電磁諧振水波干涉演示儀的設計研究

魏 薇

（華中農業大學理學院，湖北 武漢 430070）

電磁諧振水波干涉演示儀的設計研究

魏 薇

（華中農業大學理學院，湖北 武漢 430070）

本文介紹了一種自制的水波干涉衍射演示實驗裝置.裝置利用低頻信號源輸出低頻正弦信號，經電磁轉換驅動振子做簡諧振動，振子作為波源在水槽中激發水波觀察水波干涉衍射現象.本文定量地分析了裝置中最重要的驅動部分和振動部分的物理學原理，給出了控制演示實驗效果的有效途徑.裝置結構簡單，易于控制，成本低，實驗效果明顯.還可演示兩列頻率、振幅不相等的水波的相遇情況.

磁場；受迫振動；振幅；頻率；水波干涉

1 引言

在物理教學中，經常利用水波干涉儀來演示水波的干涉現象及衍射現象，并通過投影對干涉圖樣進行觀察.但是傳統發波水槽效果不佳，很多儀器因振動相干源不合適，相干效果也并不理想，影響了演示效果.作為水波干涉演示實驗所用的相干波源，要達到良好的演示效果，需要滿足的主要條件有兩個：第一，兩列波產生過程直觀，易于觀察；第二，能方便地調節波源的頻率和振幅.

現利用低頻信號源輸出低頻正弦信號，經電磁轉換獲得諧振動來產生相干波源，并對發波水槽進行改造，設計一個有效的水波干涉演示實驗裝置.本文從理論模型出發，定量討論了實驗裝置的驅動部分和振動部分的動力學機理，給出了為有效演示水波干涉衍射實驗現象，對波源頻率和振幅的調節途徑.本裝置結構簡單，易于控制，成本低，實驗現象明顯.還可演示兩列頻率、振幅不相等的水波的相遇情況.

2 實驗原理

如圖1所示，在鐵架臺上固定兩個螺旋線圈（N＝9000，R＝240Ω），由低頻信號發生器XJ1632提供正弦電壓，線圈內產生變化磁場.振動部分由水平放置的鋼片一端固定在鐵架臺上，開孔的另一端上下分別放置輕薄氟化硼磁體和一小而輕的銷釘觸水（如圖2），銷釘被氟化硼磁體磁化而固定在鋼片上，整體稱為振子.磁場力驅動振子振動，銷釘的振動在水槽中引起水波.發波水槽由有機玻璃制成60cm×60cm×5cm的長方體透明水槽，在水槽內側壁粘上橫截面是直角三角形的海綿條，使水槽內側壁成傾斜度為30°～45°的斜面（如圖3）.

2.1 簡諧驅動力的產生

在一個豎直的螺旋線圈中輸入低頻正弦信號，當信號發生器輸出頻率及線圈尺度滿足似穩條件，線圈內電流隨電源電動勢同步變化，螺旋線圈軸線下方的一點A會產生隨時間周期性變化的磁場Bz.如圖4所示，設螺旋線圈長2L，半徑為r，單位長度的匝數為n，線圈內電流強度為I.線圈是密繞的，螺旋線圈的磁場近似可看作一系列的圓線圈磁場的疊加.

圖4

考慮軸線上點A的磁感應強度，取螺線管軸線上中點為坐標原點O，Oz沿軸線并與電流方向滿足右手定則.在位置z處長度dz內共有ndz匝線圈，它在A點產生的磁感應強度只有z方向的分量，可得此處ndz匝線圈激發的磁場為

整個螺線管在點A產生的磁感應強度為

假設將振子置于A點處，把振子看作磁矩為p的磁偶極子，則其所受磁場力為因為磁場與磁矩方向一致，且力只有沿z軸的分量，所以力的大小為

I為周期性變化電流，可見振子將受到一個與信號源頻率一致的周期性驅動力作用.

