一類生化反應方程的周期解

黃建吾 (閩江學院數學系, 福建 福州 350108)

一類生化反應方程的周期解

黃建吾 (閩江學院數學系, 福建 福州 350108)

討論了J.Higgins提出的一類雙細胞生化反應模型，并利用Schauder不動點定理以及指數型二分性理論給出了該類型生化反應模型周期解的存在條件。

Schauder不動點定理；周期解；指數型二分性

關于J.Higgins提出的描述2個細胞生化反應的模型：

(1)

有不少關于極限環討論的研究成果[1]。在模型(1)的基礎上，文獻[2]討論了該模型具有米氏飽和反應速度的情形，文獻[3]討論了該模型具有二重飽和反應速度的情形，得到該系統極限環存在性或唯一性的若干充分條件。下面，筆者利用Schauder不動點定理及指數型二分性理論，對周期系數模型：

(2)

進行了探討，并給出了模型(2)周期解的存在條件。顯然，模型(2)包含模型(1)。

1 引 理

引理1[4]若系統x′=A(t)x具有指數型二分性，且：

A(t+ω)=A(t)B={f(t)|f:R→Rn,f(t+ω)=f(t),f(t)有界可積}

則對任意的f(t)∈B，系統x′=A(t)x+f(t)有唯一有界周期解，且該解為：

其中，X(t)是系統x′=A(t)x的基本解方陣；P為投影方陣。

引理2[1](Schauder不動點定理) 設M是線性賦范空間F中的一個有界閉凸子集，T:M→M連續，TM列緊，則T在M上必有一個不動點。

引理3[5]若F是區間I上定義的函數族，任意的f∈F皆在I上可微，且{f′(x):f∈F}在I上一致有界，那么F在I上等度連續。

引理4[1](Ascoli定理) 設F={fn(t)|fn:R→Rn}，若F一致有界且等度連續， 則F存在子列{fnk(t)} 在任意有限區間上一致收斂。

引理5[5]若函數f(x)在區間I上滿足：存在常數r≥0,對任意的x,y∈I均有：

|f(x)-f(y)|≤r|x-y|

則f(x)在I上一致連續。

2 主要結果

定理1對模型(2)，若kα-1(A+2B+1)≤1，則模型(2)存在周期解。

證明設M={φ(t)|φ∈C(R,R),φ(t+ω)=φ(t)，|φ(t)|≤1}，?φ1,φ2∈M,?0≤λ≤1有|λφ1+(1-λ)φ2|≤1，故M是有界函數空間的有界閉凸子集。將模型(2)變形為:

(3)

?φ(t)∈M，考慮線性系統：

(4)

可驗證式(4)齊次部分有基解矩陣如下:

(5)

則：

(6)

故：

(7)

這樣，系統(4)的齊次部分具有指數型二分性(其中P=I)。由引理1，系統(4)有唯一周期解：

(8)

?φ∈M，定義映射T：Tφ(t)=yφ(t)，下面證明T有不動點。

2)TM是列緊的。事實上，由于：

事實上，由式(6)和式(7)可得：

則：

所以T是連續的。

由Schauder不動點定理知T有不動點，記為φ0(t),有φ0(t)=Tφ0(t)=yφ0(t),于是有:

[1]鄧宗琦，吳克乾，梁肇軍，等.常微分方程與控制論[M].武漢：華中師范大學出版社,1988.

[2]陽平華，徐瑞，胡寶存.一類生化反應系統的定性分析[J].生物數學學報,1998,13(3):361-364.

[3]黃建華，張新建.一類生化反應系統極限環的存在唯一性[J].生物數學學報,2000,15(4): 432-436.

[4]林發興. 線性系統指數型二分性[M].合肥：安徽大學出版社，1999.

[5]黃建吾. 二次周期系數微分方程的周期解[J].純粹數學與應用數學，2004，20(2)：145-149.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.004

O175.1

A

1673-1409(2012)03-N010-03

2012-01-16

黃建吾(1973-)，男，1995年大學畢業，碩士，副教授，現主要從事微分方程方面的教學與研究工作。