準(zhǔn)確的計(jì)算出管道流量，并繪制出了軸向流速與半徑的位置關(guān)系，從而把抽象的公式理論與形象的圖形聯(lián)系起來。

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Application of MATLAB PDE Toolbox in Pipeline Transportation of Heavy Oil

ZHANG Chun-jing，SHEN Long-she,DU Yi-peng, YU Li-li, GUAN Xue-yuan, ZHAO Yan-hui, ZHANG Guo-jun
（Academy of Petrol and Natural Gas Engineering, Liaoning Shihua University, Liaoning Fushun 113001, China）

Using Matlab PDE toolbox can depict the laminar flow field of the full development stages in heavy oil pipeline. Compared with theoretical calculation results, error of gained parameters is small. With refinement of the grid,the gained parameters are closer to the true value, which can provide a fast, accurate numerical solution for studying the flow of heavy oil in pipeline.

Matlab PDE toolbox; Heavy oil; Partial differential equations; Laminar flow field

TE 832

A

1671-0460（2012）01-0048-03

2011-11-07

張純靜（1984-），男，山東菏澤人，2006年畢業(yè)于濱州學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，現(xiàn)為遼寧石油化工大學(xué)在讀碩士，研究方向：稠油集輸系統(tǒng)工藝技術(shù)研究。E-mail：zchunjing@126.com。