橢圓算子的微分包含問題

華宏圖，程 毅，從福仲

（1.空軍航空大學基礎部，吉林長春 130022；2.吉林大學數學研究所，吉林長春 130012）

橢圓算子的微分包含問題

華宏圖1，2，程 毅1，2，從福仲1，2

（1.空軍航空大學基礎部，吉林長春 130022；2.吉林大學數學研究所，吉林長春 130012）

討論了一類橢圓算子的微分包含：Lu∈F（x，u），當集值函數F（x，u）滿足一定條件下，運用Schauder不動點定理，證明了在右端項F（x，u）是非凸值情況下解的存在性定理.

橢圓算子；不動點定理；連續選擇

1 預備知識

微分包含理論產生于20世紀50年代.在描述物理、力學、工程、微觀經濟學等方面的系統模型時一般都是使用確定的模型，即微分方程.而微分包含是基于對系統過程有一定的了解但不完全確定而建立起來的動力系統，它被用于揭示不確定動力系統以及不連續動力系統的規律.關于微分包含的研究，已經有了很多的結果.［1－7］

集值映射F：T＝［0，b］→P f（RN）稱為可測的，若對任意的x∈RN，t→d（x，F（t））＝inf｛‖x－v‖：v∈F（t）｝是可測的，這等價于F是圖可測的，即

這里L（T）表示T上的Lebesgue可測子集構成的集合，B（RN）是RN上的Borel可測子集構成的集合.由Aumann's選擇定理，存在可測函數g：T→RN滿足g（t）∈F（t，x）幾乎處處在T上.記F的L2－可積選擇的全體為S2F，即

一般來說S2F可能是空集.

設Y，Z是Hausdorff拓撲空間，一個多值函數F：Y→2Z＼｛?｝稱為下半連續的，若對Z的任何非空閉凸子集C，F－（C）＝｛y∈Y：F（y）?C｝≠?.下半連續還等價于：對任意的z∈Z，y→d（z，F（y））＝inf｛d（z，v）：v∈F（y）｝是上半連續的.關于偏微分方程和集值分析更詳細的概念和結論參見文獻［1－7］.下面引入本文需要的一個重要引理.

引理［3］設X是可分的度量空間，多值函數F：X→D（L2（Ω，X））是下半連續閉可分解值的，則F具有連續選擇.

2 主要結果

設Ω?RN是有界開集，其邊界光滑，考慮下面的邊界值問題：

這里的映射F：Ω×R→2R＼｛?｝是一個集值映射.

下面來證明這個微分包含弱解的存在性，首先給出一些必要的假設.

假設F滿足

集值映射，使得：

（ⅰ）（x，u）→F（x，u）是圖像可測的；

（ⅱ）幾乎所有x∈Ω都有u→F（x，u）是下半連續的；

（ⅲ）｜F（x，u）｜＝sup｛｜v｜：v∈F（x，u）｝≤b（x），其中b（x）∈L2＋（Ω）.

定理若條件H（F）成立，則問題（＊）存在弱解u∈H10（Ω）.

證明定義L為線性橢圓算子，這里L的定義域D（L）＝H10（Ω），則L：D（L）→L2（Ω）是線性算子，且L－1：L2（Ω）→L2（Ω）是全連續的［7］.

設u是問題（＊）的解，則存在v＝Lu∈F（x，u）.由條件（ⅲ）得則存在常數C＞0，使得‖u‖H1≤C‖v‖2≤C‖b‖2.從而存在M＞0，使得‖u‖H1≤M.

根據Dunford－Pettis定理，V是L2（Ω）中弱緊子集，由于L－1是全連續的，從而ˉK是L2（Ω）中的緊子集，的凸性可直接從V的凸性得到，即是緊凸子集.下面設N：→2L2（Ω）是關于F的集值Nemitsky算子，其定義為

下面驗證N（·）具有非空、閉、可分解值且是下半連續的.

N（·）的閉、可分解值容易驗證，下面證明非空性.任意u∈，由假定（ⅰ）（x，u）→F（x，u）是圖像可測的，則存在可測函數v使得v（x）∈F（x，u）a.e.Ω.由假定（ⅲ），v∈L2（Ω）.因此對任意u∈，N（u）≠?.接下來證明N（·）是下半連續的.我們只需說明對于任意w∈L2（Ω），實值函數u→d（w，N（u））是L2（Ω）上的上半連續R＋值函數.

再證明，對任意的λ≥0，集合Uλ＝｛u∈L2（Ω）：d（w，N（u））≥λ｝是L2（Ω）中的閉集，從而由定義可知N（·）是下半連續的.

為此，設｛un｝n≥1?Uλ且L2（Ω）中un→u，則存在子列不妨設為本身，當n→∞時，un（x）→u（x）a.e.Ω.由假定（ⅱ）得，u→d（w（x），F（x，u））是上半連續R＋值函數，故由Fatou引理知：

［1］AUBINJ P，CELLINA A.Differential inclusion［M］.Berlin：Springer－Verlag，1984：121－147.

［2］BRESSAN A，COLOMBO G.Extensions and seletions of maps with decomposable values［J］.Srudia Math，1988，90：69－86.

［3］HU S，PAPAGEORGIOU N S.Handbook of multivalued analysis（I）：theory［M］.Dordrecht：Kluwer，1997：97－118.

［4］LAWRENCE C EVANS.Partial differential equations［M］.New York：American Mathematical Society，1998：23－45.

［5］LI GUO CHENG，XUE XIAO PING.On the existence of periodic solutions for differential inclusions［J］.J Math Aral and Appl，2002，276：168－183.

［6］姚慶六.一類奇異正三階兩點邊值問題的正解［J］.東北師大學報：自然科學版，2011，43（3）：23－27.

［7］XUE XIAOPING，CHENG YI.Existence of periodic solutions of nonlinear evolution inclusions in Banach spaces［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11：459－471.

Differential inclusion problem of elliptic operator

HUA Hong－tu1，2，CHENG Yi1，2，CONG Fu－zhong1，2

（1.Department of Foundation，Aviation University of Air Force，Changchun 130022，China；2.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China）

It reseaches the differential inclusion problem of of elliptic operator：Lu∈F（x，u）.When the multifuctionF（x，u）satisfies some conditions，it proves the existence theorem of boundary value solutions for nonconvex cases of the righthand sideF（x，u）by using Schauder fixed point theorem.

elliptic operator；fixed point theorem；continuous selector

O 175.14

110·34

A

1000－1832（2012）01－0016－03

2010－07－11

國家自然科學基金資助項目（10871203）.

華宏圖（1980—），男，博士研究生，主要從事應用數學研究；從福仲（1967—），男，博士，教授，博士研究生導師，主要從事應用數學研究.

陶 理）