航天器規避動態障礙物的自適應人工勢函數制導

高鵬 羅建軍

（1西北工業大學航天學院，西安710072）（2航天飛行動力學技術重點實驗室，西安710072）

1 引言

人工勢函數 （Artificial Potential Function，APF）制導方法具有在復雜環境下形式簡單、計算量小等優點，近年來在空間近距離接近和操作方面得到了廣泛關注。文獻［1］將APF方法應用到航天器自主避障的軌道設計中，將追蹤航天器在障礙物約束條件下的運動轉化為在勢力場中的運動，并以邏輯判斷的形式進行末制導。文獻［2-3］研究了在國際空間站的交會對接和近距離作業中，采用勢函數制導的安全自主近距離機動，對有靜態路徑約束的勢函數制導算法進行了開發和評估。文獻［4］針對非合作目標，研究了規避靜態障礙物的勢函數制導，并且在末制導階段考慮安全走廊。文獻［5］將人工勢函數法與模糊控制方法結合起來，考慮規避動態障礙物，安全、快速地逼近目標。文獻［6］提出一種自適應的人工勢函數制導方法，針對靜態障礙物，研究了航天器近距離操作中的軌道和姿態運動快速規劃，比傳統人工勢函數制導方法更加節省燃料。上述研究大多針對靜態障礙物，且引入的斥力函數會使總的勢函數在收斂點處的值不為零，并且沒有考慮速度變化對引力勢函數的影響，影響了收斂精度和燃料消耗。

為此，本文首先針對傳統人工勢函數制導中引入斥力函數會使勢函數在收斂點處的值不為零的情況，對斥力函數乘以修正項，使得在收斂點勢函數為零。然后，在規避靜態障礙物的基礎上，研究了規避動態障礙物的勢函數制導。最后，針對傳統人工勢函數沒有考慮速度變化的不足，考慮速度與引力梯度場之間的關系，采用負反饋，使引力梯度場 “適應”速度變化，研究規避動態障礙物的自適應人工勢函數 （AAPF）制導，并比較APF制導與AAPF制導的收斂精度和燃料消耗。本文研究的AAPF制導可用于航天器近距離安全接近的高精度、燃料較省的制導和控制任務中。

2 相對運動模型

若兩航天器運行在近圓軌道上，相鄰航天器在目標航天器軌道系中的相對運動可用C-W方程描述。定義目標航天器軌道坐標系為O-xyz：原點O在目標航天器質心，Ox軸由地心指向目標航天器，Oy軸在軌道平面內與Ox軸垂直并指向目標航天器前進方向，Oz軸按右手法則確定。在目標航天器軌道坐標系O-xyz中，將C-W方程寫為狀態空間方程形式：

當f＝0，給定初始條件r0，v0，rf，再給定轉移時間T，對式（1）進行求解，可以得到

式中Φ11（T），Φ12（T），Φ21（T），Φ22（T）均為狀態轉移矩陣。

所需施加速度脈沖：

進而可以得出脈沖作用后的任意時刻t的速度的表達式：

式中 上標 “＋”號表示脈沖作用后的狀態。

3 規避動態障礙物的自適應人工勢函數制導

所謂 “障礙物”是指在航天器的飛行軌道上或追蹤航天器接近目標航天器的規劃路徑上，阻礙航天器飛行或對其飛行安全造成威脅的空間物體，也可以是一些飛行路徑約束。通常是在規劃路徑上飛行的航天器、空間碎片或假設的航路點約束、飛行路徑和區域限制等。動態障礙物是指其相對于目標航天器的相對運動速度不為零。

3.1 人工勢函數制導

規避動態障礙物的人工勢函數制導方法的主要思想是：以追蹤航天器安全有效地接近目標航天器為目標，首先定義一個合適的標量勢函數，該勢函數在期望的目標狀態位置具有全局最小值，并且用具有較高勢函數值的區域表示運動路徑的限制條件或對障礙物的規避，其中高值勢函數區域的梯度值直接反映了施加在被控對象上規避障礙物或禁飛區域的斥力大?。蝗缓筮x擇適當的控制律使勢函數的導數為負定，這樣便可以應用Lyapunov穩定性理論確保航天器的速度和位置均收斂于期望的目標狀態點，且不違背路徑限制條件，從而在追蹤航天器接近目標航天器的過程中，實現對追蹤航天器在整個狀態空間中的運動趨勢控制和對障礙物的規避［4］。