2.2 振片的受迫振動

2.2.1 振動系統的固有頻率

設振片長l，寬b，厚h，當振片上的振子受力F1而使振片向下彎曲時，上層受拉伸，下層受壓縮，總的效果相當一個力矩.設振片彎曲的曲率半徑R，圓心為O點如圖5所示.以中性層為原點，豎直坐標（向下為正）z處層長度

圖5

這樣該層的長度變化Δl＝l′－l＝lz/R，相應的應變為Δl/l＝－z/R，由胡克定理對高度為dz的一層橫截面積dA＝bdz，該面上作用力對O點的力矩于是作用在整個面上的總力矩為

外力矩和內力矩平衡時 N＝F1l，F1＝

當振幅不太大時θ＜5°這時θ≈x/l，x為偏離平衡位置的距離

2.2.2 振動的頻率與振幅

在彈性限度內，振片應力與振幅成正比，作用在振子上的力是三個力的和，它們是彈性力、阻力和外驅動力，故動力學方程為

該動力學方程是非齊次常系數微分方程，其通解是它對應的齊次方程的解加上該方程的一個特解，考慮到外驅動力是簡諧力，有理由認為穩態解也是簡諧的，因此問題化為只需求解動力學方程滿足物理問題的特解.故設試探解為

式中，A與θ′為待定常數.若這個試探解是正確的，它必須滿足動力學方程，將試探解代入動力學方程

上面等式成立的條件是方程兩邊的實部與虛部相等，即

于是我們得到了確定試探解所需的全部待定常數滿足的條件，一旦從中解出A與θ′穩定解就確定了.利用可將上面兩式改寫成

弱阻力的情況下共振發生在略小于系統固有頻率處，代入系統固有頻率，得到共振頻率與振片關系為實驗所得數據與理論計算基本吻合（如圖6）.

圖6

將振子所受簡諧驅動力及系統固有頻率代入得到振子的振幅為

通過振幅公式可以看出，振幅的大小與線圈中電流強度、振子相對于線圈位置、銷釘和鋼片的參數以及共振頻率有關.振幅的大小將影響振子在水槽中引發的水波的強度，決定水波干涉衍射實驗現象的明顯程度，通過部分參數的調整可以獲得理想的實驗效果.

3 結論

本文介紹的水波干涉演示實驗裝置，利用低頻信號源輸出低頻正弦信號，經電磁轉換獲得諧振動來產生相干波源.通過對理論模型進行定量的理論推導，得出了波源振動的頻率及振幅公式，完善了實驗理論.在演示實驗中，可以根據演示需要調整相關參數以達到明顯的實驗效果.

本裝置設計中驅動部分所采用的信號發生器頻率為7～50Hz，任意可調；振動部分結構簡單，取材容易，成本低；通過對發波水槽進行簡單的改造增強了裝置的穩定性.實驗裝置性能穩定，效果明顯，易于控制，可演示水波的形成傳播、干涉和衍射等多種實驗現象.

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附錄 振片長度與系統諧振頻率數據

DESIGN OF WATER WAVE INTERFEROMETER OF ELECTROMAGNETIC RESONANCE

Wei Wei
（College of Science，Hua zhong Agricultural University，Wuhan，Hubei 430070）

This paper introduces a self－made experimental facility to demonstrate water wave interference and diffraction.Utilizing the low frequency signal source to output the sine signal，the facility drives the oscillator do harmonic vibration，which is used as the vibration source of the wave to observe the interference and diffraction of ripples.In this paper，we quantitatively analyze the physical mechanism of driving part and vibration part in the facility，and provide useful methods to control the effect of experiment.Our experiment facility has several advantages such as simple structure，easy to control，low costs，and obvious experiment phenomenon.Furthermore，it can demonstrate the meeting of two water waves with different frequencies and amplitudes.

magnetic field；forced vibration；amplitude；frequency；water wave interference

2011－08－02；

2011－09－27）