高超聲速二元機(jī)翼遲滯非線性熱顫振

鈕耀斌，王中偉

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410073）

顫振問題是飛行器飛行中最有可能發(fā)生災(zāi)難性事故的氣動(dòng)彈性問題。在工程實(shí)際中，飛行器系統(tǒng)會(huì)存在各種非線性因素，降低飛行器的顫振速度，產(chǎn)生極限環(huán)、混沌等不穩(wěn)定現(xiàn)象，嚴(yán)重影響飛行器的飛行穩(wěn)定性和安全性[1?4]。氣動(dòng)彈性的非線性因素主要分為兩大類：氣動(dòng)非線性與結(jié)構(gòu)非線性。激波和氣流分離等因素使得氣動(dòng)力產(chǎn)生了非線性，且隨著馬赫數(shù)的增大，非線性效應(yīng)的影響增大。以往采用線性理論計(jì)算非定常氣動(dòng)力的方法已經(jīng)不再適用。結(jié)構(gòu)非線性的因素比較復(fù)雜：薄機(jī)翼會(huì)產(chǎn)生立方特硬非線性，即隨著扭角的增加，剛度漸硬；失效的控制面會(huì)導(dǎo)致間隙非線性的出現(xiàn)；而高超聲速飛行器大多采用全動(dòng)尾翼結(jié)構(gòu)，常常會(huì)同時(shí)存在間隙和摩擦機(jī)制，產(chǎn)生遲滯非線性特性。另外，對(duì)于高超聲速飛行器，由于氣動(dòng)熱的影響，整個(gè)飛行器結(jié)構(gòu)都處于高溫環(huán)境中，這將導(dǎo)致飛行器表面及內(nèi)部產(chǎn)生熱非線性變形。當(dāng)系統(tǒng)具有非線性環(huán)節(jié)時(shí)，會(huì)呈現(xiàn)出極為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，如極限環(huán)振蕩、周期倍化分岔、混沌運(yùn)動(dòng)等不穩(wěn)定現(xiàn)象。鄭國(guó)勇等[5?6]采用一階近似活塞理論計(jì)算非定常氣動(dòng)力，研究了帶有立方非線性俯仰剛度二元機(jī)翼的氣動(dòng)彈性問題，得出了系統(tǒng)特定參數(shù)下的極限環(huán)顫振和混沌響應(yīng)。方明霞[7]采用三階活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力，研究了高超聲速機(jī)翼的遲滯非線性現(xiàn)象。McNamara等[8?9]研究表明，氣動(dòng)熱對(duì)高超聲速飛行器的氣動(dòng)彈性影響很大，不僅會(huì)降低材料的力學(xué)性能，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生熱應(yīng)力而影響剛度，而且還會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生熱非線性變形，嚴(yán)重影響飛行器的氣動(dòng)彈性穩(wěn)定性。但到目前為止，考慮氣動(dòng)熱效應(yīng)的高超聲速機(jī)翼的非線性氣動(dòng)彈性問題研究的較少。Laith[10?11]采用三階活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力，研究了具有立方非線性機(jī)翼的熱顫振現(xiàn)象。本研究采用三階活塞理論計(jì)算非定常氣動(dòng)力，并考慮高超聲速下氣動(dòng)加熱的影響，對(duì)具有結(jié)構(gòu)遲滯非線性的高超聲速二元機(jī)翼進(jìn)行熱顫振分析。

1 模型與動(dòng)力學(xué)方程

選取單位展長(zhǎng)的高超聲速二元機(jī)翼，其力學(xué)模型如圖1所示。2個(gè)自由度分別為：沉浮自由度h，向下為正；俯仰自由度α，機(jī)翼前緣抬頭為正。b為半弦長(zhǎng)，彈性軸到重心的距離為xab，彈性軸到機(jī)翼中點(diǎn)的距離為ab，自由來流速度為U∞。

圖1 二元機(jī)翼模型Fig.1 Model of two-dimensional airfoil

遲滯非線性廣義力F（x）與位移和速度的關(guān)系可以表示為[12]：

其中：A和B為非線性系數(shù)。

由拉格朗日方程得到高超聲速流中帶遲滯非線性剛度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

機(jī)翼的無量綱運(yùn)動(dòng)方程為：

2 氣動(dòng)力與氣動(dòng)熱

2.1 非定常氣動(dòng)力

對(duì)于高超聲速機(jī)翼的非定常氣動(dòng)力，由于其結(jié)構(gòu)較薄、三維效應(yīng)較小，因此活塞理論仍然適用[13]。另外，在高馬赫數(shù)下，三階活塞理論與歐拉方法相差不大[14]。因此，本研究采用修正的三階活塞理論計(jì)算機(jī)翼的非定常氣動(dòng)力：