在存在障礙物情況下，勢函數φ為引力勢能函數φa與斥力勢能函數φr之和，即有φ＝φa＋φr。通常選取φr為高斯函數形式，即

式中ψ和σ為斥力勢的高和寬；ri表示第i個障礙物在目標航天器軌道系下的相對位置矢量；矩陣Ni是與障礙物形狀有關的外形矩陣，當Ni＝I時，障礙物是以ri為中心的球形。考慮到采用式（3）作為φr會導致φ在r＝rf處的值不為零，即勢能函數在期望的平衡點處的值不為零，導致平衡點偏離，精度降低。若選擇Lyapunov函數為勢函數，則不滿足Lyapunov穩定性條件。為使勢能在引入斥力勢能之后，在收斂點處的值為零，可將障礙物斥力勢的表達式修正為［4］

這樣，修正后的勢函數為

式中P為正定對稱矩陣；M為正定對稱矩陣。

為使追蹤航天器一直沿著勢能降低的方向運動，需要對航天器施加控制脈沖作用。施加控制作用的判斷條件是：勢能是否降低。如果勢能降低，則沿著運動方向繼續運動；如果勢能增加或不變，則施加沿勢能梯度方向相反的控制脈沖，使航天器沿著勢能降低的方向運動。控制作用的數學表達式為［1］

式中u表示控制脈沖；k為大于零的常數；符號 “?”表示梯度運算；上標 “-”表示速度脈沖作用前的狀態。整個近距離操作過程中的總控制脈沖消耗為所有時刻所施加的控制脈沖的‖·‖1求和，即

對于動態障礙物，勢函數在障礙物相對位置矢量下的梯度為

勢函數對時間的導數為

3.2 自適應人工勢函數制導及穩定性分析

對于航天器近距離空間操作任務，要求追蹤航天器能夠平穩接近目標航天器，需要均勻施加控制作用，而傳統人工勢函數沒有考慮速度變化對控制作用的影響。這樣，由于初始時刻相對速度與引力勢能梯度相差較大，需施加很大的控制作用；末時刻相對速度與引力勢能梯度相差較小，施加的控制作用很小。整個過程控制作用大小和時間不夠合理，會導致末端收斂較慢，精度不高，甚至在收斂點附近震蕩。針對上述不足，文獻 ［6］考慮速度變化對控制作用的影響，研究了規避靜態障礙物的自適應人工勢函數制導。本文將該方法推廣應用于規避動態障礙物的制導。

自適應人工勢函數制導認為引力勢能的權重為時變的，并使追蹤航天器在施加控制作用之后的引力勢能的梯度 “適應”速度的變化，從而實現航天器近距離接近的快速、較省燃料的自適應制導，其控制律為［6］

式中φ和可通過式（5）和式（9）得到；R為引力梯度系數三角分解后的上三角矩陣，其計算過程如下［6］。

為使追蹤航天器在施加控制作用之后的引力勢能的梯度 “適應”速度的變化，定義廣義誤差向量為施加速度脈沖后的速度與引力勢能梯度之差，即e＝＋-（-?rφa）。考慮到引力勢能的權重為時變的，即P＝P（t），采用三角分解P（t）＝RΤ（t）R（t），有

則引力勢的導數變為

根據式（2）可計算出在任意位置r，t＝0時刻的速度為

這樣，廣義誤差為

對式（13）求導可得

通過適當的變形，有

其中

為使e→0，設計負反饋，令＝-e，得到

為判斷所采用的自適應人工勢函數制導方法在收斂點處的穩定性，下面采用選取Lyapunov函數V＝φ，引力勢能的時變權重P（t）＝RΤR，利用Lyapunov第二法對自適應人工勢函數制導的穩定性進行分析。

1）對于任意的r≠0，都有V＞0，當r＝0時，V＝0；

2）當 ‖r‖ →＋∞時，V→＋∞；

3）當˙V＞0時，利用式（4）、式（10）和式（11），可得

其中r及為有界向量，RΤR為系數矩陣，當轉移時間給定，其他參數均為常值，那么必定存同理，對于第三項，必定存在一個δ2＞0，使得對于第二項·r，該項中只有第一、三項與k有關，其他兩項均為有限值。故通過以上分析，可以得到則存在一個k＞0值，可以使得

4 仿真計算與結果分析

以與運行在軌道高度為700km圓軌道的目標航天器交會對接為例，對APF和AAPF規避障礙物的性能進行仿真。取初始相對位置r0＝［400 500 600］Tm，初始相對速度v0＝［000］Tm／s，末點相對位置rf＝［000］Tm，末點相對速度vf＝［000］Tm／s。

