基于三角函數內插法的波動反應譜計算精度分析

王子健，肖盛燮

(重慶交通大學土木建筑學院，重慶400074)

隨機振動是振動中的普遍現象，荷載幅值變化復雜，難以用解析函數表示荷載。例如，結構工程中的風振、地震、冰振及波浪荷載對水工結構物的振動等。目前國內外對隨機振動荷載的研究主要包括兩方面［1］:①側重研究隨機振動與結構相互作用的破壞機理，把波動時的荷載幅值作為抗振動設計的最大振動荷載，該方法沒有考慮振動的過程和振動的慣性特性，實際上屬于靜力學的范疇;②通過現場實測振動的時程曲線來進行動荷載的付氏譜、功率譜的研究，其實測數據受環境因素和儀器設備的制約，且得到的譜曲線一般比較復雜，與振動荷載時程曲線相比，沒有從實質上得到簡化計算，基于此，以反應譜基本概念和線性插值法(精確法)［2］為理論基礎提出了求解波動反應譜的三角函數內插法。對該方法的反應譜計算公式進行了嚴格的推導，并給出了詳細的顯式表達式，建立了當計算時間等步長的基于三角函數內插法的反應譜計算連鎖遞推格式。與傳統反應譜精確算法相比，具有較高的精度和穩定性，這將為實際的結構抗波動反應分析提供一種便捷、可靠的算法。

1 反應譜的基本概念

由達朗貝爾原理，單自由度有阻尼的線彈性系統在加速度f(t)強迫振動下的運動方程為:

式中:m為系統質量;k為剛度;c為阻尼系數。

式(1)可以簡化成式(2)的形式:

對式(2)的系數非齊次微分方程做Duhamel積分得相應的位移通解為［3］:

對上述各式的積分無法求得響應的解析解［4］。通常對輸入的加速度按相應Δt進行離散，再將離散的加速度或加速度時程曲線f(t)劃分為若干個時段進行數值積分來求出振動響應。由于振動加速度在時間軸上的不規則變化，質點振動響應也是在時間軸上發生不規則變化。眾所周知結構抗震設計結果由振動響應最大值控制。根據式(4)～式(5)，可得最大值分別為:

對于特定的振動波f(t)，umax、和為ξ和結構周期T的函數，改變ξ和T可以得到一系列曲線，這些曲線稱之為位移反應譜、速度反應譜、加速度反應譜和絕對加速度反應譜［4］。

基于三角函數內插法的振動反應譜算法:取已知振動波f曲線上時間間隔為Δt的兩個點f(ti)和f(ti+1)，用直線連接這兩點(圖1)。

圖1 三角函數內插法的示意Fig.1 Triangle function interpolation

過直線段的端點f(ti+1)平行t軸作為振動的平衡位置，以振幅f(ti+1)－f(ti)，周期為T=4Δt簡諧振動，見式(6):

對式(6)合并同類項后得式(7):

將式(7)代入式(3)～式(4)，再根據反應譜數值分析遞推格式推導原理［5］，可以導出遞推公式(8):用矩陣形式表示為:

則A、B系數矩陣可分別表示為:

為方便工程應用，在 ξ，ω，ω1，Δt均已知的前提下，可求得系數矩陣中的各相應元素，再根據兩步法［6］，可求得基于三角函數內插法的波動的位移、速度和加速度反應譜的一系列連鎖遞推公式:

以上是基于三角函數內插法的振動反應譜連鎖遞推公式，根據該遞推公式，利用數值計算及可視化圖形處理的工程語言MATLAB，可以實現計算量小且易于編程，從而能夠快速得到激勵振動的位移譜、速度譜和加速度譜［7］。為工程結構隨機振動的反應譜計算提供一種簡單的，便于操作的計算方法。

