凸顯考試價值，透析教學本質

摘 要： 一道好的壓軸題，既要體現數學知識、技能與經驗、能力的內在價值，又要體現數學的人文價值，關注學生的精神世界、情感需求和個性差異，使之成為學生與知識、情景、命題者（教師）之間自然對話的良性載體，成為心靈交匯、情感交流的暢通渠道。壓軸題是經過命題者精心編制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性。只有教師認真鉆研，學會拓展延伸、類比遷移，才能讓自己從單純的執行者轉變為開發者，從而更好地訓練學生的創造性思維，教學也必將更加有效。

關鍵詞： 幾何壓軸題 命題反思 教學導向

2012年3月，筆者參與莆田市命制一份九年級質量檢測試題，以抽查形式考試，了解不同縣區不同學校的教學情況，以便把脈診斷，指導教學，為中考做好彩排，能否實現檢測的預期目標，命題質量的高低是關鍵，而壓軸題又是命制一份試卷的核心，試卷第24題是一道幾何圖形變化綜合題。以下我談談命制該題的經歷，與各位同仁切磋交流，探究得失，共同提高。

一、命題的構思

初中數學壓軸題，能區分優良層次學生綜合利用所學知識解決問題的能力，是提高區分度的有效途徑。所以命制的壓軸題壓，既要符合學情，又要對教學起到指揮棒的引領作用。對探究活動過程的準確評價是命題的基本要求。探究活動過程中所表現出來的思考方式、操作水平，直接關系到對所學知識與方法的理解深度；考查學生能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數學猜想，并尋求證明猜想的合理性，并使用恰當的數學語言有條理地表達自己的數學思考過程。命題應從知識立意、能力立意過渡到過程立意，試題的考核應與過程性的目標相一致，體現出一定的思想方法和解決問題能力方面的要求。

由于幾何綜合題作為整份試卷的重點考查內容之一，與其他的試題并列存在，并形成整套的考查體系，知識方法結構融洽且互補，因此我們選擇了對問題形成過程的考查，這樣做有助于倡導新課標的教學方式，加強探索性問題考查，有利于學生有更多的自主探究的機會。在實施過程中還要關注：怎樣設問才能較好地讓學生展現自己認識問題和選擇解題策略的過程、探究問題和說理的思維活動過程、提出問題與解決問題的過程？什么樣的試題形式比較適合考查學生的數學活動過程？等等。中考前的預演，特別要考查學生的探究性學習能力與掌握數學思想方法的程度，難度系數要求控制在0.4～0.6。根據命題要求，將壓軸題命題方向確定為兩個：一是要有一定的綜合度，力求涉及“空間與圖形”，考查學生知識深廣度和融會貫通的能力；二是要圍繞數學核心知識，體現重要數學思想方法，考查學生數學素養和運用數學解決問題的能力。

二、試題命制過程

1.試題的形成

圖形變化是幾何綜合題的方向，一般分為運動型（點、線、面的運動）及圖形變換（平移、旋轉、軸對稱、相似及位似變換）兩種，第24題凝聚了運動與變換，解題過程融合情推理與邏輯推理于一體。

初稿：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為射線CA上的一個動點（不與A、C重合），DE⊥直線AB于E，F是BD的中點，連接CF、EF.

（1）①如圖1，當BD平分∠ABC時，求證：△FCD≌△FDE；

②當AC=8，BC=6時，設CE=x，△DEF的面積為S，求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍.