其中：p為當(dāng)?shù)貧饬鲏簭?qiáng)；p∞為來流壓強(qiáng)；vz為翼面法向速度；c∞為來流音速；γ為空氣動(dòng)力修正因子；

機(jī)翼中線上任意一點(diǎn)的z方向位移用z（x,t）表示，則有：

對(duì)上表面，

對(duì)下表面，

其中：H（x,y）為機(jī)翼的厚度函數(shù)。

作用在機(jī)翼上的氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩可由下式求得：

2.2 氣動(dòng)熱及其對(duì)剛度的影響

飛行器的高超聲速飛行帶來了巨大的氣動(dòng)熱，嚴(yán)重影響了飛行器的穩(wěn)定性。駐點(diǎn)溫度可以采用下式進(jìn)行估算：

由駐點(diǎn)溫度可得到氣動(dòng)加熱對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的影響[15]：

其中：J為室溫下的扭轉(zhuǎn)剛度；Jeff為氣動(dòng)加熱下的有效扭轉(zhuǎn)剛度；E為彈性模量；G為剪切模量；αth為熱膨脹系數(shù)；為厚度比（即th/b，th為機(jī)翼中點(diǎn)處的厚度）；分別為初始時(shí)刻和f時(shí)刻的駐點(diǎn)溫度。

若初始時(shí)刻和f時(shí)刻的環(huán)境溫度相同，則將式（9）代入式（10）可得到氣動(dòng)加熱對(duì)扭轉(zhuǎn)剛度的影響：

則考慮氣動(dòng)加熱情況下俯仰方向的固有頻率為：

3 數(shù)值仿真與結(jié)果分析

本研究以高超聲速二元機(jī)翼為研究對(duì)象，進(jìn)行熱顫振分析，機(jī)翼沉浮和俯仰的固有頻率比=0.5，其余參數(shù)如表1所示。

3.1 線性顫振速度

線性顫振的分析不考慮各種非線性因素，當(dāng)飛行速度小于顫振速度時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)飛行速度大于顫振速度時(shí)，其振動(dòng)發(fā)散導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。

表1 二元機(jī)翼基本參數(shù)Table 1 Baseline parameters of 2-DOF airfoil

在不考慮非線性因素的情況下，運(yùn)用三階活塞理論計(jì)算氣動(dòng)力，并采用P-K法分析二元機(jī)翼的線顫振速度。得到在馬赫數(shù)Ma=5，厚比比τ=0.1的情況下，高超聲速氣動(dòng)加熱系統(tǒng)的無量綱線顫振速度為vfT=387.59，而不考慮氣動(dòng)加熱的影響時(shí)，其顫振速度為vf=432.36。可見，氣動(dòng)熱效應(yīng)使得機(jī)翼的線顫振速度下降達(dá)10.35%。

機(jī)翼的厚度比對(duì)機(jī)翼外部的氣動(dòng)加熱有很大的影響，從而影響其顫振速度。圖2所示為二元機(jī)翼無量綱熱顫振速度隨厚度比的變化趨勢(shì)。

由圖2可以看出：熱顫振速度隨機(jī)翼厚度比的增大而逐漸增大。這是由于增大厚度比 τ，機(jī)翼外部的氣動(dòng)熱會(huì)有所下降，使得其扭轉(zhuǎn)剛度有所增加，而提高了熱顫振速度。

3.2 非線性熱顫振分析

線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)在流速小于線性顫振速度時(shí)表現(xiàn)為振幅衰減運(yùn)動(dòng)；當(dāng)流速高于線性顫振速度時(shí)表現(xiàn)為發(fā)散運(yùn)動(dòng)。非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)則在小于或高于線性顫振速度時(shí)均表現(xiàn)為極限環(huán)振動(dòng)，甚至出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。

為考慮非線性熱顫振系統(tǒng)參數(shù)大范圍變化時(shí)的分岔問題，選俯仰角加速度正向通過為零時(shí)的點(diǎn)作為軌線與廣義poincare截面的交點(diǎn)，即定義poincare截面為：

圖2 熱顫振速度vf隨厚度比τ變化曲線Fig.2 Heat-flutter velocity with various thickness ratios

根據(jù)poincare截面，可得二元機(jī)翼響應(yīng)振幅隨來流速度變化的分岔圖，如圖3所示。

圖3 響應(yīng)振幅分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram of amplitudes

由圖3可以看出：當(dāng)無量綱來流速度為350.12（約為0.9倍線顫振速度）時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)分岔，系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)闃O限環(huán)振蕩。圖 4所示為來流速度為348.12，350.12及352.12時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)圖。由圖4可以看出：在來流速度未達(dá)到分岔速度時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)是穩(wěn)定的，二元機(jī)翼受到擾動(dòng)后能夠逐漸靜止于平衡點(diǎn)；當(dāng)來流速度達(dá)到分岔速度或超過分岔速度時(shí)，系統(tǒng)并沒有像線性系統(tǒng)一樣顫振發(fā)散，而是顫振幅值穩(wěn)定在某個(gè)特定值，出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)，如圖5所示。當(dāng)流速繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)始終是一個(gè)簡(jiǎn)單的極限環(huán)顫振，其振動(dòng)幅值隨飛行速度的增大而不斷增大。因此，分岔速度成為影響非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的參考點(diǎn)，而分岔速度小于線顫振速度，當(dāng)飛行速度大于分岔速度而小于線顫振速度時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)極限環(huán)振蕩，使結(jié)構(gòu)疲勞破壞。

