一個新的四維超混沌系統及其電路仿真

高智中，韓新風，章毛連，2

（1.安徽科技學院理學院，安徽 鳳陽 233100；

2.中國科學院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

一個新的四維超混沌系統及其電路仿真

高智中1，韓新風1，章毛連1，2

（1.安徽科技學院理學院，安徽 鳳陽 233100；

2.中國科學院等離子體物理研究所，安徽 合肥 230031）

為產生復雜的超混沌吸引子，基于一個三維混沌系統構造了一個新的四維超混沌系統.分析了該系統平衡點的穩定性、吸引子的相圖、系統的分岔圖和Lyapunov指數譜等基本動力學特性.結果表明，新的四維超混沌系統隨著新引入的參數變化呈現周期、混沌及超混沌動力學行為.最后設計了一個模擬電路，通過實驗結果進一步驗證了與數值仿真的一致性.

超混沌系統；相圖；分岔圖；Lyapunov指數圖；電路實現

1963年美國氣象學家Lorenz研究大氣層的熱對流問題時發現了第一個混沌系統［1］之后，研究人員在此基礎上進行變形，構造了許多新的三維自治混沌系統，如Chen系統、Lü系統、Liu系統和Qi系統［2－5］.隨著人們對混沌現象及其動力學行為的不斷研究，混沌在工程領域的應用已取得了一定進展.然而三維混沌系統的帶寬相對較窄，基于混沌通訊的保密效果不是很好.1979年O.E.Rossler首次提出了超混沌Rossler系統［6］.超混沌系統處于超混沌狀態時具有2個或2個以上的正Lyapunov指數，相軌在更多方向上分離，其動力學行為更為復雜，難以預測.復雜的超混沌集可以提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性.因此，對超混沌的研究將是信息工程領域中混沌應用的一個重要課題.近年來，受到了廣大科研工作者的普遍關注并報道了大量新的超混沌系統［7－19］.這些文獻表明目前構造超混沌系統的方法有3種：（1）以三維自治混沌系統為基礎通過施加正余弦激勵信號而實現超混沌；（2）以三維自治混沌系統為基礎通過引入狀態反饋控制器，可以是線性的也可以是非線性的，然后把引入的狀態反饋控制器耦合到原來系統的一個或者多個方程中而實現超混沌，這是一種行之有效的方法；（3）直接構造超混沌，這種方法較前兩種方法顯得比較困難，因為需要大量的時間對系統進行調試.

在上述研究的基礎上，本文基于文獻［20］提出的三維自治混沌系統，通過引入一個簡單的非線性控制器，可把其控制到超混沌狀態.通過理論分析、Lyapunov指數譜、分岔圖、相圖、時間響應圖等方法詳細分析了該新系統的復雜的動力學特性.最后設計了一個模擬電路，通過電路實驗結果進一步驗證了與數值仿真的一致性.

1 新四維超混沌系統模型

文獻［20］提出的三維自治混沌系統，其數學模型可表示為：

當參數a＝25.6，b＝66.8，c＝39.22，d＝0.2，e＝4時，系統處于混沌狀態.

根據產生超混沌吸引子要滿足的幾個必要條件［6］，在上述三維系統的基礎上通過增加一個簡單的非線性狀態反饋控制器u，并增加一個關于u的一階微分方程，可得到如下新的四維超混沌系統：

式中m為新引入的參數.當參數a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時，利用 Wolf方法數值計算系統的4個Lyapunov指數分別為0.337 1，0.218 4，0和－26.436 1，說明系統處于超混沌狀態.此時系統的Lyapunov維數為3.021，是分數維數，從而從另一方面說明了系統在該組參數條件下處于超混沌狀態.

2 新超混沌系統的動力學分析

2.1 平衡點及其穩定性

圖1 系統的超混沌吸引子在各平面上的投影

2.2 耗散性及有界性

2.3 新引入的參數對系統動力學行為的影響

非線性超混沌動力系統的動力學特性主要通過數值計算該系統的Lyapunov指數譜和分岔圖來分析，通過觀察系統的Lyapunov指數譜，可以十分清楚地區分系統在不同參數控制區間所處的運動狀態.在系統的4個Lyapunov指數中，有1個為0、3個為負數時系統處于周期態；2個為0、2個為負數時系統處于擬周期態；1個為正數、1個為0、2個為負數時系統處于混沌態；2個為正數、1個為0、1個為負數時系統處于超混沌態.當固定a＝20，b＝35，c＝5，變量x隨m在［0，70］變化的分岔圖（見圖2a）和Lyapunov指數譜圖（見圖2b）（這里略去了第4根Lyapunov曲線）.由圖2可見，系統隨著參數變化的運動情況一目了然.圖3分別給出了當m＝34，40，62，70時，在xu平面上的典型的相軌跡圖，其中當m＝34系統處于四周期狀態，當m＝40系統處于混沌狀態，當m＝62系統處于二周期狀態，當m＝70系統處于一周期狀態.

