讓學生經歷“數學化”過程
——課例“平行線的判定1”教學實踐與思考

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(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

讓學生經歷“數學化”過程
——課例“平行線的判定1”教學實踐與思考

●傅瑞琦

(金華市教育局教研室 浙江金華 321000)

“數學化”過程是“抽象—符號—應用”的過程(弗賴登塔爾)，是從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程.數學化有橫向數學化和縱向數學化之分，在弗賴登塔爾看來，橫向數學化“是把生活世界引向符號世界”，而“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”，則是縱向數學化,正是這2類“數學化”，恰好體現了數學的發生和發展過程.但是，一些教師由于對教材理解的偏差，課堂更多關注知識本身，常常存在“去數學化”現象，如呈現情景不能有效地喚醒學生已有的生活經驗，結論的得出、定理的歸納沒有充分地展現學生的思考，直接將實際問題提煉成數學問題，學生就失去了體會思維方法和思想方法、在數學化過程中發展能力個性的機會.基于此，本文結合課例“平行線的判定1”的教學實踐，探討如何引領學生經歷數學化過程，探索、掌握和應用數學知識，并總結反思.

1 課例過程呈現

1.1 創設情境，引入新課

播放皮劃艇靜水項目比賽的視頻，教師解釋皮劃艇比賽規則，讓學生帶著問題觀察：

(1)各皮劃艇航線之間有怎樣的位置關系？

(2)皮劃艇沖向終點時，皮劃艇的航線與終點線有怎樣的位置關系？

(3)為什么各皮劃艇的航線與終點線保持垂直就可以保證航線相互平行？

這是來自現實的任務，首先要求進行橫向數學化，生成數學與生活的聯系，讓學生從實際問題思考剝離出數學問題.將教材中自行車騎車線路問題調整為皮劃艇比賽的情景，在圖形直覺上更有平行線的感覺，容易抽象出平行線.讓學生經歷結合圖形直覺來判定直線互相平行的過程，認識到用定義來判定2條直線平行的困難，體會“為什么要學習平行線”，激發有意義學習的心向.

1.2 引導探究，發現新知

觀察視頻后，教師出示如下問題，讓學生動手畫、動腦思考的基礎上，演示動畫過程.

圖1 圖2

問題如圖1，若你是一位皮劃艇運動員，現在位置在點P，l1為另一皮劃艇航線，你能畫出你自己的航線l2嗎？

在學生畫圖后，引導思考問題：

(1)在畫圖過程中，哪一對角始終保持相等？

(2)如圖2，把l1與l2看成被尺邊l3所截，那么這一對是什么角？

(3)由此你可以得出一個什么結論？

為學生搭建合適的數學活動，讓每位學生都能動手畫圖，積極參與其中，并在動畫演示中關注畫圖過程始終保持相等的一對角，完成歸納概括，獲得利用同位角相等來判定平行線的方法，這是縱向數學化過程.在此過程中，學生經歷了數學探究和歸納的過程，感受平行線判定公理實際上是“三線八角”圖形的一種特殊位置，體會“判定平行線的方法”的優越，發展學生思維的邏輯性和條理性.

1.3 嘗試運用，鞏固新知

(1)在圖3和圖4中，如果要說明AB∥CD，請你找出一對相等的角？

圖3 圖4

(2)圖5是一個掛物架,為了說明AB∥CD,你認為需要驗證哪2個角相等?

利用你的拇指與食指來做一個游戲，在同一平面內，你能根據今天學過的判定方法來構造平行線嗎?請與同桌交流.

圖6是學生展示的手型，讓同伴指出判定手指所在的直線平行的一對相等的同位角.

圖5 圖6

例1已知直線AB，CD被EF所截,如圖7，∠1=45°,∠2=135°,試判斷AB與CD是否平行，并說明理由.

對例題的分析，教師設計問題清單，分析思路，并規范板書.

(1)猜測AB與CD平行嗎？

(2)要說明AB與CD平行，關鍵找什么？

(3)如果∠1=45°，那么能得出∠3=45°嗎？

圖7 圖8

變式練習如圖8,已知直線AB，CD被EF所截,如果∠2+∠1=180°，請判斷AB與CD是否平行,并說明理由.

通過圖形變式，更為準確地理解判定方法的本質特征、內涵和外延；讓每個學生積極參與，將學生已有的生活體驗和教師制定的學習目標之間建立起聯系的橋梁;例題教學時本節課的難點，以問題清單的形式來引導思考，讓學生經歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀，體會通過合情推理探索數學結論，運用演繹推理加以說明的過程.

