非齊次發展型p－Laplace方程正解的爆破性和存在性

孫 鵬，孔德建，李建軍，高文杰

（1.吉林大學數學學院，吉林長春 130012；2.遼寧工程技術大學理學院，遼寧鞍山 130000）

非齊次發展型p－Laplace方程正解的爆破性和存在性

孫 鵬1，孔德建1，李建軍2，高文杰1

（1.吉林大學數學學院，吉林長春 130012；2.遼寧工程技術大學理學院，遼寧鞍山 130000）

考慮了非齊次發展型p－Laplacian方程帶有非負初值的Cauchy問題?tudiv（｜▽um｜p－2▽um）＝uq＋w（x），這里p＞1，q＞max｛1，m（p－1）｝，而且w（x）?0∈R Rn是一個非負連續函數.證明了當2n／（n＋1）＜p＜n時，qc＝mn（p－1）／（n－p）是臨界指標，即如果q≤qc，則該問題的所有正解在有限時刻內爆破；而當q＞qc時，對于滿足某些條件的w（x）以及某些初值，方程存在全局正解.并且證明了當n≤p時，該問題的正解在有限時刻內均爆破.

非齊次發展型p－Laplacian方程；臨界指標；爆破；全局存在

1 預備知識

在本文中，我們主要研究如下的非齊次發展型p－Laplace的Cauchy問題正解的全局存在性和爆破性：

這里p＞1，q＞max｛1，m（p－1）｝，m≥1，并且w（x）?0和u0（x）均為R Rn上的非負函數.

這類方程來源于自然界中廣泛存在的擴散現象.在諸如生物化學以及生物種群的動態等諸多領域的物理問題，都可以歸結為這類數學模型.

［1］中，H.Fujita研究了半線性熱傳導方程的Cauchy問題

這里p＞1，并得到如下結果：

（a）若p＜1＋2／n，則所有非平凡解u（x，t）在有限時刻爆破；

（b）若p＞1＋2／n且u0（x）≤δe－｜x｜2（0＜δ?1），則問題（1.2）存在一個全局解.

對于p＝1＋2／n的情況，文獻［2－3］分別給出了n＝1，2以及n≥1時，問題（1.2）不存在全局解u（x，t）滿足‖u（·，t）‖∞＜∞.文獻［4］證明了，若p＝1＋2／n，則問題（1.2）當t＞0，q∈［1，＋∞）時，不存在滿足‖u（·，t）‖q＜∞的全局解u（x，t）.我們稱p c＝1＋2／n為問題（1.2）的臨界指標，它對研究問題（1.2）解的性質具有重要意義.

在過去的幾十年間，H.Fujita的結果在許多方面都得到了大量的推廣.最近文獻［5－13］將H.Fujita的結果推廣到了非齊次方程的Cauchy問題.在這種問題中，臨界指標和爆破點均與齊次方程有所不同.此時，問題的臨界指標更多的與相應的橢圓問題的臨界指標具有緊密的聯系.

對于發展型p－Laplace方程的Cauchy問題，文獻［12］討論了齊次方程的情況，并得到了臨界指標qc＝p－1＋p／n，證明了當p＞2n／（n＋1）時，如果max｛1，p－1｝＜q＜qc，則Cauchy問題沒有全局解，而如果q＞qc，并且初值u0（x）充分小，則Cauchy問題存在全局正解.文獻［9］討論了具有雙重奇異性的拋物方程，并得到了相似的結果.

文獻［14］討論了發展型p－Laplace方程?tu－div（｜▽u｜p－2▽u）＝uq＋w（x）帶有非負初值的Cauchy問題，證明了當2n／（n＋1）＜p＜n時，qc＝（p－1）n／（n－p）為問題的臨界指標，即如果q≤qc，則問題的正解在有限時刻爆破；而如果q＞qc，則該方程對于某些w（x）的適當的初值存在全局正解.文獻［14］還證明了當n≤p時，問題的正解在有限時刻均爆破.文獻［15］討論了一類擬線性退化拋物型方程組解的爆破性.

