面齒輪嚙合過程中壓力角對齒面摩擦生熱的影響分析

何國旗 ，嚴宏志，胡威，何瑛，舒陶量

(1.中南大學 機電工程學院，高性能復雜制造國家重點實驗室，湖南 長沙，410083；2.湖南工業大學 機械工程學院，湖南 株洲，412000；3.湖南理工職業技術學院 資源工程系，湖南 湘潭，411104)

面齒輪傳動是一種圓柱齒輪與圓錐齒輪相嚙合的齒輪傳動，其面齒輪屬于特殊的圓錐齒輪，是用尺寸與其嚙合的漸開線圓柱齒輪尺寸相同或者相近的刀具經范成而得到的[1]。面齒輪傳動由于具有結構簡單、傳動重合度大、動力分流效果好、振動小等諸多優點[1]，面齒輪的動力分流傳動裝置在武裝直升機傳動系統中得到應用。由于武裝直升機在飛行過程中的載荷及轉速較高，傳動系統摩擦生熱較大，而且嚙合過程中齒面各點的載荷及相對速度不同，使得輪齒上溫度場分布不均勻，引起齒輪熱彈性變形，不僅會消除齒輪傳動間隙，還將引起齒廓形狀發生改變，這將極大地影響面齒輪的傳動性能、潤滑性能和可靠性，導致傳動失效，因此，齒面溫度成為影響面齒輪傳動質量的重要技術指標。Litvin等[1]對面齒輪傳動的嚙合進行了研究，從嚙合幾何學原理上分析了根切和頂尖的條件，同時發展了點接觸面齒輪。鄧小洈[2]在試驗的基礎上建立了摩擦副導熱的數學模型及邊界條件，采用數值計算方法對摩擦副溫度場在不同工況下的溫度場進行計算，得到了摩擦副的溫度分布狀況；龍慧等[3]系統分析了圓柱齒輪嚙合過程中主、從動輪輪齒的絕對滑動速度和相對滑動速度，建立了齒面摩擦因數和摩擦熱流量的計算方法，并分析了其沿嚙合面的分布規律以及相關的影響因素。肖望強等[4]介紹了非對稱齒輪摩擦熱流量的計算方法，并分析了其沿嚙合面的分布規律以及相關的影響因素，推導了輪齒本體溫度的熱平衡方程，建立了輪齒有限元溫度分析的模型。李政民卿等[5]對面齒輪的嚙合理論進行了研究，主要集中于面齒輪的齒面生成、面齒輪齒寬的限制條件、無安裝誤差及有安裝誤差的齒接觸分析、運動誤差、重合度齒面曲率和齒面速度等。目前，人們對面齒輪嚙合過程中齒面摩擦生熱的研究特別是壓力角對齒面摩擦生熱的影響研究較少。圓柱齒輪和面齒輪接觸表面的摩擦熱流量由齒面的相對滑動速度、接觸壓力和齒面摩擦因數共同決定[2]。為此，本文作者通過對面齒輪齒面幾何特征進行分析，在全膜潤滑的假設條件下，從齒面的相對滑動速度、接觸壓力和齒面摩擦因數等幾個方面研究面齒輪嚙合過程中齒面摩擦生熱以及受壓力角的影響，以便為面齒輪的設計提供有效的理論依據。

1 面齒輪嚙合時齒面相對滑動速度及影響因素分析

1.1 面齒輪嚙合時齒面相對滑動速度形成分析

在面齒輪嚙合過程中，由于圓柱齒輪和面齒輪的尺寸和轉速不同，將導致兩輪齒在嚙合點沿切線方向的速度不相等，使得兩輪齒齒面產生相對滑動[2?3]。

如圖1所示，設圓柱齒輪的齒面IΣ和面齒輪的齒面ΣII某個時刻在N點嚙合，在各自所在的坐標系中，其矢量r1和r2表達式分別為：

在時間dt內，圓柱齒輪的齒面ΣI移動到ΣI′，面齒輪的齒面ΣII移動到ΣII′′，點N運動到N′，該點在齒面ΣI上移到N1，在齒面ΣII上移到N2。

點N隨各自坐標系的運動速度描述為：

圖1 面齒輪傳動時齒面接觸點的運動描述Fig.1 Meshing point movement description of face-gear drive

點N隨同各自坐標系的相對速度為：

1.2 壓力角對齒面相對滑動速度影響分析

本文算例中面齒輪傳動的參數如下：面齒輪傳動的模數為5，面齒輪的齒數為40，圓柱齒輪的齒數為17。圓柱齒輪及面齒輪的材料均為45號鋼，圓柱齒輪進行表面淬火處理，硬度（HRC）為 40～45，面齒輪進行調質處理，硬度（HB）為220～240。齒輪嚙合采用L-AN32全損耗系統用油噴油潤滑，潤滑油的初始溫度和空氣溫度為 25 ℃，彈性模量E為 2.16×1011N·m2，泊松比ν為0.25；面齒輪系統扭矩T為20 kN·m，輸入轉速n1為2 000 r/min。

