對一道拋物線最值習題的反思

摘 要：從“一道拋物線上一個動點到拋物線外兩定點的距離之和的最小值”問題出發，本著聯系的觀點，運用特殊化、推廣等常用的邏輯思維方法進行反思，嘗試展示從特殊曲線到一般曲線上一動點到曲線同側兩定點的距離之和的最小值問題的求解和探究的過程.

關鍵詞：解題反思；拋物線；最值

解題是數學教師的基本功，數學教師要善于解題分析和解題研究，解題教學不能僅僅停留在讀題、析題、解題、變題等環節上，也應注重悟題也是解題后的反思與探索，自發領悟，自覺分析，不斷提高我們的解題水平.

習題：已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值時P點坐標.

析題：此題可利用拋物線的幾何性質，化焦半徑為點到準線的距離，通過數形結合求解.

解題：如圖1，拋物線y2=2x的焦點為F（■，0），準線m：x=-■.過P作準線m的垂線，設垂足為D，則PA+PF=PA+PD≥AD.當P、A、D三點共線時，PA+PD有最小值AD=3+■=■，即PA+PF的最小值為.

此時，點P的縱坐標，即A點的縱坐標為y=2，代入y2=2x，得x=2，故取最小值時點P的坐標為（2，2）.

領悟分析：此題中取得最小值的條件是P、A、D三點共線，此時AP⊥y軸，即AP//x軸，即AP平行于拋物線的軸.聯想到拋物線的光學性質，平行于x軸的光線經拋物線上的一點P反射后都會通過焦點，此時的反射鏡面為拋物線在點P處的切線l，如圖2.由反射定律可得，AP與l的夾角θ1等于PF與l的夾角θ2.

由以上的分析可得，PA+PF取得最小值的條件最終轉化為在拋物線上找一點P，使得拋物線在P點處的切線分別與AP和FP的夾角相等.我們知道，曲線在一點處的切線斜率即為它對應的函數在這點的導數，如果上述結論成立，那么就可以利用兩直線的夾角公式列一方程，從而可得P的坐標，此法避免了拋物線本身幾何性質的局限，從而有了更一般的代數解.

對此結論的正確性，我們“以直代曲”做一下檢驗：

特殊化：當把拋物線條件改為直線L，問題即化為：當A、F都在直線L的同側，如圖3，在直線L上找一點P使得PA+PF最小.

由直線的對稱性知識可得，作A點關于直線L的對稱點A′，連結A′F，可得PA+PF的最小值為A′F，此時P點為直線A′F與直線L的交點，而直線L在點P處的切線即為直線L本身，顯然可得，AP與L的夾角θ1和FP與L的夾角θ2相等，反之也成立.

由此可得，上述結論在直線條件下的正確性，而且從直線條件下的探索，我們發現，點F不必受“焦點”的約束，可為更一般的點，還有其他的圓錐曲線以至一般的光滑曲線在其上每點處都有相應的切線，那么原結論是否可以進一步改進呢？

推廣：兩定點A、R和光滑的曲線L在同一平面上，且A、R都在曲線L的同側，點P在L上運動，當PA+PR最短時，曲線L在點P處的切線分別與直線AP和直線RP的夾角相等.

模擬：用一水平木板作平面，把一根橡皮繩的兩端用兩枚圖釘固定在點A、R，中間套上一個可自由滑動的光滑圓環P，再把圓環套在由一根不會自動變形的光滑細鋼線做成的曲線L上.

如圖4，將橡皮繩繃緊，那么張緊的橡皮繩便會盡量縮短，圓環隨著滑動，當它靜止時，說明橡皮繩已經最短，所以靜止時P點的位置即為所求.

證明：下面根據力學平衡原理來分析靜止時P的位置.如圖5所示，當圓環P靜止時，橡皮繩PA段的收縮力FA和PR段的收縮力FR大小應相等，即FA=FR，則FA和FR在L上P點處的切線方向的分力F1和F2也應相等，即F1=F2.設FA和FR與L在點P處的切線方向的夾角分別是θ1和θ2，于是F1=FAcosθ1，F2=FRcosθ2，又θ1和θ2都是銳角，從而θ1=θ2.這就是說，當PA+PR取得最小值時，曲線L在點P處的切線分別與直線AP和直線RP的夾角相等.

推廣中給出了曲線同側兩定點到曲線上一動點的距離之和取最小值的必要條件，而由必要性去確定P點的位置時要注意曲線L的開閉情況，如果L是封閉曲線如圓或橢圓，當L在點P處的切線分別與直線AP和直線RP的夾角相等時，因為方程對應的函數有兩種情況，故可得兩個P點坐標，其中靠近A、R的P點使得PA+PR最小，另外一點卻使得PA+PR最大.

本文從一道拋物線最值習題出發，反思對曲線的一類最值問題一般解的探求，重在反思一系列思維過程的嘗試展示。當然，此類問題中曲線對應的函數可求導是此思路的前提，其中求導時要注意把曲線方程轉化為相應的函數解析式.此法雖可行，但列方程的運算量是相當大的，因而用幾何性質通過數形結合求解要明顯快速簡潔得多，進一步的探索留待讀者反思.

參考文獻：

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（作者單位 福建省羅源第一中學）