萊布尼茨的失誤

萊布尼茨是德國(guó)著名的自然科學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家、哲學(xué)家，是微積分的獨(dú)立創(chuàng)始人之一。他8歲時(shí)進(jìn)入尼古拉學(xué)校學(xué)習(xí)，在這里，他各科成績(jī)優(yōu)秀，尤其在數(shù)學(xué)方面的天賦令人贊嘆。但“金無(wú)足赤，人無(wú)完人”，萊布尼茨在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的過(guò)程中，也出現(xiàn)過(guò)一些想當(dāng)然的失誤。下面就是兩個(gè)比較明顯的失誤。

第一個(gè)失誤是在證明“若n是自然數(shù)時(shí)，n3-n是3的倍數(shù)，n5-n是5的倍數(shù)，n7-n是7的倍數(shù)”之后。這一證明對(duì)于一個(gè)孩子來(lái)說(shuō)，是非常了不起的成績(jī)，但也許是年少輕狂，也許是急于炫耀，總之這種兒童心理促使萊布尼茨信誓旦旦地宣稱：“對(duì)任何奇數(shù)k，nk-n都是k的倍數(shù)。”而事實(shí)上，這是一個(gè)想當(dāng)然的錯(cuò)誤結(jié)論，很快他的同學(xué)便找到了反例來(lái)證明他的結(jié)論錯(cuò)誤：“如果n=2，k＝9，那么29-2＝512-2＝510，但510顯然不是9的倍數(shù)。”

這次事件盡管讓萊布尼茨極為沮喪，但他從中也得到了啟示：由幾種特殊情況得到的結(jié)論推導(dǎo)出的一般性的規(guī)律，有時(shí)并不完全可靠。

二是當(dāng)萊布尼茨成為著名的數(shù)學(xué)家后，在研究一個(gè)看似很普通的算式時(shí)，竟然陷入了困惑不解和左右為難的地步。這個(gè)算式就是“1-1+1-1+……＝？”。起初萊布尼茨有些不以為然，他信手進(jìn)行的解答是：從第一項(xiàng)開始，應(yīng)用加減法性質(zhì)將相鄰兩項(xiàng)加上括號(hào)，這 樣1-1+1-1+……＝（1-1）+（1-1）+（1-1）+……＝0+0+0+……＝0。解答看上去挺有道理，結(jié)果似乎也沒(méi)有什么問(wèn)題。不過(guò)，當(dāng)萊布尼茨再嘗試另一種看起來(lái)完全是等量代換的方法時(shí)，情況發(fā)生了變化。他把第一項(xiàng)暫時(shí)擱置不理，而是從第二項(xiàng)開始將相鄰兩項(xiàng)交換加上括號(hào)，這樣1-1+1-1+……＝1+（1-1）+（1-1）+（1-1）+……＝1+0+0+0……＝1。

一道算式怎么得出了兩個(gè)不同的結(jié)果呢？而且兩種計(jì)算方法好像都沒(méi)有問(wèn)題。那結(jié)果究竟是0還是1呢？百思不解的萊布尼茨最后確定了一個(gè)折中的方法：設(shè)S＝1-1+1-1+……，則S＝1-（1-1+1-1+……），這樣有S＝1-S，得S＝0.5。

而事實(shí)上這幾個(gè)結(jié)果都是錯(cuò)誤的。因?yàn)榭疾?-1+1-1+……，可以發(fā)現(xiàn)，取一項(xiàng)時(shí)則1＝1，取兩項(xiàng)時(shí)1-1＝0，取三項(xiàng)時(shí)1-1+1＝1，……顯然，當(dāng)項(xiàng)數(shù)逐步增加時(shí)，各項(xiàng)的和依次是1，0，1，0……由于項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮，所以我們根本無(wú)法確定最終的結(jié)果。那么萊布尼茨當(dāng)初的計(jì)算推導(dǎo)錯(cuò)在何處呢？很簡(jiǎn)單，他把有限個(gè)數(shù)相加的運(yùn)算性質(zhì)用到了無(wú)窮個(gè)數(shù)相加的情形中，簡(jiǎn)而言之，就是混淆了有限與無(wú)限的本質(zhì)區(qū)別，直接生搬硬套，所以才導(dǎo)致了荒唐的結(jié)論。

所幸的是，這些失誤沒(méi)有影響到萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，反而讓他不斷提醒自己吸取教訓(xùn)、理性思考，從而為他成為杰出科學(xué)家打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

《博物館失竊案》答案：查理有罪。推理如下：

假設(shè)詹姆斯無(wú)罪，根據(jù)（4），那么查理或格蕾絲有罪；又根據(jù)（2）格蕾絲只有伙同查理才會(huì)作案，故可知，查理必定有罪。

假設(shè)詹姆斯有罪，根據(jù)（1）（3），他也必定要伙同查理或格蕾絲作案；再根據(jù)（2），推出查理必定有罪。

所以，不論詹姆斯有沒(méi)有罪，查理都有罪。