當壓力角分別為20°和25°時，兩齒輪接觸面切向絕對滑動速度和相對滑動速度沿嚙合區間的分布如圖2所示。圖2中v1和v2分別表示圓柱齒輪和面齒輪沿接觸切線方向絕對滑動速度，vs為嚙合點沿接觸切線方向相對滑動速度；v1(20°)和v1(25°)表示壓力角分別為20°和25°時圓柱齒輪沿接觸切線方向絕對滑動速度；v2(20°)和v2(25°)表示壓力角分別為 20°和 25°時面齒輪沿接觸切線方向絕對滑動速度；vs(20°)和vs(25°)表示壓力角分別為 20°和 25°時為嚙合點沿接觸切線方向圓柱齒輪和面齒輪的相對滑動速度。

從圖2可知：壓力角的改變對絕對滑動速度和相對滑動速度有較大的影響，壓力角為 25°與壓力角為20°相比，圓柱齒輪和面齒輪在嚙合過程中絕對滑動速度增大，而圓柱齒輪和面齒輪的相對滑動速度隨著壓力角的增大而減小。

圖2 不同壓力角的面齒輪齒面沿接觸切線方向絕對滑動與相對滑動速度分布Fig.2 Absolute and relative sliding velocity distribution at tangent direction of different pressure angels

2 面齒輪嚙合區中的接觸應力的確定

2.1 面齒輪嚙合區中接觸應力的計算

根據赫茲理論對接觸物體表面幾何關系的分析可知：物體表面之間有相同距離的點在公切面上將形成類似于橢圓的區域[6?7]。設面齒輪傳動中，和分別為嚙合點處圓柱齒輪齒面的兩主曲率；和分別為嚙合點處面齒輪齒面的兩主曲率。正交主平面與公切面交線的交點分別為(x1，y1)和(x2，y2)。對于點接觸的面齒輪傳動，嚙合點處形成接觸橢圓，根據接觸點主曲率和兩彈性體彈性系數與接觸橢圓區域的關系可知，接觸區域橢圓長短半軸ρx和ρy分別為：

式中：iμ和Ei(i=l，2)分別為圓柱齒輪和面齒輪材料的泊松比和彈性模量；系數u和v為橢圓積分函數。

按照赫茲接觸理論，在接觸橢圓表面上，接觸應力按橢圓體分布，其最大接觸應力σmax在接觸橢圓中心[8]。因此，面齒輪傳動嚙合點處的最大接觸應力σmax為：

式中：ρx為橢圓的長半軸半徑；ρy為橢圓的短半軸半徑。當x=0，y=0時，橢圓中心發生最大應力為：

2.2 壓力角對面齒輪嚙合區中接觸應力的影響分析

對面齒輪嚙合區中的接觸應力進行仿真分析，分析結果如圖3所示。橫坐標從左至右分別為雙齒嚙合區下界點即雙齒齒根嚙入點，單齒嚙合區下界點即單齒嚙入點，嚙合節點，單齒嚙合區上界點即單齒嚙出點，雙齒嚙合區上界點即雙齒齒頂嚙出點。

圖3 中σH(20°)和H(25°)分別表示面齒輪壓力角為 20°和 25°時嚙合區中的接觸應力。由圖3可以看出不同壓力角的面齒輪從齒根嚙入到齒頂嚙出齒面接觸應力沿嚙合線的分布和變化規律。當壓力角為 20°時，在單對齒嚙合區下界點面齒輪的齒面接觸應力達到一個嚙合周期中的最大值，達到850 MPa。當壓力角為25°時，無論單齒嚙合區還是雙齒嚙合區，下界點面齒輪的齒面接觸應力都呈明顯下降趨勢，齒面最大接觸應力σHmax為 780 MPa，且嚙合點接觸區平均壓力σc也減小。

圖3 不同壓力角的面齒輪齒面接觸應力σH變化曲線Fig.3 Contact stress curves of face-gear at different pressure angels

3 面齒輪嚙合時齒面摩擦生熱流量的確定

3.1 面齒輪齒面接觸域的摩擦因數

根據Barone等[9?10]提出的摩擦因數計算公式，對于面齒輪齒面的任意嚙合點C，摩擦因數cμ可表示為：

式中：wcτ為單位寬度上的載荷；η0為潤滑油黏度；v12為嚙合點處相對滑動速度；vr為嚙合點處卷汲速度。

在面齒輪嚙合過程中，接觸點處的相對滑動速度以及卷汲速度隨嚙合點位置的變化而變化，因此，齒面摩擦因數在嚙合過程中也是變化的[8]。齒面接觸區的摩擦因數不僅與面齒輪輪齒嚙合位置有關，而且與面齒輪齒面粗糙度、轉速、接觸載荷等因素有關；同時，還受潤滑油黏度和齒輪本體溫度的影響。其中，轉速及潤滑油黏度是影響齒輪摩擦因數的主要因素。