另外，安排適當的問題進行鞏固，并讓學生結合圖形用符號語言表示，簡潔地描述文字語言和圖形間的關系，是培養學生掌握幾何語言的重要手段，是“縱向數學化”的表現.學生的書寫及教師的及時反饋，讓學生進一步領會證明書寫的規范要求.

1.4 用于生活，體驗成功

問題1為什么每只皮劃艇都沿著垂直于終點線的方向行駛，就能保證航線互相平行？

分析畫出幾何圖形即可轉化為數學問題，其問題轉化為：如圖9，已知AB⊥EF，CD⊥EF，得到AB∥CD，你能說明理由嗎？

圖9

引導學生共同歸納：在同一平面內，垂直于同一條直線的2條直線互相平行.

問題2如圖10，在比賽過程中，一皮劃艇在前進過程中，不慎向右偏轉5°，為了與原來的方向保持一致，該運動員應如何調整航向？

分析要使后來的方向與原來的方向一致，那么后來的航向與原來的航向有怎樣的位置關系？讓一學生畫出后來的航向，并回答只要保證哪一對角相等即可求解(如圖11所示).

圖10 圖11

一艘皮劃艇在前進過程航向偏離的實際問題，借助直觀的幾何圖形，就變得簡明、形象.再回到現實問題的情境，去體驗和解釋其實際意義時，又是一個橫向數學化的過程.利用幾何直觀來描述和分析數學問題，有助于探索解決問題的思路.

1.5 理順所學，歸納小結(略)

1.6 延伸提高，挑戰自我

練習甲、乙2艘船只分別從港口A，B出發，下列情況中，甲、乙船的航線是否互相平行，試說明理由.

(1)港口B在港口A的正東方向.

①如圖12，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛；

②如圖13，甲船沿北偏東30°方向行駛，乙船沿南偏西30°方向行駛；

圖12 圖13 圖14

(2)如圖14，甲、乙2船都沿北偏東30°方向行駛.

設計有層次的問題組，圍繞平行線判定方法這一中心展開和深化.第(2)小題的求解，體現了分類思想,讓不同思維層次的學生都可以參與,使相應的核心知識、重要思想成為一個有機整體.

1.7 作業布置，分層要求(略)

2 教學實踐的思考

2.1 反思課堂“數學化”過程

教材把“同位角相等，兩直線平行”作為公理看待，在教學時,如何讓學生發現、歸納、體現“數學化”過程，本課例中作了有益的探索.從八年級學生的思維特點分析，他們正處于從直觀形象思維向抽象邏輯思維轉折的時期.在教學時，經歷現實生活中平行線的實物情景，通過回顧推平行線法畫圖，引導學生操作、觀察、歸納概括出這種畫法的本質.在學習中經歷“生活經驗的直觀感知—操作確認—抽象概括—理性思辨”的“數學化”過程，這樣的安排注重知識的生長點，建立在學生已有的知識技能基礎之上，學生比較容易接受.利用生活經驗中的數學事實，通過推理、反思，達到“數學化”，使“數學化”貫穿于學習的全過程,實現數學素養的提高.

從課堂實踐看，需要給學生創造數學活動、數學思考、經歷數學化的機會.關注學生數學化的過程，一是需要設計基于學生生活實踐的問題情景，二是為學生搭建合適的數學活動，三是為學生提供進行自我建構的時間和空間.

2.2 反思課堂的教學效果

在整個教學過程中，由于教學設計時能夠充分考慮學生已有的知識，合理地應用“數學化”的教學策略，從而使教學環節自然、流暢，在每一個環節，學生都能夠積極參與.

在教學時，教師用推三角板畫平行線的方法，讓每位學生多畫幾條平行線,從中感悟畫平行線的實質.教師通過動畫演示來讓學生關注保持原圖像與像平行，學生參與了整個探究過程并歸納得到平行線的判定方法，使學生成為知識的發現者.

探討皮劃艇比賽中的平行航線問題，動手畫平行航線，修正皮劃艇在前進過程航向的偏離，以及不同港口出發2艘船的航線平行判定，成為本節課組織教學的主線.以“問題”貫穿整個教學過程，使學生在設問和釋問的過程中萌生自主學習的動機和欲望，逐漸養成思考問題的習慣.

[1] 顧繼玲.讓學生經歷“數學化”的過程[J].中學數學教學參考，2011(7):2-4.

[2] 羅增儒.數學效能的故事[J].中學數學教學參考，2011(5):1-4.

[3] 章建躍.探究教學規律造就教學名師[J].中國數學教育，2011(1/2):1-4.