隨機矩陣的范數(shù)

任芳國，高 瑩

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西，西安 710062）

隨機矩陣的范數(shù)

任芳國，高 瑩

（陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西，西安 710062）

利用隨機矩陣的特性及不等式的性質(zhì)，討論了n階隨機矩陣的范數(shù)，獲得了隨機矩陣1－范數(shù)，2－范數(shù)，∞－范數(shù)及p－范數(shù)的不等式，且給出了1－范數(shù)，2－范數(shù)及p－范數(shù)達到界值的充分必要條件，為隨機矩陣的應(yīng)用奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

隨機矩陣；雙隨機矩陣；1－范數(shù)；2－范數(shù)；p－范數(shù)

非負矩陣在矩陣論中占據(jù)重要的地位，隨機矩陣作為特殊的非負矩陣有著廣泛的應(yīng)用，如markor鏈、多元統(tǒng)計理論的研究以及經(jīng)濟學(xué)（如對股票市場的分析）、運籌學(xué)等領(lǐng)域數(shù)學(xué)模型的研究［1－5］.本文將從范數(shù)的角度去刻畫隨機矩陣，得到了隨機矩陣范數(shù)不等式，并獲得取得界值的充分必要條件，對進一步研究隨機矩陣張量積的范數(shù)有一定的作用［6］.

1 預(yù)備知識

文中使用以下記號：

用Cn，Mn（C）分別表示復(fù)數(shù)域上所有n維向量及所有n階矩陣組成的線性空間；

設(shè)A∈M n（C），用ρ（A）表示矩陣譜半徑；

AT，A＊分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置；

A≥0表示非負矩陣；

若A－B≥0，記為A≥B.其余未加說明的術(shù)語及記號均同文獻［1］.

為了敘述及證明主要定理方便起見，引入以下定義及引理.

定義1.1［1－3］稱一個n階非負矩陣A為隨機矩陣，如果A的所有行和為1.

定義1.2［1－3］稱一個n階非負矩陣A為雙隨機矩陣，如果A的所有行和與列和都為1.

2 主要結(jié)果及證明

［1］HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1986：487－529.

［2］HENRY MINC.Nonnegative matrices［M］.New York：Wiley－Interscience Publication，1988：1－47，105－140.

［3］BERMAN A，PLEMMONS R.Nonnegative matrices in the mathematical sciences［M］.New York：Academic Press，1994：26－59，211－268.

［4］HORN R A，JOHNSON C R.Topic in matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：134－231.

［5］石月巖，宓穎，李樹有.正態(tài)隨機矩陣的MTP2性質(zhì)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，43（1）：25－29.

［6］宋彩芹，陳果良.三矩陣左半張量積的（T，S，2）逆的反應(yīng)序集［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，42（2）：11－15.

Norms of stochastic matrices

REN Fang－guo，GAO Ying
（College of Mathematics and Information Science，Shanxi Normal University，Xi'an 710062，China）

The norm of stochastic matrix by using the characteristics of stochastic matrix and the properties of inequality is studied.The bounds of∞－norm，1－norm，2－norm andp－norm about stochastic matrix are obtained and the sufficient and necessary conditions are given when those bounds are attained.Consequently，these results can establish the mathematics foundation for the application of stochastic matrix.

stochastic matrix；doubly stochastic matrix；1－norm；2－norm；p－norm

O 151.21

110·2110

A

1000－1832（2012）01－0028－04

2010－09－04

國家自然科學(xué)基金資助項目（10571113）；陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2011JM1007）.

任芳國（1969—），男，博士，副教授，主要從事矩陣論研究.

陶 理）