水平受荷樁1g模型試驗變形特性的相似分析

林海，雷國輝，徐林，雷國剛

（1.河海大學 巖土力學與堤壩工程教育部重點實驗室/巖土工程科學研究所，江蘇 南京，210098；2.南京市水利建筑工程總公司一公司，江蘇 南京，210036）

室內物理模擬實驗中模型與原型的相似性分析是實驗設計的基礎，也是理解實驗結果并應用于原型的關鍵。幾何相似、運動相似、動力相似以及本構相似是實驗結果相似的充分和必要條件。現有文獻中，針對離心模型實驗中模型與原型的相似性分析受到普遍重視，但是，相比而言，針對1g模型實驗中模型與原型的相似性分析卻并未引起足夠重視（其中 g為重力加速度，1g=9.8 m/s2）。其主要原因在于：巖土材料的力學性質依賴于其應力狀態，而縮尺后的1g模型使得本構相似難以滿足，進而使得運動相似和動力相似也難以滿足。盡管如此，1g模型實驗在巖土工程問題的研究中仍然可以應用并發揮著重要作用，Randolph等[1]對此有專門的闡述。合理地應用1g模型實驗的關鍵在于充分認識其中的相似性關系對于所研究的問題可以近似滿足。樁基的模型實驗研究已有大量文獻報道[2]。針對1g模型實驗中的豎向受荷樁，Sedran等[3]分析了模型與原型的相似性關系，結果表明：模型與原型的摩阻力相似比（即應力比）等于幾何相似比而不等于 1，不滿足運動相似的強制性條件，因此，豎向受荷樁1g模型摩阻力實驗結果的合理性值得懷疑。針對水平受荷樁，Franke[4]分析了1g模型實驗可以用于荷載位移關系中一些無量綱數的確定，即滿足模型與原型的相似性。但是，對于如圖1所示的剛性樁和柔性樁這2種截然不同的變形特性，其相似性卻有明顯的差異。顯然，模型樁與原型樁具有相同的變形特性是水平受荷樁模型與原型相似的必要條件。為此，本文作者運用剛性樁和柔性樁臨界樁長的判別公式，根據相似性原理，分析研究模型樁與原型樁滿足相同變形特性的相似性條件和評判方法，并提出改善水平受荷樁模型試驗相似性的辦法。

圖1 樁頭自由時水平受荷樁的2種變形形式Fig.1 Two deflection types of laterally loaded free-head piles

1 水平受荷樁變形類型的判別

樁的長徑比和樁土剛度比是影響水平受荷樁變形特性的主要因素。當樁的長徑比較小、樁土剛度比較大時，樁身的變形特性主要由樁周土的力學性質所決定，通常發生的是如圖 1（a）所示近似于剛體的轉動變形，這類樁被稱之為剛性樁。當樁的長徑比較大或樁土剛度比不大時，樁身的變形特性主要由樁體材料的力學性質所決定，通常發生的是如圖1（b）所示沿深度呈波狀曲線逐漸消減的撓曲變形，當樁身出現2個以上位移零點和彎矩零點時，這類樁被稱為柔性樁。介于這2種變形特性之間的被稱為半剛性樁[5]。

工程上，為判別剛性樁和柔性樁，通常采用臨界樁長的計算公式。當樁的入土深度l小于剛性樁的臨界樁長lc,r時，為剛性樁；當l大于柔性樁的臨界樁長lc,f時，為柔性樁；當 l介于 lc,r和lc,f之間時，為半剛性樁。現有的研究成果中，臨界樁長的計算公式根據水平受荷樁的計算方法不同而具有不同的表達式。

對于地基反力法，Tomlinson[6?7]假定砂土和正常固結黏土的地基土反力系數kh隨深度z線性增加的計算模式（即kh=nhz/b，其中nh為地基反力系數隨深度增加的比例系數，量綱為[F][L]?3；b為樁身直徑或垂直于荷載作用方向的樁身寬度），得到的臨界樁長公式為：

式中：Ep和Ip分別為樁身的彈性模量和截面慣性矩。

對于埋置于超固結硬黏土中的水平受荷樁，Tomlinson等[6?7]假定地基土反力系數kh為常數，得到的臨界樁長公式為：

而對于彈性理論法，Poulos等[7]假定土體的彈性模量Es隨深度線性增加的計算模式（即Es= nsz，其中 ns為彈性模量隨深度增加的比例系數），推求的臨界樁長公式按照上述形式可表達為：