本文的主要目的是研究問題（1.1）正解的性質.當m（p－1）≥1時，方程具有退化性和奇異性，即如果m＞1或p＞2，則方程在u（x，t）＝0或｜▽u（x，t）｜＝0處具有退化點；如果0＜m＜1或1＜p＜2，則方程在u（x，t）＝0或｜▽u（x，t）｜＝0處具有奇異點.我們將證明qc＝（p－1）nm／（n－p）是問題（1.1）的臨界指標.確切地說，如果q＜qc，則問題（1.1）的正解對于任何非負初值總是爆破的；如果q＞qc，則對一些適當大的初始條件，問題（1.1）的解在有限時刻爆破，并且若初始條件適當小，則其解是全局存在的；而如果q＝qc，則問題（1.1）的解總是在有限時刻爆破.

我們的主要結果如下：

2 解的先驗估計

3 定理的證明

［參 考 文 獻］

［1］FUJITA H.On the blowup of solutions of the Cauchy problem forut＝Δu＋u1＋σ［J］.J Fac Sci Univ Tokyo Sect，1966，13：109－124.

［2］HAYAKAWA K.On nonexistence of global solutions of some semilinear parabolic equations［J］.Proc Japan Acad，1973，49：503－525.

［3］KOBAYASHI K，SIRAO T，TANAKA H.On the blowing up problem for semilinwar heat equations［J］.Math Soc Japan，1977，29：407－424.

［4］WEISSLER F B.Existence and nonexistence of global solutions for a semilinear heat equations［J］.Israel J Math，1981，38：29－40.

［5］BANDLE C，LEVINE H A，ZHANG Q S.Critical exponents of Fijita type for inhomogeneous parabolic equations and systems［J］.J Math Anal Appl，2000，251：624－648.

［6］DENG K，LEVINE H A.The role of critical exponents in blow－up theorems：the sequel［J］.J Math Anal Appl，2000，243：85－126.

［7］LEVINE H A.The role of critical exponents in blow－up theorems［J］.SIAM Rev，1990，32：262－288.

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［11］QI Y W.On the equationut＝Δuα＋uβ［J］.Proc Roy Soc：Edinburgh Sect A，1933，123：373－390.

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［13］ZHANG Q S.Blow－up results for nonlinear parabolic equations on manifolds［J］.Duke Math J，1999，97：515－539.

［14］ZENG XIANZHONG.Blow－up results and global existence of positive solutions for the inhomogeneous evolutionp－Laplacian equations［J］.Nonlinear Analysis，2007，66：1290－1301.

［15］魏英杰，鄔娟.一類擬線性退化拋物型方程組解的存在性與爆破［J］.吉林大學學報：理學版，2010，48（3）：406－408.

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［17］YIN JINGXUE，LI JING，JIN CHUNHUA.Non－extinction and critical exponent for a polytropic filtration equation［J］.Nonlinear Analysis，2009，71：347－357.

Blow－up and global existence of positive solutions for inhomogeneous evolutionp－Laplace equations

SUN Peng1，KONG De－jian1，LI Jian－jun2，GAO Wen－jie1

（1.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China；2.College of Science，Liaoning Technical University，Anshan 130000，China）

This paper deals with the Cauchy problem of inhomogeneous evolutionp－Laplacian equations?tu－div（｜▽um｜p－2▽um）＝uq＋w（x）with nonnegative initial data，wherep＞1，q＞max｛1，m（p－1）｝，andw（x）?0 is a nonnegative continuous function in R Rn.It is proved thatqc＝mn（p－1）／（n－p）is a critical exponent provided that 2n／（n＋1）＜p＜n，i.e.，ifq≤qc，then every positive solution blows up in finite time；whereas forq＞qc，the equation possesses a global positive solution for somew（x）and some initial data.Meanwhile，it also proves that positive solutions blow up in finite time provided thatn≤p.

inhomogeneous evolutionp－Laplace equation；critical exponent；blow－up；global existence

O 175.26

110·34

A

1000－1832（2012）01－0001－09

2011－01－17

國家自然科學基金資助項目（10771085）；吉林大學數學學院人才基地本科生科研項目（J1030101，J0630104，

J0730104）.

孫鵬（1978—），男，博士，講師，主要從事發展方程研究；高文杰（1956—），男，博士，教授，博士研究生導師，主要從事應用數學研究.

陶 理）