3.2 面齒輪嚙合區滑動摩擦熱計算

面齒輪嚙合齒面間的摩擦熱主要包括：齒面間的滑動摩擦、滾動摩擦以及金屬彈塑性變形引起的摩擦3個方面。在面齒輪嚙合過程中，輪齒接觸表面的摩擦熱流量與接觸壓力、齒面的相對滑動速度和齒面摩擦因數等有關。齒面上由摩擦產生的熱能一部分通過熱傳導進入齒輪齒體，而另一部分則由作用嚙合齒面的潤滑油通過強制對流傳熱而冷卻擴散。因此，嚙合齒面產生的摩擦熱流量對高速齒輪溫度的改變和分布以及熱的平衡有重要影響[8]。面齒輪嚙合區滑動摩擦熱可按下式計算：

3.3 壓力角對面齒輪嚙合區滑動摩擦熱的影響

對面齒輪嚙合區滑動摩擦熱進行仿真分析，得到面齒輪的摩擦熱流量沿嚙合線的分布如圖4所示。圖4 中qc(20°)和qc(25°)分別表示壓力角為 20°和 25°條件下沿嚙合線的摩擦熱分布。

由圖4可知：壓力角為25°與20°相比，雙齒嚙合區面齒輪齒面摩擦熱流量明顯要小，壓力角為20°時，雙齒嚙合區面齒輪下界點面齒輪齒面摩擦熱流量為120 kN/m2；而壓力角為25°時，雙齒嚙合區面齒輪下界點面齒輪齒面摩擦熱流量約為75 kN/m2。在單齒嚙合區，壓力角為25°與20°相比，雖然單齒嚙合區面齒輪齒面摩擦熱流量要大，但相差很小。

因此，面齒輪輪齒在嚙合區各點處的摩擦熱流量隨著工作齒側壓力角的增大而減小，在齒根處摩擦熱流量最大值減小的幅度最大。

圖4 不同壓力角的面齒輪摩擦熱流量qc沿嚙合線的分布Fig.4 Face-gear friction heat flux distribution along meshing line at different pressure angels

4 齒面間摩擦熱流量的分配

4.1 齒面間摩擦熱流量的分配計算

由于材料、導熱系數以及邊界熱阻等不同，接觸面上產生的摩擦熱流量向兩齒輪的熱量也不相同。由于面齒輪嚙合狀況非常復雜,摩擦因數μ通過實測或經驗數據來確定，一般推薦μ=0.045～0.065[10]，本文取μ=0.050。設兩嚙合輪齒之間摩擦熱分配因子為λ，則齒輪任意嚙合點C處的摩擦熱流量qc分作2部分qc1與qc2，分別流入圓柱齒輪和面齒輪，則2個齒輪各自輸入的熱量分別為[6?8]：

摩擦熱分配因子λ的表達式為：

式中：β1和β2為 2個齒輪材料的導熱系數；ρ1和ρ2為2個齒輪材料的密度；c1和c2為2個齒輪材料的比熱容；vτ1和vτ2為2個齒輪嚙合點C處的切向速度。

4.2 壓力角對齒面間摩擦熱流量分配的影響

從齒根嚙入到齒頂嚙出，圓柱齒輪熱分配系數λ1沿嚙合線增大，面齒輪熱分配系數λ2沿嚙合線減小。對面齒輪嚙合齒面間摩擦熱流量分配進行仿真分析，熱分配系數λ1和λ2沿嚙合線的分布如圖5所示，熱分配系數λ1和λ2與輪齒參與嚙合順序及壓力角有關，使齒輪在嚙合線方向熱分配系數變化率減小。圖5中λ1(20°)和λ1(25°)為壓力角分別為 20°和 25°時圓柱齒輪熱分配系數；λ2(20°)和λ2(25°)為壓力角分別為 20°和 25°時面齒輪熱分配系數。

從齒根嚙入瞬時到嚙合節點，對于圓柱齒輪來講，壓力角為 20°的熱分配系數比壓力角為 25°的熱分配系數要小，但從嚙合節點到齒頂嚙出瞬時，壓力角為20°的熱分配系數比壓力角為25°的熱分配系數要大。面齒輪則與圓柱齒輪相反。而且，從齒根嚙入瞬時到嚙合節點，圓柱齒輪的熱分配系數均小于面齒輪。從嚙合節點到齒頂嚙出瞬時，圓柱齒輪的熱分配系數均大于面齒輪的熱分配系數。但是，圓柱齒輪和面齒輪在壓力角為 25°時的熱分配系數變化比壓力角為 20°時的要小。

圖5 不同壓力角面齒輪熱分配系數λ沿嚙合線的分布Fig.5 Face-gear heat partition coefficient distribution along meshing line at different pressure angels

5 結論

(1)在面齒輪嚙合過程中，壓力角的改變對嚙合齒面的絕對速度和相對滑動速度有很大的影響，隨著壓力角的增大，絕對滑動速度增大，而相對滑動速度則隨著壓力角的增大而減小。

(2)壓力角增大，則圓柱齒輪、面齒輪沿嚙合線的熱分配系數變化率減小。

(3)面齒輪輪齒在嚙合區各點處的摩擦熱流量隨著壓力角的增大而減小，在齒根處摩擦熱流量最大值減小的幅度最大。因此，適當增加壓力角，有利于減少齒面摩擦生熱。

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