幾何畫板處理圖形繞點(diǎn)運(yùn)動的面積問題

摘 要： 幾何畫板是研究幾何圖形的關(guān)系、動態(tài)地觀察幾何圖形運(yùn)動狀態(tài)、探索數(shù)學(xué)信息的有力工具。本文主要談?wù)劺脦缀萎嫲逄幚韴D形繞點(diǎn)運(yùn)動的面積問題。

關(guān)鍵詞： 幾何畫板 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 圖形繞點(diǎn)運(yùn)動的面積問題

八年級學(xué)生的練習(xí)中有這樣一道閱讀理解題：

操作：（1）如圖1，在線段AB所在的直線上取一點(diǎn)O（O點(diǎn)在線段外），將線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，所得到的圖形是個圓環(huán)（如圖2），此圓環(huán)的面積就是線段AB所掃過的面積，已知AB=2，OA=1，則線段AB掃過的面積為？搖？搖 ？搖？搖.

（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，若將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，那么邊BC掃過的圖形為？搖？搖？搖 ？搖，面積為？搖？搖？搖 ？搖.

（3）若將圖3中的Rt△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則邊AB掃過的圖形是什么？面積為多少？

學(xué)生在處理問題（1）時能保證98%的準(zhǔn)確率，而問題（2）只有44%的準(zhǔn)確率，到問題（3）則只有2%的準(zhǔn)確率。

“沒有一種數(shù)學(xué)思想是按照它被發(fā)現(xiàn)時的方式加以發(fā)表的。一種技巧發(fā)展了、使用了，一個問題得以解決了，就把解決問題的程序顛倒過來……（于是）火熱的發(fā)明變成了冰冷的美麗”。教師純理論的推導(dǎo)，學(xué)生常常不能理解與wPSFNJwPGHAf+bgeL6ybZU4cO4sERzC2scG+YOq+iBA=再次運(yùn)用。而利用幾何畫板演示這些問題，能幫助學(xué)生理解。例如對這題設(shè)計(jì)如下的操作。

1.點(diǎn)A繞點(diǎn)O運(yùn)動的軌跡。

畫線段m，取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，m為半徑構(gòu)造圓O，在圓上取點(diǎn)A，選取點(diǎn)A，編輯操作類按鈕之動畫，根據(jù)需要選取方向和運(yùn)動速度，選中圓，隱藏圓，再選取點(diǎn)A顯示追蹤點(diǎn)。這樣學(xué)生就能很好地理解點(diǎn)動成線，也能更好地理解圖形的形成。

2.在線段AB所在的直線經(jīng)過點(diǎn)O，線段AB繞點(diǎn)O運(yùn)動的軌跡。

方法一：畫線段m，取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，m為半徑構(gòu)造圓O，在圓上取點(diǎn)A，連接AO，過A作AO的平行線，在平行線上取點(diǎn)B，連接AB，隱藏其他的線，選取點(diǎn)A，編輯操作類按鈕之動畫，根據(jù)需要選取方向和運(yùn)動速度，選中圓，隱藏圓，再選取點(diǎn)AB顯示追蹤線段，該方法體現(xiàn)了線動成面。

方法二：畫線段m，取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，m為半徑構(gòu)造圓O，在圓上取點(diǎn)A，連接AO，過A作AO的平行線，在平行線上取點(diǎn)B，連接AB，在線段AB上選取幾個點(diǎn)，隱藏其他的線，選取點(diǎn)A，編輯操作類按鈕之動畫，根據(jù)需要選取方向和運(yùn)動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點(diǎn)，顯示追蹤對象。這種方法體現(xiàn)了點(diǎn)動成線，線動成面，這個方法對我們解決線段的兩個端點(diǎn)并不是一個離圓心最遠(yuǎn)一個離圓心最近的情況很有幫助。

3.線段AB與點(diǎn)O相切，A是切點(diǎn)，線段AB繞點(diǎn)O運(yùn)動的軌跡。

畫線段m，取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，m為半徑構(gòu)造圓O，在圓上取點(diǎn)A，連接AO，過A作AO的垂線，在垂線上取點(diǎn)B，連接AB，在線段AB上選取幾個點(diǎn)，隱藏其他的線，選取點(diǎn)A，編輯操作類按鈕之動畫，根據(jù)需要選取方向和運(yùn)動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點(diǎn)，顯示追蹤對象，到這里學(xué)生還是比較容易理解的。

4.線段AB與點(diǎn)O相切，A不是切點(diǎn)，線段AB繞點(diǎn)O運(yùn)動的軌跡。

畫線段m，取點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，m為半徑構(gòu)造圓O，在圓上取點(diǎn)C，連接CO，過C作CO的垂線，在垂線上取點(diǎn)A、B，連接AB，在線段AB上選取幾個點(diǎn)，隱藏其他的線，選取點(diǎn)C，編輯操作類按鈕之動畫，根據(jù)需要選取方向和運(yùn)動速度，選中圓，隱藏圓，選中A、B及其他幾個點(diǎn)，顯示追蹤對象，通過這個幾何畫板的動畫演示，學(xué)生就有了一個直觀的理解，圓環(huán)的面積并不是π（OB）■-π（OA）■，而是和到圓心O的距離有關(guān)，讓學(xué)生歸納一下線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后圖形的面積的計(jì)算方法。

隨后可以延伸一下，求一個四邊形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后圖形的面積，并通過演示和學(xué)生校對一下答案。

幾何畫板是一種利用畫圖、操作探究、演示圖形變化與圖形關(guān)系的工具，使用得當(dāng)可以讓我們的數(shù)學(xué)課堂更生動。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳江媛.用一個點(diǎn)帶動圖形運(yùn)動的方法.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009.10.

[2]何立特.幾何畫板在探究軌跡問題中的應(yīng)用.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009.09.