一類基于Brown運動的股票價格模型的應用

【摘 要】 本文應用隨機過程中的Brown運動構造了不同的描述股票價格波動的數學模型。本文就是應用隨機過程理論來研究股票價格波動的性質。在二項式模型以幾何Brown運動為極限的基礎上，我們又證明了一個更廣泛的結論：三叉樹模型的極限仍為幾何Brown運動.根據股票價格的歷史數據，應用數學軟件給出模型中的參數估計。

【關鍵詞】 股票價格 二項式模型 Brown運動 幾何Brown運動

1. 研究背景

金融數學是在華爾街革命的基礎上迅速發展起來的一門數學與金融學相結合的前沿學科。 其核心內容就是研究不確定隨機環境下投資組合的最憂選擇理論和資產定價的理論。

上個世紀50年代初期，Markowitz證券投資組合理論，第一次明確的用數學工具給出了在一定風險水平下按不同比例投資多種證券收益可能最大的投資方法，引發了第一次“華爾街革命”[1] 。1973年Black與Scholes用數學方法給出了期權定價公式，推動了期權交易的發展，期權交易很快成為世界金融市場的主要內容， 稱為第二次“華爾街革命”[2] .

對于股票價格過程的研究是金融數學研究的內容之一。 隨著證券市場的不斷發展和完善，越來越多的人用一些新的數學工具對股票價格進行分析和研究[3-5]。但實際上股票價格波動遵循什么樣的隨機過程，或者說，什么樣的隨機過程能較好地描述股票價格波動，是一個十分有意義的問題。 1990年，法國的數學家Bachelier，在他的博士論文“投機的理論”中，把股票價格描述為布朗運動，這也是第一次給布朗運動以嚴格的數學描述。 1965年，Samuelson更進一步提出，股票價格的變化遵循幾何布朗運動[6]。也就是說， 股價的對數的變化，或者股價的收益率的變化是標準布朗運動。 此后，幾何布朗運動成為經濟學家描述股票價格變動所采用的基本模型。

2. 預備知識

定義2.1 如果隨機過程｛X（t），t≥0｝滿足：

在實際中可查得S（△）=2313.88正好落在該預測區間內。

運用本節預測方法，我們可以預測2012年4月18日以后各交易日上證指數開盤價，將所得結果與股市實際的開盤價格進行對比，結果如下表4-1：

通過股票的實際價格與模型所得股價預測區間之間的對比，我們看到股票的實際價格以較大概率落入由模型預測所得到的區間內，該表在一定程度上說明我們的模型具有較強的實用性。

結 論

雖然中國股票市場只是一個有著幾十年歷史的新興市場，但學術界對其價格行為的研究成果碩果累累. 本文應用隨機過程中的Brown運動理論來描述股票這種證券的價格波動，介紹了一類新的用于刻畫股價波動的數學模型，并給出了模型在具體問題中的應用.從表4-1可以看出，預測效果還是比較精確的。精度不高多出現在后面的交易日. 這是因為當 值增大的時，模型的均方差也隨之增加，最終導致股價的預測區間會變大，模型的有效性及準確性會變低. 事實證明：針對該問題，我們可通過改變初始時刻的方式提高預測的準確性.

※黑龍江省自然科學基金項目 項目編號：A201009

參考文獻：

[1] Harry Markowitz， Portfolio Selection [J].

Journal of France，1952， 7（1）， pp. 77-91.

[2] Black F.， Scholes M. The Pricing of Option and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81， pp.637-65

[3] 王軍，王娟.股票交易量對證券期權價格的影響[D].北京交通大學，2007

[4] 高勁.股票價格波動的持續性與韌適性--布朗運動、生滅過程與相對偏差[J]. 浙江金融，2005， （8）

[5] 趙巍.股價受分數布朗運動驅動的混合期權定價模型[J].南京師大學報（自然科學版），2010， 33（1）：6-10

[6] Samuelson P.A.， Rational Theory of Warrant Price， Industrial Management Review [J]， 1965， 6， pp.13-31

[7] 王軍，王娟. 隨機過程及其在金融領域的中的應用[M]. 北京：清華大學出版社；北京大學出版社.2009，46-66

[8] Bachelier L.Theory of Speculation[M].

Cooter P. The random Character of Stock Market Prices. Cambridge：MIT Press， 1900：17-78

[9] Black F.， Scholes M. The Pricing of Option and Corporate Liabilities [J]. Journal of Political Economy， 1973， 81， pp.637-65

作者簡介：周慶欣（1981-），女，黑龍江海林人，講師，從事基礎數學專業、隨機過程方向。

（作者單位：哈爾濱商業大學 基礎科學學院）