數學教學是玩概念還是玩技巧？

摘要：當前初中數學的解題教學中題型+技巧的模式存在諸多弊端，必須要改變這種模式，以反比例函數的解題教學為例，回到概念中去，讓學生養成從基本的概念出發思考問題、解決問題的習慣。

關鍵詞：題型+技巧；概念；反比例函數

一、當前初中數學教學中解題教學的現狀

當前的初中數學教學中的解題教學簡而言之就是題型教學，教師在課堂上會布置大量的習題，即便是一堂概念教學課亦如此，概念教學往往走走過場，花個四、五分鐘的時間就可搞定，接下來的時間就是做大量的習題，課后當然會布置一大堆的習題給學生。一個知識點講完，教師恨不得把關于這個知識點的各種題型都讓學生做一遍，這期間教師要查資料，收集題型，出練習卷，批改，講評；學生則淹沒在波濤洶涌的題海里。在這個功利性的社會里看來這是一個很稱職的老師，他會說他這樣做的目的就是為了中考，因為眾所周知的中考數學試卷的題量非常大，時間又很緊。讓學生碰到每道題目細細思考幾乎是不可能的，最好是看到題目就能馬上把這道題目的正確做法反應出來，形成一種本能的刺激——反應，這樣既節省了時間又提高了正確率。但是這種刺激——反應的背后是日復一日大量的題型教學，面對每一種新的題型出現，教師肯定會講解題技巧，解題技巧我的理解是每種題型就像一把鎖，解題技巧就是開這把鎖的鑰匙。技巧+技巧，技巧何其多也！可以想象老師就是個刀耕火種的教書匠，整天忙于找各種不同的鑰匙，然后再把這些鑰匙交給學生，但是學生是活生生的人不是冰冷的機器，記不住這么多的鑰匙，結果可能是一種特殊題型可能講過了五、六遍，班上還是有很多學生不會，這時候老師是既痛苦又煩躁的；還有一種結果是試卷上如果出現了沒有講過和練過的題型，那學生肯定的不會的，可能班上沒有一個同學能做出來。這時候老師會自我安慰沒做出來正常的，沒講過嘛！同時又會埋怨出題的人出題的角度的太刁鉆。

他們深信學生第一次接觸一種題型需要的是技巧，但是這種題型反復出現，再刁鉆的技巧也會變成一種技能，一旦學生實現了技巧到技能的過渡，那么刺激——反應就形成了，應付考試就會變得無往而不利了。把技巧轉變為技能這中間老師和學生所付出的艱辛不足為外人道也，同樣這中間又要淘汰掉多少不適合這種教學模式的學生。人人都知道刺激——反應是訓練什么的，它不是拿來訓練人的，人也不能被這么訓練，但是我們深陷這功利性的教學環境，就如同皇帝的新裝，人人都知道不對，但沒人敢做那個出聲的孩子，何其諷刺！

二、如何改變

數學究竟是什么？數學是思維的體操，思維是一把把造型不同的鑰匙嗎？決不能是，技巧何足道也，那是工匠們忙的事，數學玩的是概念，這話是李邦河院士說的，李邦河院士的原話是：“數學根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”數學教學歸根到底是概念教學，題型教學也好，解題教學也罷，都要回到概念中去，讓學生養成遇到題目不斷地回到概念中去的，從基本的概念出發思考問題，解決問題的習慣。面對一道習題，走題型+技巧的老師可能會這樣問：同學們類似的題型我們以前碰到過嗎？這就是在幫助學生找鑰匙。我們應當這樣提問：同學們仔細讀題，分析一下這題需要用到那些基本概念？基本公式？題目給出的條件與那些定理是相關的。

為什么一定要讓學生在解題時不斷地回到概念中去呢？這樣的解題教學看上去繁瑣，拖沓，浪費時間，絕對沒有直接講解題技巧來的快捷，而且當堂測試的效果可能還是后者好。應該說后者更功利，一節課講兩、三個技巧學生掌握的肯定沒問題，可是十節課，二十節課，幾百節課下來呢？學生淹沒在技巧中，當他在解題時，怎能保證他一定能找到那把屬于這道題的正確的鑰匙呢？技巧不能重建，也很難創造，它只能靠學生死記，然后模仿著做題。但是概念不同，概念的背后是數學的核心的思想方法，諸如類比，歸納，演繹，概括等。學生如果掌握了數學的思想方法，學會了數學化的思考，那么他就可以重建概念，可以由基本的概念出發找出解決問題的辦法，授之以魚，不若授之以漁。