假定Es為不隨深度變化的常數時，Poulos等[7]得到的臨界樁長公式為：

Meyerhof等[8]在砂土和黏土中分別做了直徑d為12.5 mm的鋼樁、木樁和尼龍樁的模型試驗。試驗采取改變樁體的埋深（l/d=8，15，24和48），并且使得模型樁的埋置深度分別處在臨界樁長 lc,r的兩端，試驗結果證實臨界樁長的表達式對模型樁也具有普遍適用性。

除了上述由地基反力法和彈性理論法給出的臨界樁長公式外，還有一些其他剛性樁和柔性樁臨界樁長的判別公式，如 Randolph[9]基于有限單元法和吳恒立[10]基于雙參數法提出的臨界樁長公式等。下面將以上述列出的臨界樁長公式為例，示范分析水平受荷樁滿足相同變形特性的相似性條件。

2 1g條件下的縮尺模型樁

在文獻中可以找到大量的關于水平受荷樁的模型試驗，但正如Altaee等[11]所言，1g試驗很少論述模型所對應的相似原型，或者研究模型試驗的結果能否反映現場大尺寸樁基。根據相似理論，若縮尺模型與原型之間的相似條件不滿足，則二者不存在相似性。

采用地基反力法的計算模式，水平受荷樁1g模型試驗與對應原型的參數及他們之間的相似關系如表 1所示。按照幾何相似條件，幾何相似比λl與λb是相等的，且有樁身截面慣性矩相似比 λI=λl4。考慮到土體力學性質的復雜性，模型試驗中模型土通常采用原型土。樁周土為砂土的情況下，將計算參數代入Broms的臨界樁長表達式（1）可分別得到原型與模型的剛性樁臨界樁長公式為：

由式（5）和（6）可以求得砂土中1g縮尺模型樁的剛性樁臨界樁長相對原型的相似比λT為：

若縮尺模型樁和模型土都采用與原型相同的材料時（λE=1，nh相同），則由式（7）可以得到模型樁的剛性樁臨界樁長相似比為而縮尺模型樁的實際入土深度相似比為λl。顯然，臨界樁長的相似比λT小于幾何相似比 λl，這意味著，當原型樁為非剛性樁時，縮尺后的模型樁卻有可能為剛性樁。用此類剛性樁的試驗去反映現場原型的非剛性樁是不正確的，變形類型發生改變的1g縮尺樁基模型與原型不相似，試驗結果不可用來推測原型樁的性狀。

表1 縮尺1g模型樁的參數Table 1 Parameters of 1g reduced-scale model pile

類似地，對于超固結硬黏土，Terzaghi得到地基反力系數kh與不排水剪切強度有關且可近似認為沿深度不變[6]。由公式（2）得到原型與模型的剛性樁臨界樁長為：

由式（8）和（9）可以求得超固結硬黏土中1g縮尺模型樁的剛性樁臨界樁長相似比λT為：

當縮尺模型樁和模型土都采用與原型相同的材料時（λE=1，kh相等），與前面的分析類似，1g縮尺模型水平受荷樁的變形特性與原型樁的變形特性則有可能不同。

采用彈性理論法臨界樁長公式（3）和（4）或其他方法評價水平受荷模型樁與原型樁的變形特性，也能夠得到類似的分析結果。總之，采用與原型相同的樁材和土來開展的模型試驗，縮尺模型樁的臨界樁長相似比λT小于幾何縮尺比λl，即模型樁較原型樁表現得更為剛性。

3 相似分析

對水平受荷樁 1g模型與原型之間進行相似性分析，可以判別能否開展相似的縮尺模型試驗或得到開展相似模型試驗的條件。水平受荷樁模型的相似性包括4個方面：幾何相似、運動相似、動力相似以及本構相似。

2系統的幾何尺寸對應成比例稱為幾何相似。水平受荷模型樁的入土深度、樁身計算寬度、樁頭伸出地面距離等都應按相等比例縮小。土體作為一種最常見的地基材料，不同的顆粒級配會改變土體的物理力學性質，因此，模型土顆粒的粒徑不能按幾何相似比縮小，模型無法滿足嚴格的幾何相似。對于這種由土體顆粒尺寸造成的縮尺效應，有許多學者對其進行了研究。Franke等[6]根據Ovesen在砂土中進行的一系列圓形基礎試驗得出：當基礎直徑B與砂土的特征粒徑d50比值大于30時（B/d50≥30），可以忽略土顆粒不縮小的影響。Floravante等進行了一系列豎向荷載作用的樁基離心試驗，得到當樁徑B與土體的特征粒徑d50的比值大到一定程度時，可以忽略土顆粒的縮尺效應[12]。Floravante[12]進行了砂土中鉆孔灌注樁的離心試驗，通過開展4組不同樁徑B與砂土特征粒徑d50比值的圓樁試驗（B/d50=27，46，64，108），驗證了當B/d50的值大于某臨界值時可以忽略土顆粒的縮尺效應，且認為B/d50臨界值取40～50較為適宜。同樣，在開展水平受荷樁縮尺模型試驗時，只要能夠保證模型樁的短邊尺寸大于土體特征粒徑 d50的一定倍數時，可以忽略土顆粒尺寸不縮小的影響，近似地認為模型滿足幾何相似。

