連分式與曲線擬合模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用研究

趙 言，花向紅，尹志永

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢430079;2.天津測繪院，

天津300381;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢430079)

連分式與曲線擬合模型在沉降監(jiān)測中的應(yīng)用研究

趙 言1，2，花向紅1，3，尹志永2

(1.武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北武漢430079;2.天津測繪院，

天津300381;3.武漢大學(xué)災(zāi)害監(jiān)測與防治研究中心，湖北武漢430079)

分析沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點，采用連分式和曲線擬合模型對建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行處理，實現(xiàn)兩種數(shù)據(jù)處理模型的建模過程并進行對比分析。最后將模型用于建筑物沉降量的實際預(yù)測，驗證模型的可行性及實用性。

連分式;曲線擬合模型;建筑物沉降;變形預(yù)報

一、引 言

隨著現(xiàn)代數(shù)據(jù)處理技術(shù)方法的不斷進步，可應(yīng)用于建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理的模型與方法有很多，如自回歸分析法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法等，但這些方法對沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)都有一定的建模要求，如果條件不符或達不到，則會出現(xiàn)建模錯誤，或在預(yù)報分析中產(chǎn)生較大的誤差。針對這種情況，通過分析建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的特點，將連分式法和曲線擬合法引入建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中。通過對武漢市某小區(qū)樓房建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進行計算、分析，比對兩種方法處理實測數(shù)據(jù)的結(jié)果，驗證其可行性與實用性。

二、連分式擬合模型

設(shè)已知監(jiān)測數(shù)據(jù)擬合函數(shù)f(x)在某一監(jiān)測點n+1期的變化量為yk=f(xk)(k=0，1，…，n)，構(gòu)造函數(shù)連分式

使得

構(gòu)造連分式擬合函數(shù)如式(1)，實際上就是根據(jù)監(jiān)測對象周期和監(jiān)測對象形體變化量n+1期的數(shù)據(jù)所要滿足式(2)的條件，確定式(1)中的參數(shù)a0，a1，…，an，進一步建立連分式擬合模型方程。

根據(jù)數(shù)學(xué)公式變換，將式(1)經(jīng)過整理得到有理分式，因此，連分式插值(擬合)又稱有理插值。但在實際應(yīng)用中，連分式這種形式運算比較方便，而且不存在誤差累計的問題，所以一般不把連分式化為有理分式。

為了確定式(1)中的各參數(shù) a0，a1，…，an，將式(1)進行逐節(jié)分解，即有

由式(3)可以看出

由式(3)和式(4)，可得

由式(6)可以計算得到ai=φi(xi)(i=0，1，…，n)的遞推公式

根據(jù)式(7)可以計算出ai=φi(xi)(i=0，1，…，n)的格式系數(shù)。

對連分式模型精度(即模型擬合程度)評定的方法有殘差大小檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗3種，本文采用后驗差方法檢驗連分式模型的精度(具體詳見參考文獻［2］)。

三、曲線擬合預(yù)測模型

曲線擬合通常也稱離散數(shù)據(jù)的曲線擬合，指的是從給定函數(shù)y=u(t)的一組觀測值(ti，yi)(i=0，1，…，m)選定一組簡單函數(shù)φk(t)(k=0，1，…，n)作為基函數(shù)，通過確定方程 f(t)=x1φ1(t)+ x2φ2(t)+…+xnφn(t)指定的參數(shù)xk，使f(t)與觀測值(ti，yi)在總體上盡可能接近，即得到一個最佳的函數(shù)f(ti)來逼近yi。

在建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)建模時，假設(shè)某建筑物監(jiān)測點的高程為y，其中y是隨觀測時間(或觀測周期)x變化而變化的函數(shù)。假設(shè)y=a0+a1x+a2x2+…+amxm，令

式中，m為擬合多項式次數(shù);n為特征點重復(fù)觀測次數(shù)。

根據(jù)最小二乘原理，可得

將通過式(8)求得的模型系數(shù)代入擬合方程，即得到曲線擬合模型。但建立的曲線擬合模型是否與實際變形規(guī)律相符合，需要對預(yù)測方程進行假設(shè)檢驗。

如果建立的曲線擬合模型與建筑物形體變化規(guī)律相符合，那么曲線擬合方程的系數(shù):ak≠0(k= 0，1，…，n)，否則ak=0(k=0，1，…，n)。于是可作檢驗假設(shè):H0:ai=0，H1:ai≠0。根據(jù)F分布的定義，檢驗公式如下

給定顯著水平α，當(dāng)式(9)中的F＞Fα(1，n－2)時，則拒絕H0，接受H1，認為形變量y(t)線性依賴于時間變量φ(t)，即存在線性關(guān)系，所建立的曲線擬合模型有效;否則，認為所建立的曲線擬合模型無效。

