等離子體模型中Poisson方程解的存在唯一性*

耿金波

(浙江師范大學數理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

文獻［1-4］對Euler-Poisson方程組的模型來源都有詳細的介紹．本文考慮一維雙極型Euler-Poisson方程組

式(1)中：x∈R3;u(x)∈R3;ρ是粒子密度;u為粒子速度;λ為德拜常數;C(x)為雜質的密度;Φ為電勢．

彭躍軍在文獻［5］中利用Lax-Friedrichs格式和Godunov格式得到了方程組(1)的全局弱熵解的存在性;Natalini在文獻［6］中得到了方程組(1)弱熵解的存在性;文獻［7］研究了方程組含有松弛時間的雙極型等熵Euler-Poisson方程組解的存在性及零松弛時間的極限．

本文運用壓縮映像原理得到方程組(1)中的Poisson方程的解的存在性，使Euler-Poisson方程組化為雙曲守恒律方程組，其主要結果為：

定理1 方程組(1)中的Poisson方程的邊值問題

的解存在并且唯一．

1 引理

為了研究的方便，不妨假設方程組(1)中的λ=1，C(x)=1．

首先考慮下面的邊值問題：

令

其中，g∈L1∩BV．可驗證T0(g)(x)是問題(3)的解．為了得到本文結論，需要下面幾個引理．

引理1 設g∈L1∩BV，則

其中，常數C0與g無關．

證明 由g∈L1∩BV知

所以由控制收斂定理知

顯然，

進而得到

由式(4)和式(5)可得引理1的結論．引理1證畢．

下面考慮非線性映射

并記

其中，C0由引理1給出．

引理2 存在 δ0＞0，使得當0 ＜δ＜δ0時，TXδ?Xδ．

證明 任取Ψ∈Xδ，由嵌入定理［8］知：存在與Ψ無關的常數C1，滿足

于是由引理1知

注意到f(Ψ)－Ψ=O(1)Ψ2，從而 limx→±∞T(Ψ)(x)=0．最后，在式(6)中取 δ充分小，使得 TXδ?Xδ．引理2證畢．

引理3 存在 δ0＞0，使得當0 ＜ δ＜ δ0時，T 在(Xδ，‖·‖W1，1)上為壓縮映射．

證明 任取 Ψ1，Ψ2∈Xδ，有

應用引理1，可得

于是，在式(8)中取適當的δ，便可得到結論．引理3證畢．

大陸村到古辣鎮上只用40分鐘的車程，交通條件的改善，將為大陸村信息、物資的流通奠定良好的基礎，便于人口的集聚，有利于旅游地產的發展。

引理4 存在 δ0＞0，使得當0＜δ＜δ0時，存在唯一的 Φ ∈Xδ，有TΦ=Φ．進一步

證明 顯然，由Banach壓縮映像原理可以得到Φ的存在性．下面證明式(9)成立．由引理1可知

再次利用引理1得

同理

上述2個估計需要用到如下不等式：

于是在式(11)和式(12)中取適當的δ，使得O(1)δ＜1，得到

引理4證畢．

2 定理1的證明

由引理4知，Φ=TΦ，Φ∈Xδ給出了方程組

在Xδ上的唯一解．定理1證畢．

3 結語

定理1的證明是運用古典的壓縮映像原理，對等離子體模型中的橢圓型方程解的存在性和唯一性進行了研究，它為進一步研究等離子體模型方程奠定了理論基礎．

［1］李定，陳銀華，馬錦秀，等．等離子體物理學［M］．北京：高等教育出版社，2006．

［2］王德焴，吳德金，黃光力．空間等離子體中的孤波［M］．上海：上海科技教育出版社，2000．

［3］莊釗文，袁乃昌，劉少斌，等．等離子體隱身技術［M］．北京：科學出版社，2004．

［4］Markowich P A，Ringhofer C A，Schmeiser C．Semiconductor equations［M］．New York：Springer-Verlag，1990．

［5］Peng Yuejun．Convergence of the fractional step Lax-Friedrichs scheme and Godunov scheme for a nonlinear Euler-Poisson system［J］．Nonlinear Analysis，2000，42(6)：1033-1054．

［6］Natalini R．The bipolar hydrodynamic model for semiconductors and the drift-diffusion equations［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，198(1)：262-281．

［7］Jungel A，Peng Yuejun．Zero-relaxation-time limits in the hydrodynamic equations for plasmas revisited［J］．Zeitschrift Für Angewandte Mathematik und Physik，2000，51(3)：385-396．

［8］Adams R A．索伯列夫空間［M］．葉其孝，譯．北京：人民教育出版社，1981．