運動相似及動力相似直接體現為原型和縮尺模型滿足相同的控制方程。運動相似考慮了運動的時間效應，主要針對動荷載作用下的水平受荷樁。本研究主要分析靜力作用下的水平受荷樁模型與原型間的相似性，不考慮此類相似的情況。水平受荷樁1g模型與原型的動力相似要求二者為同樣的變形類型。由式（7）和（10）可知：若能夠使得樁身彈性模量相似比λE=λl而非λE=1，則能夠使得1g模型在理論上與原型變形相似。

本構相似為材料的應力應變關系相似，對于樁身材料，近似認為其表現為線彈性，則其應變與初始應力無太大關系。王馥廷等[13]在綜合剛度原理雙參數法的基礎上對水平受荷樁模型動力相似分析得到，相似縮尺模型應該用細砂或中砂去模擬原型的礫砂或卵石等。這是從找尋合適模型土的角度去滿足相似性，但是這種方法的正確性存在疑問。細、中砂與卵石間的力學性質差異很大，它們之間不存在本構相似。考慮到土的應力應變關系本身的復雜性和實驗室開展模型試驗時取土的容易程度，模型試驗用土采取原型同種土。土的性質與應力狀態相關，而1g模型中的豎向應力存在縮尺，從而使得 1g模型的本構相似無法嚴格滿足。

即便這樣，由于水平受荷樁的應力影響分布主要在于水平方向且接近樁身的上部（尤其對于柔性樁）。當水平受荷樁土作用范圍內豎向應力很小、水平應力起控制作用時，樁周土體的水平方向大主應力σ1不變，小主應力σ3的縮小對土體剪切摩爾圓的影響很小，因此，可以近似忽略豎向應力的不相似。根據土體的水平反力系數規律，可以控制選取模型樁的材料，從而使得模型的變形類型與原型相似。此類1g模型雖然不與原型完全相似，但也可以較好地反映原型樁的變形。

4 數值試驗對比驗證

前面分析得到通過選擇適當的樁身材料，可以使得模型樁與原型變形特性相似。為了驗證該分析結果，利用 ABAQUS有限元軟件對這一類模型試驗進行模擬，在理論上進一步驗證水平受荷樁1g相似模型試驗是否可行。計算中將樁視為彈性體且彈性模量為常量，土體本構選用Mohr-Coulomb彈塑性模型。數值模型試驗計算參數如表2所示。原型水平受荷樁設定直徑600 mm，入土深度10 m。模型樁的幾何縮尺比λl為10，土體都為模擬砂土。砂土的彈性模量Es隨深度正比例增加，根據砂土的狀態和成樁類型，Es的增加比例系數ns取值不同。本研究ns取4 MPa/m，相當于中密砂中的打入樁[14]。砂土中埋置樁縮尺模型的樁材彈性模量應該按照λl縮小，模型土體采用原型土（參數相同）。數值計算模型的參數如表2所示。模型1代表樁與土都采用原型材料進行的普通室內縮尺試驗，模型2代表樁身材料彈性模量按λE=λl縮尺后開展的縮尺試驗。模型1和模型2的其他參數參照表1求得。

表2 數值模型試驗計算參數表Table 2 Calculation parameters for numerical modeling experiments

考慮水平受荷樁的對稱性，取一半建模。計算中采用八面體代替圓形截面進行網格劃分，單元劃分形式如圖2所示。樁與土體都采用實體C3D8R單元，樁身共劃分為640個單元，土體有18 200個單元。邊界條件為：限制對稱面除外的側向邊界的水平位移以及限制底部邊界的豎向和水平向位移。水平加載分 3個階段：由0加至100 kN，再從100 kN加至200 kN，再加至500 kN。