圖4 俯仰振動(dòng)響應(yīng)曲線Fig.4 Pitching aerothermoelastic time history responses

圖5 俯仰運(yùn)動(dòng)相圖Fig.5 Phase portraits of pitch motion

4 結(jié)論

（1）高超聲速飛行器的顫振速度受氣動(dòng)熱影響很大，影響飛行器的穩(wěn)定性。

（2）機(jī)翼的厚度比對(duì)熱顫振速度有一定的影響，隨著τ的增大，熱效應(yīng)減小，熱顫振速度變大。

（3）非線性系統(tǒng)的顫振問題表現(xiàn)為極限環(huán)振蕩，但其出現(xiàn)極限環(huán)振蕩的臨界速度小于線顫振速度。

（4）在進(jìn)行機(jī)翼氣動(dòng)彈性分析時(shí)，必須考慮遲滯非線性等因素的影響，避免出現(xiàn)極限環(huán)振動(dòng)會(huì)使得結(jié)構(gòu)疲勞受損，導(dǎo)致災(zāi)難性后果。而對(duì)于高超聲速飛行器，其外部的放熱措施至關(guān)重要，合理的放熱措施可以有效提高顫振速度，增大飛行器的穩(wěn)定性。

[1]Dunn P,Dugundji J.Nonlinear stall and divergence analysis of cantilevered graphite/epoxy wing[J].AIAA Journal,1992,30（1）:153?162.

[2]Tang D,Dowell E H.Limit-cycle hysteresis response for a high-aspect-ratio wing model[J].Journal of Aircraft,2002,39（5）:885?888.

[3]Patil M J,Hodges D H,Cesnik C E S.Nonlinear aeroelastic analysis of complete aircraft in subsonic flow[J].Journal of Aircraft,2000,37（5）:753?760.

[4]Patil M J,Hodges D H,Cesnik C E S.Nonlinear aeroelasticity and flight dynamics of high-altitude long-endurance aircraft[J].Journal of Aircraft,2001,38（1）:88?94.

[5]鄭國(guó)勇,楊翊任.超音速流中結(jié)構(gòu)非線性二元機(jī)翼的復(fù)雜響應(yīng)研究[J].振動(dòng)與沖擊,2007,26（12）:96?100.ZHENG Guo-yong,YANG Yi-ren.Complicated response of a 2-D wing structural nonlinearity in supersonic flow[J].Journal of Vibration and Shock,2007,26（12）:96?100.

[6]鄭國(guó)勇,魯麗,楊翊任.大氣紊流作用下超音速二元機(jī)翼的脈動(dòng)響應(yīng)[J].振動(dòng)與沖擊,2009,28（4）:110?112.ZHENG Guo-yong,LU Li,YANG Yi-ren.Pulsation response of a two dimensional wing to atmosphere turbulence in supersonic flow[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28（4）:110?112.

[7]方明霞.具有遲滯非線性的高超聲速機(jī)翼顫振分析[J].力學(xué)季刊,2009,30（4）:626?631.FANG Ming-xia.Hypersonic airfoil flutter with hysteretic nonlinearities[J].Chinese Quarterly of Mechanics,2009,30（4）:626?631.

[8]McNamara J J.Hypersonic aerothermoelastic studies for reusable launch vehicles[C]//45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics &Materials Conference.Palm Springs,California,2004:1590.

[9]McNamara J J,Friedmann P P,Powell K G.Three-dimensional aeroelastic and aerothermoelastic behavior in hypersonic flow[C]//46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics &Materials Confer.Austin,Texas,2005:2175.

[10]Abbas L K,CHEN Qian.Active aerithermoelastic control of hypersomic double wedge lifting surface[J].Chinese Journal of Aeronautic,2008,21（1）:8?18.

[11]Abbas L K,CHEN Qian.Numerical studies of a nonlinear aeroelastic system with plunging and pitching freeplays in supersonic/hypersonic regimes[J].Aerospace Science and Technology,2007,11（4）:405?418.

[12]李道春,向錦武.遲滯非線性二元機(jī)翼顫振特性分析[J].航空學(xué)報(bào),2007,28（5）:600?604.LI Dao-chun,XIANG Jin-wu.Nonlinear aeroelastic analysis of airfoil using quasi-analytical approach[J].Acta Aeronautical et Astronautica Sinica,2007,28（5）:1080?1084.

[13]Thuruthimattam B J,Friedmann P P,McNamara J J.Aeroelasticity of a generic hypersonic vehicle[C]//43rd AIAA/ASME/ASCE/AHS Structures,Structural Dynamics and Materials Conference.Denver,CO,2002:1209

[14]McNamara J.Aeroelastic and aerothermoelastic behavior of two and three dimensional surfaces in hypersonic flow[D].Michigan:University of Michigan.Ann Arbor.2005:127?134.

[15]Budiansky B,Mayers J.Influence of aerodynamic heating on the effective torsional stiffness of thin wings[J].Journal of the Aeronautical Sciences,1956,23（12）:1081?1093.