（2）如圖2，點G是AB邊上的一個動點，當DG+FG的值最小時，DG與EF相交于O，猜想DO與GO之間的數量關系，并加以證明；

圖1 圖2 備用圖

2.科學性、適用性審核

（1）各小題之間的聯系不夠密切；

（2）第（1）②的計算較復雜。

AB=■=■=10

有兩種情況：（Ⅰ）當D點在AC邊上時，過F作FH⊥AB于H（如圖3）：

∵DF=BF，FH⊥AB于H

∴EH=BH，∴FH=■DE

∵sinA=■=■=■

∴DE=■AD=■（8-x），AE=■AD=■（8-x）

∴FH=■DE=■（8-x）

∴S=S■=S■=■BE·FH=■[10-■（8-x）]·■（8-x）

∴S=-■x■+■x+■（0

（Ⅱ）當點D在CA延長線上時，過F作FH⊥AB于H（如圖4）：

同理得：FH=■DE=■

∵BE=10+■（x-8）=■+■x

∴S=S■=S■=■BE·FH=■（■+■x）·■（x-8）

∴S=■x■-■x-■（x>8）

（3）圖形多，干擾因素就多，不利于學生正常發揮學習水平。

3.修改方案

改變條件和設問：

（1）把第（1）小題①的設問改為求FH的長（用含x的式子表示），顯然與②及第（2）小題的聯系會更密切，同時對第②步的解答有提示性的作用；

（2）把條件“CE=x”改為“AD=x”，計算量大幅度降低，避免學生因為計算而產生解題困難；

（3）去掉圖2，增強了考查學生空間想象能力和實際操作能力。

4.試題定稿

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是射線CA上的一個動點（不與A、C重合），DE⊥直線AB于E點，點F是BD的中點，過點F作FH⊥直線AB于H點，連接EF，設AD=x.

（1）①若點D在AC邊上，求FH的長（用含x的式子表示）；

②若點D在射線CA上，△BEF的面積為S，求S與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍。

（2）若點D在AC邊上，點P是AB邊上的一個動點，DP與EF相交于O點，當DP+FP的值最小時，猜想DO與PO之間的數量關系，并加以證明。

至此，上述探索過程中產生的問題全部解決，從試卷難度系數要求考慮，設置了兩個問題。從命題技術分析，結構合理，難度適中，層層遞進，一道集實驗操作、猜想證明、應用探究于一體的綜合題型，考查了學生的分析、觀察、猜測、驗證、計算與推理能力。本題的知識點：角平分線性質、三角形的外角、勾股定理、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質。融會了數形結合、轉化與化歸、方程與函數、分類討論、數學建模，是一道綜合性較強的題目。試題解法多樣、思路開闊，能給予優秀生充分施展才能的空間，因而試題呈現出良好的區分度。同時該試題的考核也與過程性的目標相一致，體現出一定的數學思考和解決問題能力方面的要求，因而能更好地培養學生的獨立思考能力和探索精神，培養學生的創造意識與創新能力。

三、成績反饋

從與考學生中隨機抽查200份閱卷信息采集反饋情況：

從得分值的分布情況看，得9～12分的有46人，占23%；得5～8分的有81人，占40.5%；

得0～4分的有73人，占36.5%。符合預期的目標。難度系數為0.471，也在預估范圍之內。

四、命題反思

1.對命題者編題的啟示

（1）積累典型題，探索新模型，提升命題技術。命題方面適度淡化幾何的推理與證明，適當滲透合情推理、猜證結合與算證結合，是新課標的理念；讓考生經歷探究、猜想、驗證的科學發現與研究的一般過程，培養歸納、猜想、證明的思維品質與習慣，進一步滲透幾何與代數相融合的觀念，幾何題中有代數解法，代數題中有幾何解法，感受數學的整體性與不可分割。命制一道寓意深遠、數據精巧、結構良好、層次鮮明、邏輯嚴密、綜合度高、區分度好的度題，不僅需要教師具有良好的解題能力，而且需要具備融會貫通的命題策略和取材新穎、設問合理的命題技能。我們在平時的教學中應注意積累典型習題，關注常見模型，善于發掘歸納新模型，多進行變式、多研究試題結構。當然，有必要進行命題技術知識培訓，提高命題的理論和實踐水平。