將縮尺模型1和2的計算結果通過相似關系反算其對應原型并與表2中的“原型”進行對比。圖3所示分別為在100，200和500 kN水平力作用下的原型及對應模型反算的樁身水平位移。從圖3可見：模型1與原型不相似且差別很大，所以，用原型樁材和原型土開展的縮尺模型試驗去分析原型是不合理的；雖然模型2與原型結果有些差別，但總的規律很相似。為了進一步探索模型2與原型的相似程度，對比其樁身彎矩隨深度的分布，如圖4所示。從圖3和圖4可以看出：水平受荷樁模型試驗的樁身模量按照幾何相似比λl縮尺后，模型與原型基本相似。

圖2 模型網格劃分Fig.2 Model mesh generation

5 討論

圖3 不同水平荷載時原型與模型反算的樁身水平位移Fig.3 Lateral deflections of prototype pile and those extrapolated from model piles at different lateral loading levels

圖4 樁身彎矩分布圖Fig.4 Distribution of pile bending moment

水平受荷樁涉及樁土之間復雜的相互作用，通常意義上人們認為1g土工模型試驗相似性較差，才發展了土工離心試驗和其他類型的模型試驗。其原因是土中應力狀態與土體的性質相關，而1g模型中無法模擬原型土的應力狀態。然而，1g樁基模型試驗在國內外研究中仍然被廣泛采用，原因是它的可控性、低成本和可重復性。Sedran等[3]得到豎向受荷樁1g試驗不能滿足相似的強制條件，但樁在主要承受水平荷載時與主要承受豎向荷載的工作機理不一樣，最直接的體現為二者受力變形的控制方程不同。從相似的角度，不可能或者很難開展一個完全相似于原型的模型試驗。工程中最為關心的是所開展的樁基模型試驗能夠與原型在變形或受力方面的相似關系較好即可，因此，實驗設計都是針對主要影響因素入手。本文作者從樁身變形角度研究1g模型的相似關系，探索能否找到一種實際工程中容易實現水平受荷樁較好相似性的 1g模型試驗方法。

前述理論和數值試驗結果證實：水平受荷樁 1g模型樁采用彈性模量按原型樁模量 λl倍縮小的材料時，模型的變形特性大致與原型相似。不過，由圖 3和圖 4可以看出：樁身彈性模量按照 λl縮小后的 1g模型與原型相似性存在一定的誤差。由1g模型試驗反算原型樁時，樁頂位移反算值會小于實際值；樁身最大彎矩計算值也稍小于實際值；樁身最大彎矩點深度計算值比實際值稍小。這樣，若對某工程樁進行模型試驗，則在設計荷載下，當模型樁的最大樁身彎矩或最大位移達到或超過允許值時，可以推斷實際樁基設計必然不能滿足要求。

圖5 樁身材料參數對水平受荷樁變形的影響Fig.5 Effects of pile material parameters on the deflection of laterally loaded piles

試驗中，模型樁身材料的選擇可以多種多樣（鋁管、有機玻璃、鋼管和石膏等）。根據彈性模量的值來選取模型樁材會遇到一個問題，不同的材質重度以及泊松比不同。混凝土的重度約為24 kN/m3；鑄鐵和鋼材的重度為60～80 kN/m3；而有機玻璃的重度為12～18 kN/m3；純銅的重度約為87 kN/m3。鋼材的泊松比為0.2～0.3，有機玻璃的泊松比為0.3～0.4，石膏的泊松比為0.17左右[15]。在前面原型樁數值試驗的基礎上，樁頂受到200 kN水平荷載、各參數不變而僅改變樁身自重γ或泊松比ν時，樁身水平位移沿深度的計算結果如圖5所示。從圖5可以看出：樁身自重改變或樁身材料泊松比的改變對水平受荷樁的變形影響較小。因此，通過選擇縮小λl倍彈性模量選取樁材時，能夠改進1g模型與原型的相似程度。

6 結論

（1）當縮尺模型試驗采用與原型同種樁身材料及原型土時，幾何尺寸的縮小將使得樁身的受力變形表現得更為剛性，縮尺模型與原型不相似。

（2）當模型樁材的彈性模量相似比等于幾何相似比時，1g水平受荷樁模型與原型變形類型相似。可以用此類模型試驗的結果根據相似關系近似反算原型的力學特性。

（3）采用 1g縮尺模型樁去模擬現場水平受荷樁時，模型結果反算所得的樁身水平位移和最大樁身彎矩都比實際偏小，最大彎矩點深度偏小。模型試驗結果可用于推斷或評價工程樁是否滿足設計要求。

（4）模型樁材的選擇多種多樣，模型樁樁身重度和泊松比的改變對水平受荷樁受力變形影響不大，而樁材彈性模量是控制模型與原型變形相似的主要參數。

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