求解病態線性方程組的一種新的Jacobi迭代算法

孔祥強 (菏澤學院數學系，山東 菏澤 274000)

求解病態線性方程組的一種新的Jacobi迭代算法

孔祥強 (菏澤學院數學系，山東 菏澤 274000)

給出了求解病態線性方程組的一種新的Jacobi迭代算法，證明了算法的收斂性，并通過算例說明了算法的實用性和有效性。

Jacobi迭代法;病態線性方程組;收斂性

Jacobi迭代法是解線性方程組的一種有效方法，它具有存儲量小、程序簡單的特點[1]。但當方程組的系數矩陣為病態時，該方法不能再使用。下面，筆者給出了一類全新的Jacobi迭代算法。

1 Jacobi迭代法

設A=(aij)∈Rn×n,且A為非奇異矩陣,b∈Rn,線性代數方程組Ax=b有解的一階定常迭代法為x(k+1)=Bx(k)+f,其中B=(bij)∈Rn×n。記J為Jacobi法的迭代矩陣，則J=D-1(L+U)。式中：

Jacobi迭代法[1]的矩陣形式為：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

(1)

分量形式為：

(2)

2 新的Jacobi迭代法及收斂性證明

設Ax=b,其中A非奇異且病態。令A=D+M,則Dx+Mx=b,在兩邊同時加上擾動項ωFx(ωgt;0,F為矩陣),ωgt;0,變為:(D+ωF)x=b+(ωF-M)x,則新的Jacobi迭代格式為：

(3)

定義1[2]設A∈Rn×n，若存在正對角矩陣D，使AD為嚴格對角占優矩陣，則稱A為廣義嚴格對角占優矩陣。

引理1[2]設A=(aij)∈Rn×n為廣義嚴格對角占優矩陣,則aii≠0,且det(A)≠0。

引理2[2]嚴格對角占優矩陣、不可約對角占優矩陣,均為廣義嚴格對角占優矩陣。

為方便起見,不妨設F=diag(f1,f2,…,fn)為對角矩陣。

下面給出不同于文獻[3]的迭代法。

定理1設A為廣義嚴格對角占優矩陣,ωgt;0,且矩陣F的對角元素滿足：

則新的Jacobi迭代法(3)收斂。

令Ax=b的新的Jacobi法的迭代矩陣G=(D+ωF)-1(ωF-M),考察G的特征值，即考察G的特征方程的根:

依引理1,aii≠0(i=1,2,…,n)，于是:

若能證明，當|λ|≥1 時，則det(C)≠0，于是G的特征根絕對值均小于1，由迭代法基本定理[4]，解Ax=b的新的Jacobi迭代法收斂。事實上：

當|λ|≥1且λ≥1時，|cii|=|λ(aii+ωf1)ei-ωf1ei|(ωgt;0)。

λ≤-1時的情形與λ≥1類似，不再重復。

推論1在定理1,若A為嚴格對角占優矩陣(或不可約對角占優矩陣)，則依引理2，結論仍成立。

推論2在定理1，若取：

下面給出式(3)的分量形式：

(4)

3 數值算例

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收斂；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表1所示；精確解x*=(1,1,1)T。

表1 初值x(0)=(0,0,0)T,迭代 9步結果

若采用文獻[5]的方法，至少迭代31步，才有上述的結果。

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收斂；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表2所示； 精確解x*=(1,1,1，1)T。

表2 初值x(0)=(0,0,0,0)T,迭代 23步結果

若采用文獻[6]的方法，迭代的次數遠超過23次。

從表1和表2看出,ω取不同的值時,式(4)的收斂速度不同。相同迭代步數下的誤差相差明顯。

4 結 語

構造了一種病態線性方程組的高效迭代算法，該方法具有以下優點：計算效率高，以較快的速度收斂，一般只需數十次迭代，即可求得滿足精度的近似解；該方法的收斂速度，不受矩陣階數的限制；迭代公式中ω的選取具有靈活性，ω的適當選取，會使計算簡便。

[1]關治,陳景良.數值計算方法[M].北京:清華大學出版社,2000.

[2]程公鵬.矩陣論[M].西安:西北工業大學出版社,1999.

[3]林勝良.病態線性方程組解法研究[D].杭州:浙江大學,2005.

[4]易大義,陳道琦.數值分析引論[M].杭州:浙江大學出版社,2001:305-408.

[5]張艷英,張蘋蘋.病態方程組的一種精確解法[J].哈爾濱工業大學學報,1995,27(6)：26-28.

[6]富明慧,張文志.病態代數方程的精細積分解法[J].計算力學學報,2011,28(4):530-534.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.003

O241.6

A

1673-1409(2012)03-N007-03

2011-12-28

山東省統計局重點課題項目(KT11048)；山東省教育科學“十二五”規劃重點課題項目(2011GG049)。

孔祥強(1983-)，男，2005年大學畢業，碩士，助教，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作。