2 基于三角插值法的反應譜計算公式的精度分析

2.1 輸入簡諧波動加速度的精度分析

為了分析三角函數內插法的反應譜遞推公式的精度，在輸入加速度為余弦波f(t)=－600cos()的情況，采用解析解、三角內插法和精確法在離散時間間隔Δt=0.5 s時分別在不同周期下的反應譜計算，反應譜計算結果表明，采用基于三角函數內插法的連鎖公式計算的反應譜值更接近解析解。限于篇幅，只給出其中部分位移譜和絕對加速度譜的計算曲線(圖2)和結果(表1)。

圖2 基于3種方法計算的反應譜精度比較Fig.2 Precision comparison based on three methods of calculating response spectra

表1 時間步長Δt=0.5 s和干擾頻率=2π/3時位移譜部分計算結果Table 1 Part calculation results of displacement spectrum with time length Δt=0.5 s and disturbing frequency=2π/3

表1 時間步長Δt=0.5 s和干擾頻率=2π/3時位移譜部分計算結果Table 1 Part calculation results of displacement spectrum with time length Δt=0.5 s and disturbing frequency=2π/3

周期/s 0.1 0.313 0.5 1.0 1.42 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0解析法 相對位移/cm 0.154 1.573 5.427 23.680 66.668 175.10 401.33 957.36 650.10 493.70 420.17 350.46加速度/(cm·s-2)605.95 633.50 855.96 929.53 1 282.20 1 672.30 2 356.90 4 746.90 2 363.30 1 313.70 864.13 635.11三角內插法相對位移/cm 0.153 1.541 5.757 20.833 60.347 161.99 379.580 949.910 598.360 442.270 379.130 340.030加速度/(cm·s-2)604.880 633.480 895.130 853.920 1 144.000 1 602.100 2 463.200 4 446.400 2 089.700 1 110.300 761.250 577.447精確法 相對位移/cm 0.153 1.523 5.256 21.037 60.146 158.930 364.515 880.902 595.845 452.164 384.661 321.602加速度/(cm·s-2)605.420 623.910 834.160 812.780 1 147.400 1 584.400 2 387.100 4 176.300 1 970.900 1 142.300 778.850 551.923

2.2 隨機波動加速度的反應譜精度分析

對輸入加速度為簡諧振動的情況，采用三角函數內插法具有較高的精度。為了進一步驗證該方法的實用性和可靠性，文中對實際記錄的隨機地震波進行精度分析。以圖3的1976年記錄的兩條不同時間間隔的天津波時程曲線為例;采用不同的內插法數值計算公式，離散等時間間隔為Δt=0.01s，計算時取ξ=0.05時的各反應譜值。限于篇幅，該處只給出其中部分位移譜和動力系數譜β(即加速度反應譜值除以加速度時程曲線最大值歸一化后得到)［8］的計算比較結果(表2)及位移譜和加速度譜(圖4)。

圖3 天津波波動加速度時程曲線Fig.3 The fluctuation acceleration time curve of Tianjin wave

表2 2條波動加速度時程兩種方法部分計算結果對Table 2 Comparison of part of results for time history of two fluctuation acceleration

圖4 第2條波動加速度兩種方法計算結果比較Fig.4 Results comparison of 2ndwave fluctuation acceleration got by two methods

由圖4可以看出，基于三角內插法的振動反應譜數值計算方法具有一定穩定性。由表2可見，該方法與目前常用的基于線性插值的反應譜算法相比，能在一定程度提高工程計算精度。

3 結語

筆者以反應譜基本概念和D'Alembert原理為理論基礎，推導了在相同時間間隔為Δt的三角函數內插法的振動反應譜數值計算連鎖遞推格式，并給出系數相對簡單的顯式表達式，方便了計算過程的程序化。并對該方法在給定簡諧波輸入條件下的反應譜計算結果與解析解和線性插值法(即精確法)的計算結果進行對比分析，分析結果證明了本文給出的基于三角函數內插法的反應譜連鎖公式與目前采用的精確法相比具有更高的精度。同時對實際記錄的兩條地震波時程曲線進行驗證，驗證結果表明，采用該遞推公式計算隨機振動反應譜時也是滿足精度和穩定的要求，且在一定程度上能夠簡化計算過程。

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