三、以反比例函數這一知識點為例，探討回歸概念的解題教學

1.判斷y=1/x2是否是反比例函數？這是一道非常常規的例題，在反比例函數的概念教學課中，給出反比例函數y=kx（k為常數，k≠0）的解析式之后，書本上就會出現這類題型，讓學生來判斷是否是反比例函數。絕大部分老師在這里處理的非常簡單，他認為學生不會在這里犯錯，學生也確實不會在這里犯錯，只要那這個式子與解析式比較一下，馬上就會分辨出來，反比例函數分母是x而不是x的平方。這個看起來是最快捷最有效的作法，但是這樣子做真的把問題解決了嗎？學生真正了解了反比例函數嗎？掌握了反比例函數的實質了嗎？反比例函數的實質是y=kx（k為常數，k≠0）這個解析式嗎？我們說反比例函數y=kx（k為常數，k≠0），這是一個形式定義，書本上完整的語句是：形如：y=kx（k為常數，k≠0）的函數叫反比例函數。這句話絕不是反比例函數的實質，要說清楚反比例函數的實質，就要解釋清楚兩個關鍵詞。首先要說清楚什么是函數？我曾經就這個問題問過我校既將升入初三的一批尖子生（五百多個學生中的前八十名應該算是尖子生了），開始兩分鐘全部學生都沉默不語，部分學生在翻看九（上）的數學書，兩分鐘過后我忍不住了，提問了一個我認為最好的學生，他告訴我函數就是x、y。我無語，我們現在的函數教學在代數計算里滾的太多了，函數在學生的頭腦中只留下解析式的計算。函數研究的是變量，有兩個變量x、y，當變量y隨著變量x的改變而改變，x我們稱為自變量，y是x的函數。函數概念的實質是兩個變量之間的一種特殊的對應關系，函數不是一個數，而是一種動態的對應關系。M·克萊因說過“數學從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數——或變量間的關系——的概念。”我們在教函數這個概念之初就要讓學生體會這種一個量隨著另一個量變化而變化的動態的對應關系。說完了函數，然后再給出反比例函數的定義，反比例函數是指對于任意的一個自變量x≠0，與它對應的函數值y與自變量x的積是常數，即xy=k（k≠0）

講清楚了反比例函數的概念，接下來是用概念作判斷的具體步驟，即：

也許很多老師對這種教法持懷疑態度，這么簡單的一道題目需要展開這么多內容嗎？需要花上這么多時間嗎？但我認為這是天底下最正宗的教法，你教會了學生用概念這把萬能鑰匙去開鎖的方法，今后他碰到此類問題都會從概念出發去思考，去辨析，不需要你以后一遍遍的去重復講此類問題。在他們第一次接觸這類問題時，把他們的思維通道打通，可謂“事半功倍”，功夫花在刀刃上。而前一種教法根本沒有教數學的思想方法，只是考察了學生的觀察能力，只要學生智力正常都沒問題，與數學無關。

2. 在生活中不難發現這樣的例子：三個變量a，b和c之間存在著數量關系a=bc.例如：長方形面積=長×寬，勻速運動的路程=速度×時間.

（1）如果三個變量a，b和c之間有著數量關系a=bc，那么：

①當a=0時，必須且只須_________；

②當b（或c）為非零定值時，a與c（或b）之間成_________函數關系；

③當a（a≠0）為定值時，b與c之間成______函數關系.

這個練習的目的是反比例函數概念的精致化——建立與正比例函數概念的區別和聯系。首先要講清楚正比例函數的實質是指對于任意的一個自變量x≠0，與它對應的函數值y與自變量x的商是常數，即yx=k（k≠0，k為常數）。第二問當b（或c）為非零定值時，這里的非零定值學生會明白指的就是常數，通過簡單的代數式變形，可以得到兩個變量的商不變，即a與c（或b）之間成正比例關系。第三問當a（a≠0）為常數時，兩個變量b與c之間積不變，即b與c成反比例關系。

3. 兩個反比例函數和在第一象限內的圖象如圖所示，點P在的圖象上一個動點，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，觀察圖象你可以得到哪些結論？（說明理由，并要寫兩條或兩條以上）

要講清楚這道題我們必須回到概念中去，反比例函數兩個變量x、y之間的積不變，在函數圖象上最直觀的表征的什么？也就是說如何在圖像上理解兩個變量x、y之間的積不變？以第一象限為例，x的值在圖象上表示為在雙曲線上任意一點P，過點P作y軸的垂線PD與y軸交與點D，PD的長度；同樣y的值表示為過點P作x軸的垂線PC與y軸交與點C，PC的長度。

∴在圖象上表示為，即矩形OCDP的面積不會隨著點P在雙曲線上的位置改變而改變，推廣到其他幾個象限則有。

學生從這里出發再去解這道題，那就如同庖丁解牛般，對牛的骨骼和脈絡非常熟悉，下手自然酣暢淋漓。馬上可以得出：

①矩形OCDP的面積不會隨著點P在雙曲線上的位置改變而改變。

②△ODB與△OCA的面積相等 。

③四邊形PAOB的面積也不會發生變化。

4.如圖，已知反比例函數的圖象與一次函數的圖象分別交于A（1，3）、B兩點.

