關于《復變函數》可視化教學的實踐

摘要：探討利用Matlab 軟件可視化復變函數的教學心得，旨在加深學生對知識的理解，提高教師課堂教學效果。

關鍵詞：可視化 復變函數 教學實踐

隨著科技的發展，計算機已經走入千家萬戶，高校教學手段也發生了相應地改變，越來越多的教師嘗試將數學課程與計算機結合起來，通過可視化手段增強學生對抽象的數學問題的理解，鍛煉學生的自我動手能力，這也是高校教學改革的一個重要方面。復變函數是高等數學的一個重要分支，是很多專業的基礎課程，該課程內容抽象，定理證明復雜，大部分教材側重理論分析，復變函數可視化內容難得一見。

目前對于復變函數可視化教學實踐主要包含理論分析、計算機編程、教育意義的思考等，不僅從理論上探討了可視化的可行性與重要性，還從教學實踐的層面上分析了可視化在教學中所存在的問題及相應的對策，有很多一線教師總結了復變函數可視化教學的實施經驗，還開發了一系列有創意的可操作的課題學習案例，其中有來自于數學知識內部的，也有來自于實際生活中的，甚至還有和其它學科相關聯的課題等等。本文是作者根據自己教授《復變函數》的教學實踐，總結的一些教學心得。

1 復變函數可視化有利于學生熟練掌握計算機編程語言

復變函數的可視化需要借助計算機來實現，因此教師和學生本身必須熟悉計算機編程語言。原則上，可以通過C，FORTRAN等語言來實現，但是基于成本考慮，個人更傾向于Matlab語言編程。Matlab 是美國MathWorks 公司20 世紀80 年代中期推出的數學軟件，優秀的數值計算能力和卓越的數據可視化能力使其很快在數學軟件中脫穎而出。由于Matlab不區分實數、復數和整數之間的區別，所有數都采用雙精度表示，再加上Matlab中具有豐富的數學函數庫使得計算更加簡便，所以利用Matlab 編寫復變函數程序更加方便，實現復變函數的數據計算以及圖形顯示更加快捷。在《復變函數》教學中Matlab的應用非常廣泛，可以用來可視化函數，計算殘數，分析傅里葉級數，理解平面場問題，應用到傅里葉變換和拉普拉斯變換中等，有興趣的讀者可以參考文獻[1]。將Matlab 應用到《復變函數》教學中，可以簡化計算過程，直觀地表示函數及表達式的圖形，使抽象的數學知識變得生動、形象。這樣就很容易激發學生的學習興趣，同時在利用Matlab進行計算和繪圖的過程中，需要學生自己參與編程，這也培養了學生的創新精神和創新能力，有效地提高了教學效果， 增強了學生計算機編程的能力。

2 復變函數可視化有利于培養學生空間想象能力

眾所周知，一元實變量函數y=f（x）表示平面xy上的一條曲線；二元實變量函數z=f（x，y）表示空間xyz上的一個曲面。而對于復變函數w=f（z）來說不再那么簡單，因為假設z=x+iy（其中i為虛數單位）為復變量，函數w=f（z）通過整理可以表示為w=u（x，y）+iv（x，y），其實部u（x，y）和虛部v（x，y）都是二元實變量函數，如果要畫出復變函數的圖像，就需要四個量表示，顯然三維圖形是不能完整地表現復變函數的圖像。例如：w=z2=（x+y）2=x2-y2+i2xy，這里w的實部u（x，y）=x2-y2，w的虛部v（x，y）=2xy，顯然w對應兩個二元實函數，很難在一個圖形上表示出來。為了克服這樣的困難，Matlab表現四維空間數據的方法是用三個空間坐標再加上顏色。具體畫法是以xy平面表示自變量所在復平面，z軸表示復變函數值的實部，將復變函數虛部值和顏色建立一一對應關系，可以通過colorbar來注明各個顏色代表的數值，具體的復變函數matlab編程讀者可以參考文獻[2]。為了使讀者更好地理解復變函數可視化的思想，可以在Matlab指令窗口輸入以下程序

>>z=cplxgrid（30）；%建立（30+1）*（2*30+1）的復數的極坐標下的數據網格

>>cplxmap（z，z.^2）；%畫出w=z2的圖形

>>colorbar（‘vert’）；%在豎直方向標出顏色對應的數值

>>title（‘w=z^2’）；%給圖像標出題目w=z2

就可以畫出w=z2的圖像了。對四維空間幾何圖形的表示，學生才開始理解起來比較困難，教師一方面需要反復講解四維空間幾何圖形的表示方法，另一方面也要講明白實部和虛部所表示的物理意義。例如電場w=u（x，y）+iv（x，y）實部u虛部v分別表示力函數和勢函數，有定理保證了等勢線與等離線在相交處相互垂直，結合圖形，同學們可以大致觀察出電場強度和受力情況，加深對場論的理解。受到四維空間的幾何圖形表示方法的啟發，我們就可以引導學生表示更高維數空間的幾何圖形，例如引入時間變量，加入動態效果，添加聲音等措施。這樣不僅培養了學生空間想象能力，也激發學生探索知識的興趣。

3 復變函數可視化有利于幫助學生深入理解課程內容

復變函數中，多值函數的內容是一個難點，處理起來相對棘手，我們可以借助可視化方法，讓學生觀察圖像，看出多值函數的性質，引導學生尋找化復雜數學問題為簡單數學問題的方法。例如通過讓學生觀察w=■圖形，提出為什么需要引入支點，支割線的概念[3]。實際上支點，支割線的概念主要用來轉化多值函數為多個單值分支，每個單值分支都是單值解析函數，從而將復雜問題簡單化。可視化過程其實就是數形結合的過程，在教學實踐中運用嚴謹的代數推理并結合形象直觀的圖形，可以將某些抽象的概念解釋得清楚明了，并給學生留下形象直觀的感性認識，也為他們進一步深入理解這些抽象概念提供了一個思考分析的幾何模型。作為教師，應進一步更新觀念，引導學生在積極主動的探索過程中，尋找數形結合的切入點，使學生的學習過程成為在教師引導下的再創造過程。同時努力提高自身的數學素養，深入鉆研教材，抓準數形結合思想與相關知識的切合點，創設適當的問題情境，引導學生探索解決問題的辦法，讓學生在數學學習的活動中逐步提高創造性思維，從而達到授人以漁的效果。

總之，根據《復變函數》課程的特點，講授這門課程必須堅持理論聯系實際，學生的重點不僅在于書本知識的掌握，更應著眼于能力的培養與提高。有效地利用Matlab 軟件，既能豐富教學過程，又有利于學生對數學問題的直觀認識和理解，提高了教學效果。因此教師要側重引導學生學習數學的一些帶有普遍意義的思維方法，而不要僅僅滿足于學習一些數學知識和個別技巧，更不要滿足于對個別實例的機械模仿。當然，如何結合Matlab完善《復變函數》的教學工作，還值得進一步深入探究。

參考文獻：

[1]楊冰，閆循領.淺談Matlab在《復變函數》教學中的應用[J].科技信息，（2010）414-416.

[2]彭芳麟，數學物理方程的Matlab解法與可視化[M].北京：清華大學出版社，2004.

[3]余家榮，復變函數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007.