隨機矩陣的范數

任芳國，高 瑩

（陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西，西安 710062）

隨機矩陣的范數

任芳國，高 瑩

（陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西，西安 710062）

利用隨機矩陣的特性及不等式的性質，討論了n階隨機矩陣的范數，獲得了隨機矩陣1－范數，2－范數，∞－范數及p－范數的不等式，且給出了1－范數，2－范數及p－范數達到界值的充分必要條件，為隨機矩陣的應用奠定了數學基礎.

隨機矩陣；雙隨機矩陣；1－范數；2－范數；p－范數

非負矩陣在矩陣論中占據重要的地位，隨機矩陣作為特殊的非負矩陣有著廣泛的應用，如markor鏈、多元統計理論的研究以及經濟學（如對股票市場的分析）、運籌學等領域數學模型的研究［1－5］.本文將從范數的角度去刻畫隨機矩陣，得到了隨機矩陣范數不等式，并獲得取得界值的充分必要條件，對進一步研究隨機矩陣張量積的范數有一定的作用［6］.

1 預備知識

文中使用以下記號：

用Cn，Mn（C）分別表示復數域上所有n維向量及所有n階矩陣組成的線性空間；

設A∈M n（C），用ρ（A）表示矩陣譜半徑；

AT，A＊分別表示矩陣A的轉置及共軛轉置；

A≥0表示非負矩陣；

若A－B≥0，記為A≥B.其余未加說明的術語及記號均同文獻［1］.

為了敘述及證明主要定理方便起見，引入以下定義及引理.

定義1.1［1－3］稱一個n階非負矩陣A為隨機矩陣，如果A的所有行和為1.

定義1.2［1－3］稱一個n階非負矩陣A為雙隨機矩陣，如果A的所有行和與列和都為1.

2 主要結果及證明

［1］HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1986：487－529.

［2］HENRY MINC.Nonnegative matrices［M］.New York：Wiley－Interscience Publication，1988：1－47，105－140.

［3］BERMAN A，PLEMMONS R.Nonnegative matrices in the mathematical sciences［M］.New York：Academic Press，1994：26－59，211－268.

［4］HORN R A，JOHNSON C R.Topic in matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：134－231.

［5］石月巖，宓穎，李樹有.正態隨機矩陣的MTP2性質［J］.東北師大學報：自然科學版，2011，43（1）：25－29.

［6］宋彩芹，陳果良.三矩陣左半張量積的（T，S，2）逆的反應序集［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（2）：11－15.

Norms of stochastic matrices

REN Fang－guo，GAO Ying
（College of Mathematics and Information Science，Shanxi Normal University，Xi'an 710062，China）

The norm of stochastic matrix by using the characteristics of stochastic matrix and the properties of inequality is studied.The bounds of∞－norm，1－norm，2－norm andp－norm about stochastic matrix are obtained and the sufficient and necessary conditions are given when those bounds are attained.Consequently，these results can establish the mathematics foundation for the application of stochastic matrix.

stochastic matrix；doubly stochastic matrix；1－norm；2－norm；p－norm

O 151.21

110·2110

A

1000－1832（2012）01－0028－04

2010－09－04

國家自然科學基金資助項目（10571113）；陜西省自然科學基金資助項目（2011JM1007）.

任芳國（1969—），男，博士，副教授，主要從事矩陣論研究.

陶 理）