四、實例分析

根據(jù)以上連分式和曲線擬合模型建模原理，筆者利用對武漢市某小區(qū)建筑物一個沉降監(jiān)測點監(jiān)測獲取的監(jiān)測數(shù)據(jù)，取其中連續(xù)的33期進行建模分析(前30期用于建模，后3期用于監(jiān)測模型預(yù)測效果評價)，通過獲取距離擬合(預(yù)測)周期最近的10期數(shù)據(jù)(即建立該連分式模型至少需要10期監(jiān)測數(shù)據(jù))，建立連分式擬合模型，并對用于建模的前30期監(jiān)測數(shù)據(jù)進行擬合，同時預(yù)測后3期(第31、32、33期)數(shù)據(jù)，得到結(jié)果如表1所示。表1中，T為觀測周期;Δh為沉降監(jiān)測值;Δh'為連分式擬合模型擬合值;ΔC1、ΔC2、ΔC3分別為二次、三次、四次曲線擬合模型擬合值。

表1 沉降監(jiān)測值與模型擬合值 cm

可求得后驗差比值:C=S2/S1=0.219，小誤差概率:P={|Δ(k)|＜0.674 5S1}=1，即連分式模型擬合值與監(jiān)測值的差值全部小于0.067 45S1，根據(jù)后驗差法精度判定標(biāo)準(zhǔn)，可判定C=0.219＜0.35，且P=1＞0.95，模型等級精度為1級(好)，因此，所建立的連分式擬合模型可以用來處理沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)，且模型擬合精度很高(具體如圖1所示)。

對曲線擬合模型，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，可以求出四階曲線擬合模型的中誤差為±0.08，擬合效果最好，因此，選擇四階曲線擬合模型為預(yù)測模型。由f檢驗可知，因線性關(guān)系引起的偏差平方和 QR= 0.553 6，因除線性關(guān)系之外的其他因素引起的偏差平方和QE=0.08，經(jīng)計算，取顯著水平α為0.05時，F(xiàn)=193.76，F(xiàn)a(1，28)=4.20，F(xiàn)＞Fa(1，28)，模型顯著。因此，根據(jù)實測沉降數(shù)據(jù)建立的曲線擬合模型也能較好地反映建筑物實際的沉降變化情況，同樣也具備較高的擬合精度(具體如圖1所示)。

圖1 模型擬合預(yù)測值與監(jiān)測值比較

根據(jù)建立的連分式擬合模型和四階曲線擬合模型，對未來3期數(shù)據(jù)(第31、32、33期)小區(qū)建筑物的沉降值進行預(yù)測，如表2所示。表中，T為觀測周期，Δh為沉降監(jiān)測值，Δh'為連分式擬合模型預(yù)測值，ΔC3為四階曲線擬合模型預(yù)測值)

表2 模型預(yù)測值與實測值對比 cm

從表2模型預(yù)測值與實測值的對比可以看出，連分式擬合模型和四階曲線擬合模型在短周期預(yù)報時具有較高的預(yù)測精度，隨著預(yù)報周期次數(shù)的增加，預(yù)報精度逐漸降低。對比連分式擬合模型與四階曲線擬合模型預(yù)測值與實測值差值的大小，雖然連分式擬合模型在擬合建模數(shù)據(jù)過程中有個別值相對于四階曲線擬合模型相差較大，但在預(yù)測未來周期沉降變化量的效果要比四階曲線擬合模型預(yù)測的效果好。

五、結(jié)束語

通過對連分式與曲線擬合模型的研究，分別將其應(yīng)用到實際的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中，根據(jù)模型建模原理實現(xiàn)了兩種模型的建模過程，并對具體監(jiān)測形體的沉降值進行了預(yù)報分析。經(jīng)過對擬合預(yù)測結(jié)果的分析、對比，得出這兩種數(shù)據(jù)處理方法都能達到預(yù)期的精度要求，以及連分式擬合模型的預(yù)測精度要比最優(yōu)階次曲線擬合模型的預(yù)測精度稍好的結(jié)論。值得一提的是，在建筑物突然發(fā)生大幅度的形體沉降變化時，這兩種預(yù)報模型的預(yù)測精度不再能夠得到保證，主要是因為連分式和曲線擬合模型都是建立在連續(xù)變化的監(jiān)測數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的線性模型，對建筑物突變性沉降的預(yù)測能力較低。因此，若要在有突變性變化的情況下仍然取得較高的預(yù)測精度，需增加相應(yīng)的參數(shù)變量。

［1］ 徐士良.數(shù)值分析與算法［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2007.

［2］ 黃聲享，尹暉，蔣征.變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2007.

［3］ 李強.關(guān)于連分式中幾個問題的研究［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2009.

［4］ 湯仲安.矢量GIS平面一般曲線等概率密度誤差模型的幾何特征［J］.測繪學(xué)報，2007，36(1):91-95.

［5］ 金彪，吳北平，李艷芳.曲線擬合與自回歸模型在地鐵變形監(jiān)測中的運用［J］.地礦測繪，2009，25(1):35-37.

［6］ 肖萍.連分式漸近式的一個遞推算法及其應(yīng)用［J］.中南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2002，33(5):547-549.

Application of Continued Fraction and Curve Fitting Model to Subsidence Monitoring

ZHAO Yan，HUA Xianghong，YIN Zhiyong

0494-0911(2012)06-0019-03

P258

B

2011-06-01

國家自然科學(xué)基金項目(41174010;41074025)

趙 言(1988—)，男，安徽亳州人，碩士生，主要研究方向為精密工程測量與工程變形監(jiān)測。