為驗證AAPF制導是否具有規避動態障礙物的能力，任意選取一個動態障礙物，相關的參數及障礙物選取：變量障礙物初始位置障礙物的移動速度其他相關參數設置如下：

式中vmax＝1m／s；ψ＝1.5×105；σ＝900；k＝0.002；仿真步長1s；總仿真時間3 000s；采用四階龍格庫塔進行數值積分。追蹤航天器的相對運動狀態變量及控制作用隨時間的變化曲線如圖1和圖2所示。

圖1 追蹤航天器和障礙物相對目標航天器的運動軌跡Fig.1 Relative moving trajectories of the chaser and obstacle with respect to the target

圖2 追蹤航天器相對位置、相對速度和施加的控制脈沖隨時間的變化Fig.2 Relative position，relative velocity and the control histories of the chaser

由圖1和圖2可以看出：追蹤航天器在AAPF制導律控制作用下，在1 000s之前，成功避開了障礙物，在2 000s之前相對位置、速度矢量均已收斂至0；在整個仿真中AAPF制導控制作用的大小和時間比較合理，這是由于在自適應控制律中考慮了 “適應”速度變化的結果。說明了AAPF制導律的正確性與有效性。

為比較APF和AAPF這兩種制導律的效能，分別考慮無障礙物、靜態障礙物、動態障礙物這3種情況，數值仿真結果如表1所示。另外，為驗證對斥力勢乘以修正項是否能夠提高收斂精度，在相同的初始條件下，對未引入修正項的制導方式進行計算，計算結果如表2所示。

由表1中兩種制導律的對比可以看出，在同樣的初始條件下，在逼近精度方面，AAPF制導比APF制導至少高兩個量級；在速度脈沖消耗方面，前者比后者大約節省30%。這表明，AAPF制導在考慮了速度變化影響后，比APF制導更加節省燃料和具有更高的精度。由表1和表2中相同制導方式的對比可以看出，對斥力勢乘以修正項比未乘以修正項的收斂精度更高。

表1 不同制導方式的計算結果 （有修正項）Tab.1 Results of different guidance methods （with correction term）

表2 不同制導方式的計算結果 （無修正項）Tab.2 Results of different guidance methods （without correction term）

5 結束語

根據航天器近距離操作中，追蹤航天器在向目標航天器逼近過程中規避動態障礙物的需求，本文在能夠規避靜態障礙物的傳統人工勢函數制導方法的基礎上，研究了規避動態障礙物的人工勢函數制導方法?？紤]到在有障礙物情況下，引入斥力勢會使總的勢能函數在收斂點處的值不為0，使得收斂點偏離，影響收斂精度；在斥力勢中加入修正項，使勢能函數在收斂點處為零，從而提高收斂精度。在此基礎上，研究了規避動態障礙物的自適應人工勢函數制導。通過理論分析與仿真驗證，得到的主要結論有：

1）通過引入修正項，使得勢函數在收斂點處的值為零，能夠提高追蹤航天器逼近的收斂精度。

2）APF與AAPF兩種制導律均能使追蹤航天器成功避開動態障礙物，向目標點逼近；AAPF制導方法與APF相比，由于考慮了對速度變化的 “適應”，控制脈沖作用施加更加合理，減少了總速度脈沖消耗，且具有更高的精度。

［1］ISMAEL LOPEZ，COLIN R MCINNES.Autonomous rendezvous using artificial potential function guidance ［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，1995，18（2）：237-241.

［2］COLIN R MCINNES.Autonomous path planning for on-orbit servicing vehicles ［J］.Journal of the British in terplanetary Society，2000，53（1／2）：26-38.

［3］ENDER ST JOHN OLCAYTO，COLIN R MCINNES，FINN ANKERSEN.Safety-critical autonomous spacecraft proximity operations via potential function guidance［C］.45th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit，Reno，Nevada，January 8-11，2007.

［4］張大偉，宋申民，裴潤，等.非合作目標自主交會對接的橢圓蔓葉線勢函數制導 ［J］.宇航學報，2010，10（31）：34-43.ZHANG DAWEI，SONG SHENMIN，PEI RUN，et al.Ellipse cissoid-based potential function guidance for autonomous rendezvous and docking with non-cooperative target［J］.Journal of Astronautics，2010，10（31）：34-43.

［5］ZHANG DAWEI，SONG SHENMIN，PEI RUN.Safe guidance for autonomous rendezvous and docking with a non-cooperative target［C］.AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference，Toronto，Ontario，Canada，2010.

［6］JOSUE D MUNOZ，NORMAN G FITZCOY.Rapid path-planning options for autonomous proximity operations of spacecraft［C］.AIAA／AAS Astrodynamics Specialist Conference，August 2-5，2010.