圖2 系統的分岔圖（a）和Lyapunov指數譜圖（b）

圖3 系統的相軌跡在xu平面上的投影

2.4 非周期流

采用四階Runge-Kutta法對新超混沌系統求數值解，采樣步長為0.002s，在參數a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時得到該系統4個狀態變量的時間響應圖如圖4所示，可見產生的時間序列具有非周期性，解的非周期流對初值極為敏感.

圖4 系統的時間響應圖

3 新系統的電路設計與實現

超混沌系統的最直接最簡單的物理實現是通過電路來完成的，許多超混沌系統的動力學行為都能通過電路得到驗證［21］.同樣，對于該新超混沌系統，也采用非線性電路來實現，并把電路仿真結果與數值分析結果做對比.用Multisim10.0軟件平臺設計了實現該電路的原理圖（如圖5所示）.新超混沌系統的數學模型如方程組（1）所示.

圖5 超混沌系統仿真電路原理圖

考慮到各電子元件的耐壓特性，在設計電路時，先把混沌信號減小到原來的1／10，設：q＝10x，r＝10y，p＝10z，由于系統變量的變換，不影響系統的狀態及性能，從而令：x＝q，y＝r，z＝p，故系統的數學模型變換為如方程組（2）所示.

根據方程組（2）各狀態量的數學方程設計的仿真電路如圖5所示.仿真電路中，采用了電容器、電阻、模擬乘法器和集成運算放大器，分別實現了加減運算、積分運算和非線性乘積項.根據非線性電路的特性和電路基本理論，得到圖5所示的仿真電路中各狀態量的數學方程如方程組（3）所示.

電路中各元件參數設置如下：C1＝C2＝C3＝C4＝1μF，R1＝35kΩ，R2＝50kΩ，R3＝10kΩ，R4＝100kΩ，R5＝R6＝R7＝1kΩ，R9＝2kΩ，R10＝50kΩ，R11＝R12＝1kΩ，R13＝200kΩ，R14＝2kΩ，R15＝50kΩ，R16＝1kΩ，R17＝5kΩ，R18＝50kΩ，R19＝1MΩ，R20＝4kΩ.在以上參數設置條件下，在Multisim10.0軟件平臺進行仿真實驗，得到如圖6所示的超混沌相圖，圖7給出了系統的不同狀態對應的相軌跡在xu平面上的投影的電路實現，圖8給出了系統處于超混沌運動的時間響應圖的電路實現，由這些圖可看出，電路實現結果與數值仿真結果基本一致.

圖8 系統的時間響應的電路實現

4 結論

通過引入一個簡單的非線性控制器，基于一個三維自治混沌系統構造了一個新的四維超混沌系統，分析了該系統的基本動力學特性，重點研究了該系統隨著典型參數m的變化運動狀態在周期、混沌和超混沌之間的演變過程.通過理論分析、數值仿真和電路實現，可以得出幾點結論：本文所構造的系統是一個超混沌系統，其數學模型結構相對簡單，具有復雜的動力學行為，且具有所有超混沌系統的共有特征；這個新的超混沌系統可以用電路來實現，實驗結果與數值仿真結果是一致的；本文中的分析方法具有普適性，對于其他低維混沌系統產生超混沌運動具有一定啟示意義.

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A novel four-dimensinal hyperchaotic system and its circuit simulation

GAO Zhi-zhong1，HAN Xin-feng1，ZHANG Mao-lian1，2

（1.College of Science，Anhui Science and Technology University，Fengyang 233100，China；
2.Institute of Plasm a Physics，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230031，China）

In order to generate complex hyperchaotic attractor，a new four-dimensinal hyperchaotic system based on the three-dimensinal chaotic system is built in the paper.Some of its basic dynamical properties are studied briefly，such as the stability of equilibrium，the phase diagram of attractors，the bifurcation diagram and Lyapunov exponent.Results show that the new system's dynamics behavior can be periodic，chaotic and hyperchaotic as the new introduced parameter varies.Finally，an analog electronic circuit is designed to implement the new system，and the experimental results of the nonautonomous hyperchaotic circuit well agreed with the simulation results.

hyperchaotic system；phase diagram；bifurcation diagram；Lyapunov exponents diagram；circuit implementation

O 415.5

120·20

A

1000-1832（2012）01-0077-07

2011-03-25

安徽省優秀青年人才基金資助項目（2012SQRL146）.

高智中（1979—），男，碩士，講師，主要從事混沌反控制研究.

石紹慶）