廣義優勢多粒度直覺模糊粗糙集及規則獲取

梁美社，米據生，趙天娜

直覺模糊集是Atanassov[1-3]在系統研究Zadeh[4]模糊集理論的基礎上于1986年提出的。與傳統Zadeh模糊集相比，由于同時考慮了元素的隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個方面的信息，因此在表達和處理模糊性、不確定性等問題的時候更具靈活性和實用性。近年來將直覺模糊集理論[5-6]與粗糙集理論結合研究受到了廣泛關注。

經典的粗糙集理論[7-8]建立在一個等價關系之上，即處理單個粒空間上的目標近似逼近理論。 考慮到多個屬性之間的關系可能是相互獨立的，文獻[9-12]從多個角度、多個層次出發，提出了多粒度粗糙集的概念。 此后，許多學者開始了多粒度粗糙集的相關研究[13-18]。 實際問題中，經常需要考慮描述對象的屬性具有順序性，如距離遠近、人口密度等，S. Greco[19-20]等提出了基于優勢關系的粗糙集模型，并將該方法引入到模糊信息系統中。以往研究中要么是建立在經典關系或者模糊關系上[21]的多粒度優勢關系粗糙集，要么是考慮在單個粒度上的優勢直覺模糊粗糙集，并未考慮將二者結合起來研究。

本文主要考慮在直覺模糊語義下，通過引入三角模和三角余模，定義了強、弱、平均3種優勢關系，得到了與之對應的3種優勢類。在此基礎上提出了廣義優勢關系多粒度直覺模糊粗糙集模型。通過討論該模型的主要性質，進而獲取決策規則。

1 預備知識

1.1 直覺模糊信息系統

定義1[1-3]設U是非空集合，稱為直覺模糊集，其中，分別為U中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，且對于滿足關系式。稱為x屬于A的猶豫度或不確定度。用表示U上全體直覺模糊子集，表示U上全體經典子集。

定義2[1]對于任意，即，有：

定義3[22]對于，如果[0，1]，，則；如果，且若，則；若，則。

定義4[1-3]稱為一個直覺模糊信息系統，為對象集，為條件屬性集，R為U到A的直覺模糊二元關系，即上的直覺模糊關系全體為。

1.2 三角模算子

定義5[23]若映射，若滿足以下條件：

稱映射N為模糊補映射(或模糊負算子)。

定義6[24]若映射，若滿足以下條件：

定義7[24]若映射，若滿足以下條件：

T和ST關于模糊補算子N滿足是對偶的當且僅當，或為對偶三元組。常見的對偶三元組有：

2 多粒度直覺模糊粗糙集

2.1 直覺模糊信息系統中的優勢關系

根據以上定義的3種優勢關系，我們可以得到相應的3種優勢類。

2.2 多粒度優勢直覺模糊粗糙集

根據文獻[6-9]所提出的多粒度粗糙集的思想，以下給出優勢關系下直覺模糊多粒度粗糙集定義。

上述定義的樂觀多粒度下近似要求至少有一個粒度滿足優勢關系，而悲觀多粒度下近似則要求在所有粒度空間中滿足一致的優勢關系。多粒度上近似均由下近似的補集定義得到。

3 多粒度優勢粗糙直覺模糊集及決策規則獲取

在直覺模糊決策信息系統中，由于被近似的決策屬性集合是直覺模糊集合，而不是由決策屬性確定的等價類集合，因此需要將上述結論進行推廣。

3.1 多粒度優勢粗糙直覺模糊集

例2 表1為一個關于風險投資的直覺模糊決策信息系統實例。其中表示風險投資項目；為條件屬性，表示不同領域專家對投資項目所在位置、人口密度、交通狀況和投資額度給出的評價，d為決策屬性。

表1 風險決策直覺模糊信息系統Table 1 Intuitionistic fuzzy information system with risk decision

若將例2中每個條件屬性都看作一個獨立的粒度空間，則根據定義15、定義16，決策屬性d關于屬性集合的多粒度樂觀和悲觀下、上近似集如下所示。

證明 這里只給出樂觀多粒度情況下的證明，悲觀多粒度的可類似得到。

3.2 決策規則獲取

經典粗糙集理論中，下近似中的元素對決策規則的支持是確定的，而邊界域中的元素對決策規則的支持是不確定的。在此基礎上Greco利用優勢關系定義了兩種由邏輯連詞“且”構成的決策規則。根據多粒度思想，由上一小節構造的優勢關系多粒度粗糙直覺模糊集可得到邏輯連接詞為“或”的兩種決策規則，具體形式如下：

“at least”決策規則：

“at most”決策規則：

例3 根據例2計算結果，可以生成兩種“或”決策規則，這里只給出“at least”規則：

4 結束語

本文將多粒度的基本思想引入到直覺模糊決策信息系統中，利用t-模及t-余模定義了3種新的優勢關系。分析這3種優勢關系所表達的不同語義，在此基礎上提出了廣義優勢關系下多粒度直覺模糊粗糙集模型。通過該模型的主要性質進行討論，這種模型使得多粒度方法能夠有效處理直覺模糊決策信息系統中直覺模糊概念近似和規則提取等問題。最后結合實例，具體給出了在直覺模糊決策信息系統中，邏輯連接詞為“或”的決策規則。

在本文基礎上，將深入研究3種優勢關系之間的內在聯系，以及如何利用辨識矩陣和啟發算法獲得廣義優勢關系多粒度粗糙直覺模糊集模型的屬性約簡。

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