競賽中的數(shù)列題評析

2012-11-07 05:56:14

中學教研(數(shù)學) 2012年6期

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(東陽中學浙江東陽 322100)

競賽中的數(shù)列題評析

●陳碩罡

(東陽中學浙江東陽 322100)

全國高中數(shù)學聯(lián)賽經(jīng)過20多年的發(fā)展，雖然試題題型等幾番變化，但總體形成了自己特定的命題風格，特別是一些重點內(nèi)容，可以說是“年年必考、常考常新”.數(shù)列就是這樣的一個內(nèi)容，它在整個中學數(shù)學教學中處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切的聯(lián)系.不少關于恒等變形、解方程組、解不等式以及一些帶有綜合性的數(shù)學問題都與數(shù)列有關，通過數(shù)列能考查學生的綜合思維能力和綜合運用知識解決問題的能力，因此數(shù)列一直受到命題者的青睞.本文將在分析2006～2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽數(shù)列試題的基礎上，提出數(shù)列內(nèi)容備考的若干思考和建議，與同仁們探討.

1 近6年全國高中數(shù)學聯(lián)賽數(shù)列試題回顧

表1 近6年的數(shù)列試題

從表1中，我們可以歸納出全國高中數(shù)學聯(lián)賽對數(shù)列內(nèi)容考查的2個特點：(1)在客觀題中，以考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)為主，同時結合函數(shù)、不等式、數(shù)論等知識進行考查，難度相對穩(wěn)定；(2)在主觀題中，基本上都是考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，然后判斷數(shù)列的性質(zhì)或?qū)ζ淝蠛停蚪Y合其他知識點如存在性問題、唯一性問題等進行考查.對數(shù)列而言，求數(shù)列的通項是解決數(shù)列問題的關鍵，同時這也是解決數(shù)列問題的難點所在.

2 數(shù)列試題評析及備考建議

分析歷年全國聯(lián)賽試題的目的不是要押題猜題，而是要分析競賽試題的特點，把握競賽命題的方向，尋求競賽備考的對策.筆者認為，解決數(shù)列問題的核心是求數(shù)列的通項公式，可以說數(shù)列的通項是數(shù)列問題的生命線.縱觀近幾年的聯(lián)賽數(shù)列試題，最終往往是通過構造等比或等差模型來解決.掌握構造的常見技巧和結論，根據(jù)遞推公式構造等差、等比數(shù)列，是解決問題的難點所在.

2.1 特征根法求通項

例1已知p,q(q≠0)是實數(shù)，方程x2-px+q=0有2個實根α，β，數(shù)列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2(n=3,4,…).

(1)求數(shù)列{an}的通項公式(用α，β表示)；

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解(1)由韋達定理知αβ=q≠0，又α+β=p，因此a1=α+β,a2=α2+β2+αβ,特征方程λ2-pλ+q=0的2個根為α，β．

①當α=β≠0時，通項an=(A1+A2n)αn(n=1,2,…)，由a1=2α，a2=3α2得

解得A1=A2=1,故an=(1+n)αn.

②當α≠β時，通項an=A1αn+A2βn(n=1,2,…),由a1=α+β，a2=α2+β2+αβ得

(2)略.

評析數(shù)列的遞推關系形如an+1=pan+qan-1(n≥2,pq≠0)，其特征方程為x2=px+q，α,β為特征根.(1)若α≠β，則其通項an=Aαn+Bβn；(2)若α=β，則其通項an=(A+Bn)αn-1(式中A，B由初始值a1,a2確定).

2．2 待定系數(shù)法求通項

例2一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第2行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的2個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前100個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是______(可以用指數(shù)表示).

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題)

解(1)易知：該數(shù)表共有100行；

(2)每一行構成一個等差數(shù)列，且公差依次為d1=1,d2=2,d3=22,…,d99=298;

(3)a100為所求．

設第n(n≥2)行的第一個數(shù)為an，則an=2an-1+2n-2，兩邊同除2n可得

評析數(shù)列的遞推關系形如an=pan-1+qrn，往往可變形轉(zhuǎn)化為

這樣就構造了一個等比數(shù)列，從而求得所需的通項公式.

2.3 不動點法求通項

(1)對于怎樣的實數(shù)x與y，總存在正整數(shù)n0，使當n0≥n時，an恒為常數(shù)？

(2)求數(shù)列{an}的通項公式.

(2006年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試試題)

由此遞推，可得

這里Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)，F(xiàn)0=F1=1.由特征根法(或直接由斐波那契數(shù)列的通項公式)得

上式中的n還可以負向延伸，例如F-1=0，F(xiàn)-2=1.這樣，通項公式對所有的n≥0都成立，因此

x2-2px+q=0.

其中{Fn}為斐波那契數(shù)列，由此可求得數(shù)列{an}的通項公式.

對數(shù)列問題而言，求通項公式是關鍵.中學階段常見的是等比模型和等差模型，因此不論碰到什么樣的題目，都要通過對遞推公式進行化簡變形.在這個過程中需要掌握一些常見的結論和固定的變形技巧，在不斷嘗試探索的過程中，完成構造等比數(shù)列模型和等差數(shù)列模型，從而化未知為已知，實現(xiàn)問題的解決.

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