（2）熟練掌握知識間的聯系，正確把握命題方向。對核心知識的考查是命題的方向，只有熟練掌握教材中知識的縱向發展和橫向聯系，才能明確初中數學的核心知識與重要思想方法；所以命題者有較強的對知識駕馭、選擇能力，對思想方法的滲透、整合能力是成功命題的基礎。任何試題都承載著評價、反饋、診斷的諸多功能，更需要確立良好的教學導向，質量檢測試題更要關注這些功能，立足教材，關注基本技能和核心知識，這才是學生能力提升和持續發展之本，也是教育的長久之計。

（3）以生為本，合理預知，提高命題效度。一道試題編制成功與否，效度是否理想，最終的檢驗是學生的解答是否正確。所以命題者需要了解學生的認知特點、知識儲備情況，對學生答題情況要有合理的預知，特別在用“幾何畫板”等軟件進行命題探索、構題時，命題者更要擺正心態，讓大部分學生讀題后有思維的路徑可循。在試題成形后，還需要進行精加工，關注細節，注意題目結構的嚴謹性和科學性，題目數據的易寫易算、題目表述的規范簡潔等，盡可能使題目人性化，提高試題效度。

2.對初中數學教學的啟示

﹙1﹚重視基礎，回歸教材，突出數學基本概念和基本原理的教學，注意數學各部分知識之間的銜接與聯系，努力揭示數學概念、法則、結論的發展背景、過程和本質。初中數學教學必須面向全體學生，教學中要突出主干知識內容，落實基本概念知識、基本技能和基本數學思想方法的要求，特別要關心數學學習困難的學生，通過學習興趣培養和學習方法指導，使他們達到學習的基本要求，從而提高合格率。

﹙2﹚關注數學知識的形成過程，培養學生的動手、實驗、歸納、操作能力。《數學課程標準》非常重視學習過程和動手操作能力，數學教學絕不能只是學習數學的結論，而應強調知識的發生和發展過程，學生絕不能“只知其然，而不知其所以然”。教學中，要創造一定的空間和時間，重視學生對自我學習過程的品味和反思，使學生理解并掌握數學解題的方法與過程，弄清數學知識的來龍去脈。

﹙3﹚突出數學思想方法的教學，注重提高學生的數學思維能力，增強學生的自主探究意識，培養創新和實踐能力。數學不僅是一種重要的“工具”和“方法”，更是一種思維模式，其表現就是數學思想。數學思想是數學基礎知識在更高層次上的抽象與概括，它蘊含于數學知識之中，是數學知識的精髓?！稊祵W課程標準》要求學生能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。因此教學中應選擇具有代表性、典型性、研究性的問題給予仔細剖析、精講精練，摒棄追求繁、難、偏、怪的問題。在掌握通性通法的基礎上，進一步尋求其不同解題途徑和思維方法，善于打破已有的思維定勢，深化其蘊涵的數學思想，優化、簡化解題方法，增強學生思維的廣闊性。

（4）利用探究性試題作為壓軸是試卷的特色之一，它具有一定難度，主要考查學生的閱讀能力、動手實踐能力、探索發現能力、合情推理能力、歸納概括能力。開放性試題有助于培養學生的發散性思維能力和邏輯思維能力，有助于培養學生的創新意識。教師在教學中，可以從教材中的某個基本例、習題出發，采用綜合結論、合并圖形、改變設問方式、變換題設條件、互換條件結論等方法，對已有經驗問題進行加工、變式、改造、整合，將其變式成新問題，使之“貌似原題，又不同于原題”，讓學生從不同角度去思考和探索問題，從而加深對知識內涵、外延的理解，以求在變化中拓展學生思維，激發學生學習數學的興趣，提升學生的創新思維能力。

命制一道好的試題，需要命題組人員的共同努力。不僅需要命題者自身有左沖右突、縱橫馳騁、絕路逢生、柳暗花明的解題能力，而且需要具備高屋建瓴、融會貫通、縱橫拓展的命題策略和取材新穎、設問合理、貼近學生實際的命題技能。壓軸題是經過命題者精心編制的，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教師認真鉆研，學會拓展延伸、類比遷移，才能從一個單純的執行者轉變為開發者，從而能夠更好地訓練學生的創造性思維，教學也必將更加有效。

參考文獻：

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