（1）求m、b的值；

（2）若點M是反比例函數圖象上的一動點，直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E，設四邊形MDOC、NEOC的面積分別為，求S的最大值.

這是一道函數的綜合題，它涉及到反比例函數，一次函數和二次函數的最值問題。第一小題用待定系數法求解反比例函數和一次函數無需多言，只要把A點坐標代入解析式，馬上可以求得m=3，b=4。

如何幫助學生順利的解決第二小題呢？從掌握的反比例函數概念的實質出發，可以知道四邊形MDOC的面積S1是個定值，就等于m，但四邊形NEOC面積S2該如何表示呢？點N在一次函數上，馬上幫助學生回到一次函數概念的實質中去。一次函數概念的實質是在自變量x變化的量相同的情況下，函數y隨之改變的量也相同，這就說明四邊形NEOC面積S2是一個變量，既然是個變量，那它就會隨著自變量x的改變而改變，只要找出它們之間的關系式，問題就會迎刃而解。設點N的坐標為（x，y），因為在第一象限內，所以EN的長度就是點N的橫坐標x，NC的長度是點N的縱坐標y，很自然得到S2=xy。做到這里很多學生犯難了，做不下去了，它們不知道如何處理S2=xy這個等式。這說明學生對函數關系式這種形式的實質不夠了解，當然也不能怪學生，這是被我們絕大部分老師所忽略的知識。函數研究的是兩個變量，所以只能是用含一個變量代數式去表示另一個變量。這個等式有三個變量x、y、S2那自然是不行的，y必須轉化為x的形式，即，則。剩下的就是計算層面的事，用配方法求出這個二次函數的最大值。

我們都知道綜合題是旨在考察學生是否能靈活的運用數學中的各個知識點，很多老師認為靈活來自于學生掌握了更多的技巧，大量的技巧進行一遍遍重復強化的訓練，從而轉化為技能，形成解題時的刺激——反應狀態

但一個個的技巧就像一把把造型各異的鑰匙，它的背后沒有數學基本的思想方法作為支撐，無法重建。掌握了再多的技巧，也未必能幫助學生在遇到實際的問題時自己鍛造一個鑰匙。靈活其實來自于各種數學概念之間聯系方式的暢通，如果一個學生具備了這樣的數學能力，那么他在解題時就能輕松、自在的行走在各種數學概念之間，從幾何到代數，從圖形到計算等等……從題目的需要出發，在他自己建立的概念網絡里抽取他想要的東西，再進行整合，找出解題的方法。要使學生具備這樣的數學能力，這就需要我們老師在初中三年中解每一道題時，都要回到概念中去，從概念出發去分析問題，解決問題。

四、反思

這四道題在所有反比例函數的習題中具有一定的代表性，前兩題是從函數解析式的角度去考察學生對反比例函數概念的理解，第一題是讓學生學會用概念作判斷的方法，今后他遇到此類題型時就不會只關注解析式的形式，而會注重形式背后所蘊含的兩個變量關系的實質。第二題是在學生掌握概念的基礎上再進一步，幫助學生建立反比例函數和相關概念的聯系方式，為他今后做綜合性的題目打下基礎。

后面兩題考察的是函數圖象，函數圖象是很多學生學習數學的薄弱環節，但是函數圖象卻是真正體現了函數是旨在研究兩個變量之間的動態關系，變化的軌跡。要幫助學生走進函數圖象，在圖象上理解兩個變量之間的動態關系，是函數學習的重點，同時也是函數學習的難點。第三題就如同第一題，只不過是在函數圖象上拿反比例函數的概念作判斷，找出面積不變的三角形和四邊形。第四題也是在第三題的基礎再進一步，添加了一次函數，使函數圖象更為復雜，從函數圖象的角度去觀察和分析，在反比例函數和一次函數這兩個不同的函數中，兩個變量在圖象上的區別和聯系，最后再用二次函數中配方法求最值這一計算工具解決問題。

無論題目有幾多變化，在解關于反比例函數的題目時始終要回到反比例函數的實質中去，即兩個變量之間的積不變，這就像一把萬能鑰匙，它可以解開所有反比例函數的習題。我們就是要教給學生這樣的思考方法，這樣的應對套路，以不變應萬變。

我們必須從題型+技巧這種教學模式中走出來，題型+技巧只注重和培養了學生的記憶和模仿的能力，扼殺了學生另外的各種能力成長的可能性，這是極不人性化的。回到概念中去，因為數學概念的背后凝聚了數學思想，數學思維，是學生學習數學再創造的過程，可以培養學生的各種能力和良好的思維品質，實現數學育人。

參考文獻：

[1]孫曉天；張丹新課程理念與初中數學課程改革長春[A]東北師范大學出版社，2002

[2]曹才翰 章建躍 中學數學教學概論[A]北京師范大學出版社，2012